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第二章习题习题2.1设随机过程X(t)可以表示成：X(t) =2cos(2Kt+0), -8t 80 0 0式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(试求 EX(t)和 R (0，1)。X则能量谱密度讪 X( f )2 =|1 +j316兀/2)=0.5解.EX(t)=p(=0)2 cos(2兀 t) +P(e = .:/2) 2cos(2兀 t + )=cos(2兀 t) sin 2兀 t习题2.4 X(t)= cos 2兀t - x2sin 2兀t，它是一个随机过程，其中X和x2是相互统计独立的高 斯随机变量，数学期望均为0,方差均为b 2。试求：(1)EX(t)，E X 2(t) ； (2)X(t)的概率分布密度；(3) RX(，t2)coset习题2.2设一个随机过程X(t)可以表示成：X (t) = 2cos(2 兀 t +0 ),一8 t 0X(t) =0, t0试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：X ()=J +8 x(t )e- jetdt = Jg+ 4e-te- jetdt = 4 J +e-(i+j)tdt =001 + je=EL cos2Kt X sin= cos2Kt - EL sin 2Kt - eC=0 P (f)因为 x 和x 相互独立所以 Etx x = Etx Elx X因为2相互独立所以1訓丄丄 又因为E x1- = E_x2 (= ，b 2 = E&j f2!，所以E&j = E，x2 故 E X 2 t = cos2 2Kt + sin2 2Kt b 2 = b 2(2)因为弋和兀烏服从高斯分布，X (t艇兀和兀、z 2(1)12b 2 = E12()=1布函数P x = .2Kb.exp J2兀 bI 2b2 丿。(3)R(t ,t )= E(X(t )X(t )L EkxX 12121=b 22兀t cos 2兀t(1)=b 2 cos 2k y -1 丿21,2的线性组合，所以XQ也服从高斯分布，其概率分cos 2兀t - x sin 2兀t )(x cos 2兀t - x sin 2兀t )1 2 1 1 2 2 2+ sin 2兀t sin 2兀t 】21习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(f)+ COS2 2吋；a + 6 (f -a)；解：根据功率谱密度P(f)的性质：P(f) - 0，非负性；P(-f) = P(f)，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。 exp C - f 2)习题2.6试求X(t)=AcOset的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。虫 cos roT = R (T )2=2 A2 E cos roT+ cos (21 + T )=的波形可+ Sa2A2功率 P二 R(0)=p-X (t )X (t )习题 2.7 设 X1 t 和 X2 t 是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为 RX(T RX2(T l。试求其乘积X(t)= X 1(t) X2(t)的自相关函数。解：M：(t,t+：) = EX(t)X(t+：) = E X 1(t)X2(t)X 1(t +T )X2(t +T )=EX (t)X (t+T)EX (t)X (t+T)=R R1122= X1(T ) X2(T )习题2.8设随机过程X(t)=m(t) C0St，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为图2-1信号波形图(、因为X (t)广义平稳，所以其功率谱密度PO R。由图2-8可见，RvXXX视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此P (ro) = X兀 k(ro + ro )+ 8(ro -ro )* -Sa21 二x 1 I x2 兀002 I 2 丿=4Sa2P =丄 P(rohro = 1,或S = R (0)=12兀 _8 x2x2PX (f )=10-4f 2,-10 kHZ f 10 kHZ0淇它习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) = S：/。试求此信号的自相关函数壬；解：x(t)的能量谱密度为G(f)= |X (f )|2sin 兀 f的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX ( f )和功率P试画出自相关函数)X其自相关函数R(t)=+“G(f)ej2冗/t df = X一8习题2.10已知噪声)的自相关函数rn(1)试求其功率谱密度函数Pn1T0,ke-k2-1 T 00 T 1其它Tl，k为常数。 率P ;画出Rn ( )和 P (f )的曲线。nnk2k 2 + (2 兀 f )2解： P (f) = J R (t)e-jTdT = J + e-kTb-阿dT = n8 n8 2解：高通滤波器的系统函数为H(f)= X(t) = 2cos(2兀t +0), g t g输入信号的傅里叶变换为X(f)=11 + j 2 冗 fT输出信号y(t )的能量谱密度为G (f) = Y (f )l2 = lx (f) H (f )l2y中，R T(R + j 2 兀 fC )(1 + j 2 兀 f t )图2-3RC高通滤波习题2.14设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)，dx(t dtI式习题2.11已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：R(1) = 1 T |, 一 1 T 1T为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)= T * j2兀f * X (f)，所以H(f)=Y(f)/X(f)=j 2兀fT试求X(t)的功率谱密度PX(f )并画出其曲线。