广西柳州市高级中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

2 p 1 广西柳州市高级中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设集合A =xln(x-1)0，B=xx(x-6)0，则AB =( )A(2,6)B(2,+)C(2,6D6, +)2已知幂函数f ( x) =xa 2 的图象经过点 2, ，则 f (16) =（ ） A4 B-4C14D-143函数f (x)=2x-2+ex +1的零点所在的区间为( )A(-1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)4已知 a =1 ， b =8 ， a (b-a)=-5，则向量 a 与 b 向量的夹角是( )A2p3Bp3C5p6Dp65函数f ( x) =log0.6( x2+6 x -7)的单调递减区间是（ ）A( -,-7)B( -,-3)C( -3, +)D(1, +)6已知曲线C : y =sin x 1，C : y =sin 2 x + 2p3，则下面结论正确的是( )A把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度，6得到曲线 C .2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移p3个单位长度，得到曲线 C .2C把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 112p倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度，3得到曲线C2.D把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 112p倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度，6得到曲线 C .27九章算术是我国古代的数学巨著，其中方田章给出了计算弧田面积所用的经试卷第 1 页，总 4 页= 2 3 验公式为：弧田面积=12（弦矢+矢 2 ），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有 2圆心角为 p ，矢为 2 的弧田，按照上述方法计算出其面积是( )3A 2+4 3B3+12C 2+8 3D 4+8 38函数f (x)=xlnx的大致图象是（ ）ABCD9如图，在DABC中，AD =2 1 AC ，BP = BD3 3l，若 AP =lAB +mAC ，则 ( )mA-3B3C 2D -210如果a =sin 2，b =1 12，c =log10.5，那么( )A a b cBc b aCa c bDc a b11已知函数f (x)=ex+x .若函数 h(x)= f(x)-a有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为( )A(0,1)B(1,+)C(-1,0)D(0,+)试卷第 2 页，总 4 页274 w a ( ) p ,06 ( )12已知f ( x)是定义域为( -,+)的奇函数,满足f(1 -x ) = f(1 + x ).若f (1) =2，f (1)+ f (2) + f (3) + 则-50A+f (50) =B 0（ ）C 2D 50二、填空题13计算：8 -23-lg 2 -lg 5 =_14在梯形ABCD中，已知AB /CD，A (-2,-1)，B(4,3)，C(-1,2)，D(2,m)，则 m =_.15函数f ( x ) =sin(2 x +3) -3cos x2的最小值为_16设函数f (x)=3cos wx +sin wx ，若 f(x) fp 对任意的实数 x 都成立，则最小的正数 为_.三、解答题17若角 b 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，且终边经过点(3,-1)，角 满足tan(a+b)=1.(1)求tana的值；p sin p-a-sin -a (2)求 2 cos (-a)+sin(2p+a)的值.18已知函数f (x)=sin(2wx+j)，(其中 w 0 ，j f(x)（a为正常数），则称函数f(x)为“a 距”增函数（1）若f (x)=2x-x ， x (0， +)，试判断 f (x)是否为“1 距”增函数，并说明理由；（2）若f (x)=x3-14x +4， x R 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围；（3）若 f (x)=2x 2+k x， x (1， +)，其中 k R，且为“2 距”增函数，求f (x)的最小值试卷第 4 页，总 4 页1C【解析】【分析】由题意可知【详解】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案ln (x-1)0x-11 x 2 ， x (x-6)00x 6，求解即可.ln (x-1)0 x -1 1即 x 2 A =xln(x-1)0=xx2x (x-6)00 x 6 B =xx(x-6)0=x0x6 A B =x2x 6故选：C【点睛】本题考查集合运算，属于较易题.2C【分析】把已知点坐标代入函数式求得a，再求函数值 【详解】由题意 2a=221， a =- ，2 f (16) =16-12=14故选：C【点睛】本题考查求幂函数的解析式，设出解析式f ( x) =xa，代入已知条件如点的坐标求得a即可得幂函数解析式，有时还要注意函数的性质以确定a 的取舍答案第 1 页，总 16 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。3B【分析】根据零点存在性定理，验证连续函数在区间的端点值异号，即可. 