自考线性代数各章考核重点解析

自考线性代数（经管类）各章考核重点解析第一章行列式（一）考核知识点1. 行列式定义。2. 行列式的性质与计算。3. 克拉默（Cramer ）法则。（二）自学要求学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练 掌握行列式的计（特别是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或 数字行列式），会计算简单的行式；理解克拉默法则在线性方程组求 解理论中的重要性。本章的重点；行列式的性质与计算。难点；n阶行列式的计算（三）考核要求1. 行列式的定义。要求达到“识记”层次。1.1熟练计算二阶与三阶行列式。1.2清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。1.3 了解行列式的按其第一列展开的递归定义。1.4熟记三角行列式的计算公式。2. 行列式的性质与计算。要求达到“简单应用”层次。2.1掌握并会熟练运用行列式的性质。2.2掌握行列式的基本方法。2.3回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的n阶行 列式。2.4低阶范德蒙德行列式的计算。3. 克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。3.1知道克拉默法则。3.2会用克拉默法则求解简单的线性方程组。第二章矩阵（一）考核知识点1. 矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。2. 分快矩阵的定义及其运算。3. 逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。4. 矩阵的初等变换和初等矩阵。5. 可逆矩阵的逆矩阵的求法。6. 矩阵的秩的定义与求法。（二）自学要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可 逆的充分必要条件；会求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变 换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。本章的重点；矩阵运算及其矩阵的求法，矩阵的初等变换。难点；逆矩阵的求法及矩阵的概念。（三）考核要求1. 矩阵的定义。要求达到“识记”层次。1.1理解矩阵的定义。1.2知道三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵和零矩阵的定义。1.3清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行 列式符号的区别。2. 矩阵运算及其运算规律。要求达到“综合应用”层次2.1掌握矩阵相等与加、减法的定义及其可运算的条件和运算律,2.2理解数乘矩阵运算的定义。注意kA与 的区别，熟练运用 ，其中n是方阵A的阶数。2.3掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则; 注意矩阵乘法不满足交换定律和消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的 区别。2.4会用方阵行列式的乘法与数的乘法的区别。2.5知道矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意。2.6知道对称矩阵和反对称矩阵的定义。3. 方阵的逆矩阵。要求达到“领会”层次。3.1理解可逆矩阵的概念与性质。3.2熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，知道 是A可逆的 充要条件。3.3理解方阵的伴随矩阵的定义。会用两个基本结论：O3.4会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵。3.5会解矩阵方程。4. 分块矩阵。要求达到“识记”层次4.1知道分块矩阵的定义。4.2理解分块矩阵的加法、数科和乘法运算以及分块矩阵的转置 运算。4.3会求准对有矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式。5. 矩阵的初等变换与初等方阵。要求达到“简单应用”层次。5.1理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关 系。5.2知道初等方阵的逆矩阵5.3知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形。5.4会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。6. 矩阵的秩的定义。要求达到“领会“层次”。6.1理解矩阵的秩的定义。6.2知道方阵满秩的概念及其性质。7. 矩阵的物件求法。要求达到“简单应用”层次。7.1会根据定义求比较简单的矩阵的秩。7.2会用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩。第三章向量空间（一）考核知识点1. n维向量及其线性运算，n维向量空间的概念。2. 向量的线性组合的定义和线性组合系数的计算。3. 向量的线性相关和线性无关的概念及其判别法。4. 向量组等价的概念。5. 向量组的极大无关组与向量组的秩的定义及其求法。6. 向量组的秩与矩阵的秩的关系。7. 子空间及其基、维数和坐标的概念。（二）自学要求学习本章，要求知道n维向量的概念；掌握向量是同维向量组的 线性组合的概率和组合系数的求法；理解向量组线性相关与线性无关 的定义和判别法；理解向量组的极大无关组的定义和向量组的秩的定 义；会求向量组的极大无关和向量组的秩；清楚向量组的秩与矩阵的 秩之间的关系。知道向量空间 的定义和向量空间的基与维数和坐标 的概念。本章重点；线性组合系数的求法；向量组线性相关和线性无关的 定义及其判别法；求向量组的秩。难点；向量组线性相关和线性无关的判别法；向量组秩的概念。（三）考核要求1. n维向量的定义和向量组的线性组合。要求达到“简单应用”层 次。1.1知道n维向量的定义。1.2掌握向量的线性运算法则。1.3理解向量是向量组的线性组合（即某向量可用某向量组线性 表出）性方程组形式表示法。1.4掌握求线性组合系数的方法。2. 向量组的线性相关与线性无关。要求达到“简单应用”层次。2.1理解向量组线性相关和线性无关的定义。2.2掌握求线性相关系数的方法（解齐次线性方程组）。3. 向量组的极大无关组合向量许的秩。要求达到“简单应用”层次。3.1理解两个向量组等价的概念。3.2理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原始向组的等价 关系，的极大线性无关组3.3理解向量组的秩的概念，并会求向量组的秩。4向量组的秩与矩阵的秩的关系。要求达到“识记”层次4.1知道矩阵的行秩与列秩的定义及其矩阵的秩的关系。