n解：详见例 2-12习题2.15设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为寸的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10习题2.12已知一信号x(t)的双边功率谱密度为P (f )=罗f 2,10 囂 f 0习题213设输入信号x(t) = | 0, t n1+T,-1T 0R (T) = l-T,0 T 1m，其它 em(t)为是月艮从均匀分布的随机变量，它与彼此统计独立。Z(1) 证明是宽平稳的;R(T)(2) 绘出自相关函数z的波形；P O)(3 )求功率谱密度z 及功率S。解：(1)是宽平稳的为常数;EZ(t) = Em(r)cos( w f+0) = Em(t)Ecos(w f+0)0 01271=一I cos(wr+0)0Z(0 = 0 2兀ooR (t ,t ) = EZ(t )Z(t ) = Em(t )cos( w t +0)m(f )cos( w t +0)Z 121210 120 2=Em(t )m(t )Ecos(w t +0)cos( w t +0)1 2 0 1 0 2Em(t )m(t )- R (t -t) t -t -t12m 21只与21 有关:t =t +T令21Ecos(w t +0)cos W (t +T)+00 1 0 1Ecos(w t +0)cos(w t +0)cos wt sin(w t +0)sin wt0 1 0 1 0 0 1 0=cos w t * Ecos2 (w t + 0) - sin w t * Ecos(w t +0)sin( w t +0)0 0 1 0 0 1 0 1=coswt *E1+ cos2(w t +0)-Oo 2o i=COS(WT )2 oR (t ) = cos(wt)*(T)Z 1220mT所以只与 有关，证毕。(2 )波形略;R(T)= J-COS(WT)* R(T)= Z20m-(1+T)COS(WT),-1T 02o-(1-T)COS(WT),0 T TbR严1-T|/T, k| Tb时，g (t)与g (t+r)无关，故伸)=0当苗Tb时因脉冲幅度取1的概率相等所以在込内该波形取-1-11 1、-1 1、1 T - r rTRg (r)二 Eg (t )g (t +r)二 4*(十-)在图示的一个间隔 b 内，bb1 -1的概率均为4。T -rb(A)波形取-1-1、11时，1 1o, ri Tbi-ri / Tb,苗 t(2)竺)=匪(t )g (+)=4*1=1/4(B) 波形取-1 1、1 -1 时，Arwuo Sa 2 ()242，其中为时域波形的ArrriR (r ) o p (w) = TSa 2( WTb)ggb2面积。所以21 1即)二 Eg (t )g (t +r)二 2*4 + 2*4(习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程耳(t)是平稳的，求1(t)与g2(t)的互功率谱密度的表示式。(提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换对)g (t) = fn (t-a )h (a) da1 1g (t)= fn(t-P)h(p)dp2 2En (t) = 00Efn(t -a)h (a)d(t +t 卩)h (卩)d卩1 1 1 2P0(w)0JJh (a)h (p)R (t +a -p)dadp12 n00n1nT牙*wRC57 o ro(T)= 4RC exP( 一 RC) no2又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为1f x二exp(2kqno 4RCR (t t +t )二 E匡(t 疋(t +t )12 1, 1 1 1 2 1P12(w)R (t)e -jWtdt = JdtJ d a J h(a) h (卩)R(t+ a -卩)e j d 卩1212nt =t +a 一 pP12(w)f h(a)e jwada f h(P )e- jwp d P f R (t )e- Jwtdt = H * (w)H (w)P (w) n12 n0g (t)& (t )习题2.29若是平稳随机过程，自相关函数为g，试求它通过系统后的自相关函数及功率谱密度。解：h(t) = 6 (t) + 5 (t - T) o H (w) = 1 + e-jwt|H (w) = (2 + 2cos wT) 1/2P (w) = |H (w)|2 P (w) = 2(1+ cos wT)P (w)P (w)=2P(w)+2coswT*P(w)=2P(w)+(e-jwT +ejwT)P(w)Oggggo2R (T)+R (T-T)+R (T+T)gggn / 2 习题2.30若通过题2.8 的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为 0 的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。解：
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