【详解】f (-1)=2(-1)-2+e-1+1=-30 , f (0)=20-2+e1=e -2 0又f (1)=21-2+e1+1=e20 f (0)f(1)0 ，得x 1，即函数的定义域为(-,-7)(1,+).设g (x)=x2+6x-7 =(x+3)-16，可得函数g (x)在(-,-7)递减，在(1,+)递增，又由f (x)=log0.6g (x)在(0,+)上递减，根据复合函数的单调性，可得f (x)在(1,+)递减.故选 D.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，同时忽视函数的定义域是解答此类问题的一个易错点，着重考查了分析 问题和解答问题的能力，属于中档试题.6D【分析】根据三角函数的图像变换，y =sin x先伸缩变为原来的1w倍，再向左或向右平移jw个单位，得到y =sin(wx+j)，即可.【详解】先伸缩变换，将C : y =sin x 1纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到y =sin 2 x，再平移变换，将y =sin 2 xp p 向左平移 个单位长度，得到 6 .故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于较易题.7A答案第 3 页，总 16 页x 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【分析】根据在直角三角形的边角关系求出 AB 即可.【详解】如图，以及弦长“矢”的大小，结合弧田面积公式进行计算2由题意可得 AOB = p3，在 Rt DAOD中，AOD =p3, DAO =p6，所以 OB =2OD ，结合题意可知矢 =OB -OD =OD =2，半径OB =4，弦 AB =2 AD =2 16 -4 =4 3 ，所以弧田面积 =12（弦矢+矢 2）1= (4 3 2 +2 2) =4 3 +2 2，故选 A.【点睛】该题考查的是有关与数学文化相关的问题，涉及到的知识点有应用题中所给的条件与公式解 决相关的问题，在解题的过程中，注意对条件的正确转化，属于简单题目.8C【分析】根据特殊位置的 所对应的 【详解】f (x)=xlnx因为f (x)的值，排除错误选项，得到答案.所以当 0 x 1时，f (x)sin3p4，1 2 2b = = 10.5，从而判断a , b , c的大小关系即可.【详解】p22 3p4 sin3p p sin 2 sin4 22，即 a 2 3 log0.51 1 1 log =1 ，即 c =log 13 2 31 2 2b = = 12 2b a fmin(x)，求fmin(x)，即可.【详解】函数f (x)=ex+x的定义域为 R，关于原点对称. f(-x)=e-x+-x =ex+ x = f(x)，即函数f (x)为偶函数.当x 0,+)时f(x)=ex+x函数f (x)在0, +)上单调递增，在(-,0上单调递减即fmin(x)=f(0)=e0+0=1若函数h (x)=f(x)-a有两个不同的零点.则需a fmin(x)=1故选：B【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，函数的奇偶性与单调性的应用，是解决本 题的关键，属于中档题.12C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为f ( x)是定义域为( -,+)的奇函数，且f(1 -x ) = f(1 + x )，所以f (1+x ) =-f ( x -1) f (3 +x ) =-f ( x +1) = f ( x -1) T =4答案第 6 页，总 16 页,27因此本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。f (1) + f (2) + f (3) + + f (50) =12 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (1) + f (2)，因为f (3) =-f (1)，f (4) =-f (2)，所以f (1)+f (2) + f (3) + f (4) =0，f (2) = f ( -2) =-f (2) f (2) =0 ，从而 f (1) + f (2) + f (3) + f (50) = f (1) =2，选 C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变 换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解1374【分析】直接利用公式计算得到答案. 【详解】8 -23-lg 2 -lg 5 =9 9 1 7 -lg 10 = - =4 4 2 4故答案为74【点睛】本题考查了指数对数的计算，属于简单题目. 144【解析】【分析】由题意可知，AB /CD且 AB CD 则 AB / CD ，且 AB CD ，根据 AB =(6,4)，CD =(3,m-2【详解】)，求解，即可.A (-2,-1)，B(4,3)，C(-1,2)，D(2,m) AB =(6,4)，CD =(3,m-2)又在梯形ABCD中，AB /CDAB / CD ，且AB CD即3 4 -6 (m-2)=0则 m =4答案第 7 页，总 16 页4 2 2 3 4 4 检验，当 m =4 时本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 AB =2 CD故答案为： 4【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于较易题.15 -4.【分析】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x的二次函数，从而得解.