通信原理答案第三章 2A

第三章3-1设X是a二0 , b二1的高斯随机变量，试确定随机变量Y二cX + d的概率密度函 数f (y)，其中c, d均为常数。解：Ey = cEx + d = d， Ey2-E2y = c2EX2 + 2cdEX = c21(y d)2/(y) =exp2兀 c 22c 23-2设一个随机过程E (t)可以表示g(t) = 2cos(2兀t +9)式中，9是一个随机变量，且P(9 = 0) = 1/2，尸(9=兀.=12，试求 隹及 Rg(0,1) 。g解： 由P(9 = 0) + P(9 = 2) = 1得到随机变量9的概率密度分布函数为f (9) = 2 8 (9) + 2 8 (9扌)，E t = L 2cos(2兀t+9)丄8 (9) + -8 (9 -)d9g-：222兀=cos(2 兀 t) + cos(2 兀 t +)2E1=1R (0,1) = W 4cos(9)cos(2兀+9)丄8(9) + -8(9-)d9g 2 2 2 =23-3设Y(t) = X cost - X sin cost是一随机过程，若X.和X2是彼此独立且具有1 0 2 0 1 2均值为0、方差为。2的正态随机变量，试求：(1)EY(t)、EY2(t)；(2) Y(t)的一维分布密度函数f(y)；(3) R(t,t )和B(t,t )。1 2 1 2解：(D EY(t) = EX cos t - X sin t1 0 2 0=EX cos t - EX sin t1 0 2 0=EX cos t - EX sin t = 01 0 2 0EY2(t) = E(X cos t-X sin t)21 0 2 0=EX2cos2 t-2EX EX cos tsin t + EX2sin2 t 1 0 1 2 0 0 2 0=c 2 (cos2 t + sin2 t) - 0 = c 2 00(2)因为X、X为正态分布，所以Y(t)也为正态分布，12又EY(t) = 0, DY(t) = EY2 (t) - E2 Y(t) = c 2所以f (y)=质exp(3) R(t,t ) =EY(t )Y(t )1 2 1 2 =E(X cos t - X sin t)(X cos t - X sin t )1 01 2 01 1 0 2 2 0 2=EX2cos t cos t + EX2sin t sin t1 01 0 2 2 01 0 2-EX EX cos t sin t - EX EX sin t cos t 1 2 01 0 2 2 1 01 0 2=c 2 cosw (t - t ) =c 2 cos0 2 1 0B(t, t ) = R(t, t ) EY(t )EY(t ) = R(t, t ) = c 2 cos t1 2 1 2 1 2 1 2 03-4已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为a和a，自xy相关函数分别为R (t )、R (t )。xy(1) 试求乘积Z(t) = X(t)Y(t)的自相关函数；(2) 试求和Z(t) = X(t) + Y(t)的自相关函数。解：(l)R(t,t ) = Ez(t)z(t ) = EX(t )Y(t)X(t )Y(t )1 2 1 2 1 1 2 2=EX(t )X(t )EY(t )Y(t )=R (T)R (T)1212X Y(2) R(t, t ) = EZ(t)Z(t ) = E(X (t) + Y(t)(X (t ) + Y(t )1 2 1 2 1 1 2 2=EX (t)X (t ) + EX (t )Y(t ) + EX (t )Y(t) + EY(t )Y(t )1 2 1 2 2 1 1 2=R (T) + EX (t )EY(t) + EX (t )EY(t ) + R (t )x2112 y=R (t ) + 2a a + R (t )xx y y3-5已知随机过程z(t) = m(t)cos(t +0)，其中，m(t)是广义平稳过程，且其自相关 c1+T-1 T 0函数为R (T) = 1-T 0 T Tm0 其他随机变量0在(0,2兀)上服从均匀分布，它与m(t)彼此统计独立。(1) 证明z(t)是广义平稳的;(2) 试画出自相关函数R (t )的波形；z(3) 试求出功率谱密度P (f)及功率S。