4.2熟知关于矩阵的秩的重要结论。5.向量空间。要求达到“识记”层次。5.1知道向量空间及其子空间的定义。5.2知道向量空间的基和维数的概念。5.3会求向量在某个基下的坐标。第四章线性方程组（一）考核知识点1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件。2. 齐次线性方程组解的性质与解空间、基础解系和通解的概念。3齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。4. 非齐次线性方程组有解及有惟一解的充要条件。5. 非齐次线性方程组解的性质与解的结构。6. 非齐次线性方程的通解的求法。（二）自学要求学习本章，要求熟练掌握齐次线性方程组的解空间、基础解系 及通解的含义和求法，熟练掌握非齐次线性议程组的有解判别法和通 解的求法。本章重点：齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方 程组有解的充要条件；会用矩阵的初等行变换求解线性议程组。难点：齐次线性方程组的基础解系的求法。（三）考核要求1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件。要求达到“领会”层次。1.1理解齐次线性方程组有非零解的充要条件。2. 齐次线性方程组解的性质与解空间。要求达到“领会”层次。2.1理解齐次线性方程组解的性质。2.2理解齐次线性方程组的解空间的概念。3. 齐次线性方程组的基础解系与通解。要求达到“综合应用”层次。3.1理解齐次线性方程组的基础解系的定义，会判定基础解系所 含向量的个数。3.2掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方 法；会化齐次线性方程组的系数矩阵为简化行阶梯形矩阵；会写出方 程组的通解。4. 非齐次线性方程组有解的充要条件。要求达到“领会”层次。4.1理解非齐次线性方程组有解的判别定理。4.2掌握非齐次线性方程组有惟一解，有无穷多解的判别方法。4.3会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题。5. 非齐次线性方程组解的性质、解的结构和通解的求法。要求达 到“综合应用”层次。5.1理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组（即 导出组）的解之间的关系。5.2熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法。第五章特征值与特征向量（一）考核知识点1. 实方阵的待征值和待征向量的定义、性质与计算。2. 同阶实方阵相似的定义与性质。3. 方阵的相似对角化。4. 实向量的内积、长度及其正交性。5. 正交向量组与正交矩阵。6. 施密特正交化方法。7. 实对称矩阵的正交相似对角化。（二）自学要求学习本章，要求熟练掌握实方阵的特征值和特征向量的定义与求 法；了解特征值与特征向量的性质；清楚两个同阶方阵相似的定义和 性质；理解方阵与对角矩阵相似的条件并会用相似变换化方阵为对角 矩阵；会计算两个实向量的内积和向量的长度，会判定两个向量是否 正交；了解正交向量组的定义，会用施密特方法把线性无关向量组化 为等价的正交单位向量组；了解正交矩阵的定义、性质及其判定方法; 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会用正交矩阵化实对称 矩阵为对角矩阵。本章重点：求实方阵的特征值和特征向量；方阵可相似对角化的 条件和方法；方阵的相似对角化；实对称矩阵的正交相似对角化。难点：方阵与实对称矩的相似标准形的求法。（三）考核要求1. 特征值和特征向量。要求达到“简单应用”层次。1.1理解实方阵的特征值和特征向量的定义。1.2理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量。2. 相似矩阵的实义与性质。要求达到“领会”层次。2.1理解矩阵相似的定义和相似矩阵的基本性质。3. 方阵相似对角化。要求达到“简单应用”层次。3.1熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件。3.2熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：A有n个 互不相同的特征值。3.3掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法。4. 向量内积和正交矩阵。要求达到“领会”层次。4.1清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积。4.2知道向量的长度的定义和把非零向量单位化。4.3理解两个向量正交的概念，会判定两个非零向量是否正交。4.4知道标准正交向量组的定义及其线性无关性。4.5熟练掌握正交矩阵的定义及其性质。4.6掌握线性无关向量组的施密特正交化方法。5. 实对称矩阵的性质。要求达到“识记”层次。5.1知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。5.2知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵。6. 实对称矩阵的正交相似标准形。要求达到“简单应用”层次。6.1会求实对称矩阵的正交相似标准形。第六章实二次型（一）考核知识点1. 实二次型的定义及其矩阵表示。2. 矩阵合同的定义。3. 实二次型的标准形。4. 惯性定理与实二次型的规范形。5. 正定二次型和正定矩阵的概念与判定方法。（二）自学要求学习本章，要求理解实二次型的定义及其矩阵表示；了解实二次 型的标准形；了解全同矩阵的概念;会用正交变换化二次型为标准形; 了解用配方法化二次型为合同标准化；知道惯性定理；理解正定二次 型和正定矩阵的定义。掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。本章重点：化二次型为标准形以及正定二次型和正定矩阵的判别 方法。难点：用正交变换化二次型为标准形。（三）考核要求1. 实二次型的定义及其矩阵表示。要求达到“领会”层次。1.1知道实二次型的定义及其矩阵表示。2. 实二次型的标准形。要求达到“领会”层次。2.1知道实二次型的标准形。2.2知道矩阵合同的定义。3. 化实二次型为标准形。要求达到“简单应用”层次。3.1知道正交变换的定义。3.2掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法。3.3知道用配方法化实二次型为标准形的方法。4. 惯性定理与二次型的规范形。要求达到“识记”层次。4.1知道惯性定理，知道二次型的秩及二次型的正、负惯性指数 及符号差。4.2知道二次型的规范形。5. 正定二次型与正定矩阵。要求达到“领会”层次。5.1理解正定二次型和正定矩阵的概念。5.2掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法。