【详解】f ( x ) =sin(2 x +3p2) -3cos x =-cos 2 x -3cos x =-2cos2x -3cos x +13 17=-2(cos x + ) 2 +4 8，-1cos x 1 ， 当cos x =1时，f( x) =-4 min，故函数f ( x)的最小值为 -4【点睛】解答本题的过程中，部分考生易忽视 出现运算错误2163【分析】-1cos x 1的限制，而简单应用二次函数的性质，函数f (x)变形为f(x)=2sinwx +p3，根据题意可知fmax(x)= fp ，则p4w+p3=p2+2 kp, k Z，求解即可.【详解】f(x)= 3 coswx +sin 3 1 p wx =2 cos wx + sin wx =2sin wx+ f (x)fp 对任意的实数 x 都成立. fmax(x)=fp 答案第 8 页，总 16 页 12 123 p w,06 j 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。则p4w+p3=p2+2 kp, k Z ，即 w =23+8k , k Z当 k =0时，最小正值为w =23故答案为：23【点睛】本题考查正弦型三角函数的图像与性质，属于中档题.17(1)2；(2)【分析】13.(1)根据任意角三角函数定义可知，tan1b=- ，再由 tan 3a =tan (a+b)-b求解，即可.(2)先根据诱导公式化简为齐次式sin a-coscos a+sina tan=a tana-1a+1，再代入tana，求解即可.【详解】(1)角 b 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，且终边经过点(3,-1)tanb=-13又tan(a+b)=1tana =tan (a+b)-b=tan (a+b)-tanb 1 +tan (a+b)tanb=1 +1 -1313=2(2)原式=sin a-coscos a+sina tan a-1 2 -1 1 = = =a tan a+1 2 +1 3【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，以及三角函数给值求值问题.属于中档题.18(1)f (x)=sin 2 x - 5p 11p ；(2) 0, ， , p .【分析】(1)先根据最小正周期为 ，确定 ，再根据一个对称中心为p ，求解 ，即可.(2) 令2kp-p22 x -p32 kp+p2， k Z ，求解 x 的取值范围，再与0,p取交集，即可.答案第 9 页，总 16 页( ) , 12 12 0, ， , p12 12本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【详解】(1)T =2p2w=p w =12 p6+j=kp，k Zj=kp-p3，k Z又j p2 k =0时j=-p3 f x =sin 2 x - 3 .(2)令2k p-p2p2 x - 2 k p+ 3p2，k Z得：k p-p 5px k p+ ， k Z 12 12又因为x 0,p所以 k =0时，增区间是-p 5p,12 12 5p0, p = 0, 12 k =1时，增区间是11p 17p 0,p=11p , p12 综上所述，f (x)在x0,p的增区间分别是 5p 11p .【点睛】本题考查求正弦型三角函数的解析式以及单调区间，属于中档题.19(1)p3；(2) 7 .【解析】【分析】(1)根据正弦定理将2b cos A =c cos A +a cos C变形整理2sin B cos A =sin (A+C)=sinB ，求解 cos A =12，确定角 A ，即可.(2)先由AB AC =32，确定bc =3，再由余弦定理，求解即可.答案第 10 页，总 16 页a x 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。【详解】(1) 2b cos A =c cos A +a cos C 2sin B cos A =sin C cos A +sin A cos C即2sin B cos A =sin(A +C)=sin B sin B 0cos A =12又A (0,p)A =p3(2)AB AC = AB AC cos A =bc cos A =32 bc =3a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-2bc-bc =16 -9 =7. a =7 .【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.20(1)1；(2)f (x)为减函数，证明见解析；(3)-,-32.【分析】(1)由奇函数的性质可知，f (0)=0，从而求解 值，然后检验证即可.(2)根据定义法证明函数f(x)的单调性，即可.(3)根据函数f (x)为奇偶性，以及单调性，将不等式f (-2m2+m-4)+f(m2-2mt)0等价变形为 m 2 -2 mt 2 m 2 -m +4 ，即，2t -m-4 4 +1 ，原问题转化为 2t -m- +1m m在m (1,3)上有解，根据y =-m-4m+1的单调性，求解最大值，即可.【详解】(1)由f (x)为定义在 R上奇函数可知，f (0)=0，解得 a =1 .经检验，此时对任意的 都有答案第 11 页，总 16 页( )x ( ) x x ( ) ( )2 1 ( )( )1 2 x x . 4 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。1 1 1 2 xf -x =- + =- +2 2 -x +1 2 2 x 2 -x +2x1 2 x 1 (1+2)-1 =- + =- +2 1 +2 x 2 1 +2 x1 1 =- +1 -2 1 +2x=1 1 1 1 - =- - + = f x 2 1 +2 2 2 +1 故 a =1 .(2)由y =2 x +1递增可知f (x)=-1 1+2 2x +1在 R 上为减函数，证明如下：对于任意实数 x ， x ，不妨设 x x1 2 1 21 1 2 x -2 xf x -f x = - =2 1 +1 2 2 +1 2x1 +1 2x2 +1 y =2x递增，且 x x 1 2) 0 2 x1 0 f (x)-f(x0,1 2， 2x1+1 0， 2x2+1 0f (x1)f(x2)故f (x)在 R 上为减函数.