z解：Ez(t)二 Em(t)cos(3 t +0)c二 Em(t) Ecos t + 0)c因为 Ecos(w t +0)=丄 J2兀cos( t+0)d0 = 0，得到c2 兀 0cR (t,t+t)= Ez(t)z(t+t) zEz(t)=0=R (t)丄 J2kcos(3 t+0)cos3 (t +t) +0d0 m 2 兀 0cc=R (t)丄 J2Kcos3T + cos(23 t + 20 +3T)m4 兀 0ccc=R (T)cos 3T2 mc所以，(1)z (t)是广义平稳的;2)略(3) P (f) = Js R (T )e - j 2k f T dTz -8 z=J 0 (1+T )cos 3T e- j 2 f T dT + J (1-T )cos 3T e - j 2 fT dT 2 -1c 2 0 cc+c4 (3-3 ) 224 (3+3 ) 22cc 1 sin2(3-3 )/21 sin2(3 + 3 ) J2其中，3 = 2兀f。S = R (0)=z2或者，S J P( f )dfg=1 Jg ISin2ge ).2 + Sin2g+e)：2|df4 gC_:1C_: g3 ) 22+ ) 22c c=1 Jg sin2(ee )2 + sin2(e+e )/2. 4 _g2兀-e ) 222兀(e+e ) 22 Jcc =1 Jg 8 (ee ) + 8 (e + e )de4 gcc_ 123-6已知噪声n(t)的自相关函数为(1)求出其功率谱密度P (f)及功率N ；n(2)试画出R (t )及P (f )的图形。nn解：(1)P(f) _ k Jg e-kT j2k ft dT2 gk 0k g=_J0 ekTj2kftdT + JgekT j2kftdT2 g2 0k gk g_ Jg ekT+j 2k ft dT + Jg ekT j 2k f t dT2 02 0_k 2k2 + 4k 2 f2kN = R (0)=n22)略。3-7 一个均值为a，自相关函数为R (t )的平稳随机过程X(t)通过一个线性系统后的X输出过程为Y(t)_X(t)+X(tT)， T 为延时时间(1)画出该系统的框图；(2)试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。 解：(1)略( 2)R (t, t +t) = EY(t)Y(t +t )y=EX(t)X(t+t)+EX(t)X(t+t T)+EX(tT)X(t+t)+EX(tT)X(t+t T)=2R (t)+R (t T)+R (t +T)X X XP (f) = 2P (f) + 卜R (t T) + R (t+ T)e-j2兀fT dTYXs XX=2P (f) + 卜R (t )e-j2kf(t+t) + R (t )e-j2冗f(t-t)dTXs XX=2P (f) + 2cos 2k fT卜 R (t )e-j2kft dTXs X=2P (f)+2P (f)cos2kfTXX=4P (f)cos2kfTX3-8 一个中心频率为f、带宽为B的理想带通滤波器如图P3-1所示。假设输入是均值 c为0、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声，试求：（1）滤波器输出噪声的自相关函数；（2） 滤波器输出噪声的平均功率；（3）输出噪声的一维概率密度函数。庶 H )|f 2kBf 2kBi-J1-W0 13cc图 P3-1解：（1）经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为P = ono 10/2|ww IkBc其余n故 R (t ) = F-1 P () = o X 2BSa(兀 B )cosnono2c=n BSa(兀 Bt )cos t 0c(2) N = R (0) = n Bno no0(3) 因为输入是高斯噪声，所以输出仍为高斯噪声。又，R S) = En (t) = 0,nooR (0) R (s) = c2 = n B 0 = nB，所以，Dn (t) =o = Qn Bnono00o0故输出噪声的一维概率密度为：f (x)=諾希exp(斗03-9 一个RC低通滤波器如图P3-2所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n0/2的白 噪声时，试求：（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数。