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第六节第六节 旋转曲面与二次曲面旋转曲面与二次曲面一、旋转曲面一、旋转曲面二、二次曲面二、二次曲面三、小结三、小结 思考题思考题 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条定直线旋转一周条定直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴播放播放一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.一、旋转曲面一、旋转曲面这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴 由一条平面曲由一条平面曲线绕其平面上的一线绕其平面上的一条直线旋转一周所条直线旋转一周所成的曲面称为旋转成的曲面称为旋转曲面曲面.xozy0),(zyf),0(111zyM M旋转过程如图旋转过程如图d0(,)f y z xozy0),(zyf),0(111zyM M1)1(zz d 则则将将 代入代入2211,zzyxy d1|y 22xy 220,fxyz得旋转曲面的方程为得旋转曲面的方程为 220,.fyxz例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面xyzoxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz ),0(111zyM),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 2222tanxyz 三元二次方程表示的曲面称为三元二次方程表示的曲面称为二次曲面二次曲面相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面二、二次曲面二、二次曲面ozyx（一）椭球面（一）椭球面1222222 czbyax 椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆110()zzzc同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz|1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )|(1cz 22221xyz 如方程如方程表示旋转椭球面表示旋转椭球面,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为2242.xyz 如如（二）双曲面（二）双曲面1.单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(zxoy截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.)0,0,0(O 012222zbyax xyoz与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax xyoz（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截)0(yxoz截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.012222yczax实轴为实轴为 轴，轴，虚轴为虚轴为 轴轴.xz xyoz 122122221yybyczax双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.y与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.1yy )(1by ,)1(221by x实轴与实轴与 轴平行轴平行,z虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)2(221by z实轴与实轴与 轴平行轴平行,x虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.,)3(1by 截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.)0,0(b截痕图截痕图 xyo（3）用坐标面）用坐标面 或或 去截曲面去截曲面)0(xyoz1xx 均可得双曲线均可得双曲线.单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.ax 2.双叶双曲面双叶双曲面2222221xyzabcxyo（三）抛物面（三）抛物面2222xyzab1.椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.0,0 qp2222,xyzpq可写成：可写成：与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 22221111xya zb zzz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz)0(1 z这种椭圆的长短半轴这种椭圆的长短半轴随随 值的增加而增加值的增加而增加.1zxyzo2212212xypzabyy 抛物线抛物线xyzo（2）用平行）用平行 1yy 截取的截痕为截取的截痕为 2212212xypzabyy 抛物线抛物线xyzo（3）用平行）用平行 1xx 截取的截痕为截取的截痕为 特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为ab 2222xyzaa旋转抛物面旋转抛物面22211xya zzz 与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.1zz )0(1 z当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.半半径随之增加径随之增加.1zz（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕绕 轴旋轴旋转而成的）转而成的）xoz22xza zzxyo椭圆抛物面（开口向下）：椭圆抛物面（开口向下）：2222xyzab 00,pq 2222xyzpq可写成：可写成：zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：2222xyzab 2222xyzab2222xyzab2.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：0,0 qp图形如下：图形如下：xyzo2222xyzpq可写成：可写成：旋转曲面、椭球面、抛物面、双曲旋转曲面、椭球面、抛物面、双曲面、面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）三、小结三、小结思考题思考题方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？思考题解答思考题解答 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.练练 习习 题题xyzooxyz二、二、.1.2.2.1三、三、x1yzo2xyzoRRR
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