(3)由f (x)为奇函数得：f (-2m2+m-4)+f(m2-2mt)0等价于f (m2-2 mt )f(2m2-m +4)又由f (x)在 R 上为减函数得： m2-2 mt 2 m2-m +4即 2mt -m2 +m -4因为m (1,3)，所以2t -m-4m+1.若使得关于 m 的不等式 f (-2m2+m-4)+f(m2-2mt)0在m(1,3)有解则需2t -m- +1 在 m (1,3)上有解 my =-m-4m+1在区间(1,2)上单调递增，在区间2,3)上单调递减答案第 12 页，总 16 页t ( ) p 1 2 2 ( ) 2 ( ) 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。当 m =2 时， y =-m-4m+1取得最大值 -3. 2t -3，解得t -32 的取值范围是 -,-32.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用，属于较难的题.21(1)74, 2；(2)23.【解析】【分析】(1)由题意可知， f (x)=ab+3 1 p = sin 2 x -4 2 3 ，令 p pg x =2 f x + =sin 2 x + 4 6 ，根据方程2 fx + =2 a -3 4 有两个不等的实根，则需函数g (x)在-p p,6 3上的图象与y =2 a -3有两个交点，求解即可.(2) 令t =2 x -p3，则函数f (x)变形为y=12 p 5psin t , t - , 3 3，从而 f (x)=等价于31 1 1 1 sin t = ，根据函数 y = sin t 的图象与性质，可知 y = sin t2 3 2 2与y =13的两交点的横坐标t , t1 2，满足t +t =p 1 2，则2 x -1p p 5p +2 x - =p，即 x =3 3 6-x1，代入cos (x-x1 2)，求解即可.【详解】(1)由题意可知，f x =cos x 12sin x +32cos x- 3 cos x + 341 3 3 1 3 3 = sin x cos x - cos 2 x + = sin 2 x - 1 +cos 2 x +2 2 4 4 4 4 1 3 1 p = sin 2x - cos 2 x = sin 2 x -4 4 2 3 答案第 13 页，总 16 页 = sin 2 x +6 2 f x + 4 2 t - 4 2 1 2 2 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。令g (x)=2f x +p4 p 当 p px - , 6 3 时，令t =2 x +p6，则 p 5pt - , 6 6且y =sin t在区间 p p- , 6 2 p5p上单调递增，在区间 , 上单调递减2 6 若使得方程 p4=2 a -3有两个不等的实根则需函数g (x)与y=2a -3有两个交点即 y =sin t ，t -p 5p,6 6与y =2 a -3有两个交点.所以1 7 2 a -3 ,1 ，即 a , 2 .(2)x (0,p)，令t =2 x -p3，则 p 5p,3 3所以y =1 p 1 p 5p sin 2 x - = sin t , t - ,2 3 2 3 3又因为1 p 4p y = sin t , t - ,2 3 3p时，图象关于 t = 对称，且2 3 1 y - , 4p 5p t , 3 3 时，图象关于t =3p2 1 3对称，且 y - , -2 4所以f (x)=13等价于1 1 p 4p sin t = , t - ,2 3 3 3设t , t1 2为1 1 y = sin t 与 y =2 3的两交点的横坐标，则t +t =p 1 2x ， x 为方程 1 2f (x)=13的两个解 p p 2 sin 2 x - =sin 2 x - = 3 3 3即2 x -1p3+2 x -2p3=p，即x +x =1 25p 5p， x =6 6-x1答案第 14 页，总 16 页 1 1 3 2 - 2 2 2 2 ( ) () ( )( )3 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。cos (x-x )=cos 2 x -1 2 15p6 p p =cos 2 x - - =sin 2 x - p 2=3 3.【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，以及函数的零点问题，属于较难的题.22（1）见解析； （2） a 1 ； （3）f (x)min=k 22 4 , -2 k 0即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到f (x+a)-f(x)=3x2 +3 xa +a 2-140 在 x R 上恒成立，求出 a 的取值范围即可；（3）由f (x)为“2 距”增函数可得到f (x+2)f(x)在x(1，+)恒成立，从而得到(x+2)+kx +2 x 2 +k x恒成立，分类讨论可得到k的取值范围，再由f (x)=2x+kx =2k x + -2 k4，可讨论出f (x)的最小值【详解】（1）任意x 0,f (x+1)-f(x)=2x +1-(x+1)-(2x-x)=2x-1,因为 x 0 , 2 1 ,所以 2x1 ，所以f (x+1)-f(x)0，即f(x)是“1 距”增函数（2） 1 1 f x +a - f x = x +a - x +a +4 - x 3 - x +4 =3 x 4 4 2a +3 xa2+a31- a4.因为f (x)是“a距”增函数，所以3 x 2 a +3 xa2+a31- a 04恒成立，因为a 0,所以3 x2+3 xa +a2-140 在 x R 上恒成立，所以D=9 a2-12 a2-141 ，因为a 0,