图 P2-2解：(1)低通滤波器的传输函数为1H )=1 + j RC经过滤波器后，输出噪声的功率谱密度为1P ()=P ()-|H()|2= n0-|12 1 + ( RC )2nk IR (k) = F-1 P =曲 exp()nono4 RCRCnonin(2) N = R (0) = i = b 2,no no4RC由题 3-8，输出噪声的一维概率密度函数为：f (x)=浮C exp(竺空)n nnT 0 03-10 一个LR低通滤波器如图P3-3所示，假设输入是均值为0、功率谱密度为n02的白噪 声时，试求：( 1 )输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。Lnd图 P3-3解：(1) LR低通滤波器的传输函数为H()= f+ JR输出噪声的功率谱密度为P ()=H()|2 n0 =no2nR 202 R2 + (L)2R ( ) = F-1P (f)=竽 eno no 4 L2)Nno=R (0)=nonR=R (0) - R S) = R (0) - 0 =no no nonR-4L3-11设有一个随机二进制矩形脉冲波形它的每个脉冲的持续时间为j脉冲幅度取1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关且具有宽平稳性，试证：（1）自相关函数T|n T（2）功率谱密度P （如=T Sa（兀fT ）2gbb证明： 这是一个等概率发送的双极性矩形脉冲序列，可以证明（见第 6 章 138 页式 6.1-26）和 140 页例题 6-2）P= T Sa（n fT ）2g bb因为Pp） o營），Sa函数O门函数，两个Sa函数的乘积o两个门函数的卷积,可以证明自相关函数为一三角波。即響)一1-T/Tb图 P3-4解：g (t)=耳(t)* h (t)=(t-a)h (a)da1 1 1 g (t) =n(t)*h (t) = Jn(t-P)h (p)dp2 2 2Pi2( f) = F Rn()=Js e-j2冗f dTEfwn(ta)h (a)daf*n(t +T-P)h (卩)dp12-s-s-s=Js Js h (a)h (p)dadpE(t-a加(t +T-p)e-j2仆dT 12-s -s-s=Js Js h (a)h (P)dadPEJsq(t)(t +T)e-j2冗fTej2冗f(a-p)dr 12-s -s-s=Js Js ej2nf(a-p)h (a)h (P)dadpJs Eg(t)q (t +T)e-j2*frdT-s -s求出过程Y (t)是否平稳?2-s=Js Js ej2*f(a-p)h (a)h (p)dadpJs R (T)e-j2*fTdT-s -s12-s f=Js ej 2* f a h (a )daJs ej f p h (p )d pJs R (T)e j fT dT-s1-s2-s H=H*(f)H (f)P (f)12H3-13设平稳过程X(t)的功率谱密度为P ()，起自相关函数为R (T )。试求功率谱XX密度为丄P (+)+ P (-)2 X0 X0所对应的过程的相关函数(其中，为正常数)。 0解：所求为F-丄P (o + o ) + P (-)I 2 X0X0sP (f + f )+P (f -f )ej2*fTdf -s X0 X0=丄J2=J00 P (f )e-j2*f0T + P (f )e+j2*f0T ej2*ft df2 -sXX=cos 2* f t Js P (f )ej2*ft df0 -s X= R (T )cos o TX03-14 X(t)是功率谱密度为P (f)的平稳随机过程,该过程通过图P3-5所示的系统。(2) 求Y(t)的功率谱密度。图 P3-5X解：(1)相加运算和微分运算都是线性运算，因为“若线性系统的输入过程是平稳的， 那么输出过程也是平稳的”所以，Y(t)是平稳的。(2) X(t)经过延时T后的信号为X(t + T) = X(t)e-阿，所以Y (t) = X (t) + X (t + T) = (1+ e -阿)C X (t)dtdt所以，系统传输函数为H ()二(1-e - jw) j功率谱密度为P (w) = H (w)|2 p(w) = 2(1+ cos wT)w2p (w)X3-15设X(t)是平稳随机过程，其自相关函数在(1,1)上为RX(T) = 1-p|，是周期为2的周期性函数。试求X的功率谱密度PX (w )，并用图形表示。解：将I )按傅立叶级数展开：Rx (T )二另C ej2“nfT nn =g=-J1 (1T |)e- j2knf0T dT2 -1=(1+t )e-j2knf0T dT + A (1t )e-j2knf0T dT2 -1 2 0=J 1(1-T ) cos 2k nf T dT0 0sin2 n“/ 22(nK 2)2y J sin 2 n“ 2,(f ) =e - j 2k (f -nf0)T dT-s 2(n“/2)20n =-s= y sin n 2 Js e-j2k(f-nf,)T dT 2(n“ 2 -sn =-s=y“ sin2 nK 2 丄 Js e- j 2K (f -nf0)T dT (nK 2)2 2k -sn =-s=y“血2nK 25(fnf) (nK2)20n =sSa 2(即(f -叭)图略。)期末试题精选与答案1. 平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与无关，二维分布只与.有关。2. 个均值为零,方差为b 2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量 过程，均值为，方差为。3均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是，其相位的一维分布是。4白噪声在上，随机变量之间不相关。5.高斯过程通过线性系统以后是过程。答案1. 时间时间间隔2. 平稳高斯 0 b 2n3. 瑞利分布 均匀分布4. 同一时刻5. 高斯考研试题精选1 双边功率谱密度为n /2的高斯白噪声，通过中心频率为f ,带宽为B(Bf )的 0cc理想带通滤波器，其输出包络的一维概率密度函数为。2. 功率谱密度为；P (+)+ P (一)的平稳过程的自相关函数为。2 x0x03. 什么是广义平稳、狭义平稳？两者关系如何？4. 窄带高斯白噪声中的“窄带”、“ 高斯”和“白”的含义是什么？5. 已知s (t)二m(t)cos(t +6)是一幅度调制信号，其中为常数；m(t)是零均值mcc平稳随机基带信号，m(t)的自相关函数和功率谱密度分别是R (t )和P (f)；相位6为在 mm-兀,+兀区间服从均匀分布的岁机变量，并且m(t)与6相互独立。(1) 试证明s (t)是广义平稳的随机过程；m(2) 试求s (t)的功率谱密度P (f)。mm6. 设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度n /2，接收滤波器的传输特性为0kfc - B 2 | f| 0。O 22o 202 R (T)cos，其中P (f) o R (T )x 0 x x3狭义平稳过程：其任意 n 维分布与时间的起点无关，如一维分布与 t 无关，二维分布只与T = t - t有关；广义平稳过程：其数学期望与t无关，而其相关函数仅与时间间隔T 21有关。两者关系：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。4.“窄带”的含义：(1)频带宽度远小于中心频率(Bf)，(2)中心频率原离零频c(f 0)；c“ 高斯”的含义：噪声的瞬时值服从正态分布；“白”的含义：噪声的功率谱密度在通带的范围B内是平坦的(为常数)。5解：因为m(t)与0独立Es (t) = Em(t)cos( t +0) = Em(t)Ecos( t + 0) = 0mcc相关函数R (t, t +T ) = Es (t)s (t +T )sm m=Em(t)cos(w t +0)m(t +t)cos(w (t +t) +0)cc=Em(t)cos(w t +0)Em(t +t)cos(w (t +t) +0)cc=1 R (T )cos WT2 mc因为均值与时间无关，相关函数只与时间间隔有关， s (t) 是广义平稳过程。m6解(1)功率谱密度n=-2 k 2 B其他平均功率N2) P( f) o R (T )nn输入噪声的自相关函数：R （工）=0（工）n2输出噪声的自相关函数：R （）二nBk2Sa（兀B）cos2kf t n0c3-12图P3-3 4为单个输入，两个输出的线性过滤器,若输入过程耳（t）是平稳的，试求烈）和g2（t）的互功率谱密度的表达式。