常微分方程自学练习题

1 21 (t)(t)2 4 - 常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y (x);y (x)为方程的基本解组充分必要条件是_.3 方程y-2y +y =0的基本解组是_.4 一个不可延展解的存在区间一定是_区间.5 方程dydx= 1 -y2的常数解是_.6 方程x -p(t ) x+=q x =0( t )一个非零解为 x (t) ,经过变换_7 假设 4 是线性方程组X =A(t ) X的基解矩阵, 则此方程组的任一解 4 =_.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的 2 倍,则此曲线方程为_. 9 满足_条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_.11 一阶线性方程y+p ( x) y =q ( x)有积分因子(m =).12 求解方程dydx=-x/ y的解是( ).13 已知(axy2+3 x2y ) dx +( x +y ) x2dy =0为恰当方程,则 a =_.14dydx=x2+y2,R : x 1 , y 1由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).y (0) =0dy dy15 方程 -5 +6 y =0 dx dx的通解是( ).dy 16 方程 +y dx 3+x =y5的阶数为_.17 假设向量函数U ( x); U ( x ); U ( x) 1 2 3U ( x )n在区间 D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式 w (x)=_.18 假设 P(X)是方程组dydx=A( x) U的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_.二 单项选择:1 方程dydx1=x 3+y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ).(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除 y 轴外的全平面2 方程dydx=y +1( ) 奇解.学习文档 仅供参考 - t 2 1 2(A) 有一个(B) 有两个(C) 无(D) 有无数个3 在以下函数中是微分方程y+y =0的解的函数是( ).(A)y =1(B)y =x(C)y =sin x(D)y =ex4 方程y -y =e x =x的一个特解y *形如( ).(A)ae x =b(B)axe x +bx(C)ae x +bx +c(D)axe x +bx +c5f ( y )连续可微是保证方程dydx= f ( y )解存在且唯一的( )条件A必要 B充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个 2 维线性空间 (B)构成一个 3 维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程dydx2=3 y 3过点(0,0)有( ).(A) 无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解8 初值问题x =0 11 0x ,x =(0)1 -1在区间,-t 上的解是( ).(A)u( t )t (B)u( t )e = -t(C)u( t )t = -e(D)u( t )e = -e9 方程dydx+x2y +cos x =0是( ).(A) 一阶非线性方程 C)超越方程dy dy10 方程 +3 =0 dx dx(B)一阶线性方程 (D)二阶线性方程的通解是( ).(A)C +C e1 23 x(B)C x +C e 1 2-3x(C)C +C e1 2-3x(D)C e2-3xdy 11 方程 dx 2dy+4 +4 y =0 dx的一个基本解组是( ).(A)x, e-2x(B)1, e-2x(C)x 2 , e -2x(D)e -2x , xe -2xdy 12 假设 y1 和 y2 是方程 dx 2dy+p ( x) +q ( x) y =0 dx的两个解,则y =e y +e y 1 1 2 2e ,e为任意常数(A) 是该方程的通解(B)是该方程的解学习文档 仅供参考 t - e- t(C) 不一定是该方程的通解(D)是该方程的特解13 方程dydx= 1 -y2过点(0,0)的解为y =sin x,此解存在( ).(A)( -,+)(B)( -,0(C)0,+)(D)-p p, 2 214 方程y =3 x 2 y -e x是( ) .(A) 可别离变量方程(B) 齐次方程 (C)全微分方程(D) 线性非齐次方程15 微分方程dy 1- y =0dx x的通解是( ).(A)y =cx(B)y =cx(C)y =1x+c(D)y =x +c16 在以下函数中是微分方程y+y =0的解的函数是( ).(A)y =1(B)y =x(C)y =sin x(D)y =ex17 方程y -y =e x +x的一个数解yx形如( ).(A)aex+b(B)axex+bx(C)aex+bx +c(D)axex+bx +c18 初值问题x0 11 0 x; x(0) = 1 -1在区间-t 0,使得不等式f ( x. y ) - f ( x. y ) L y -y 1 2 12对于所有( x, y ),( x, y ) R 1 2都成立, L 称为 Lipschitz 常数.6 定义在区间a t b上的函数x (t ), x (t ), 1 2L x (t )k, 如果存在不全为零的常数 c , c ,. c 使得恒等式 kc x (t ) +c x (t ) +L+c x (t ) =0 对于所有 t a, b 都成立,称这 1 1 2 2 k k些函数是线性相关的.五 1 在方程y+p ( x ) y+q( x ) y =0中,已知 p (x),q (x)在( -,+)上连续,求证:该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与 x 轴相切.证明：方程y+p ( x) y +q( x ) y =0 ，设 y =f(x )是它的任一非零解。假设 p (x),q (x)在( -,+)上连续，假设y =f(x) 在 xoy 平面上与轴相切。则y =f( x ) =0, y =0与方程有非零解y =f(x)矛盾。故y =f(x)与 x 轴不相切。2 由已知得+G (t ) +LG (t ) x = f (t ) dt n dt n -1+G (t ) +LG (t ) x = f (t ) dt n dt n -1把 x (t)+x (t)代入方程+G (t ) +LG x(t ) = f (t ) + f (t ) dt n dt n -1由左端得d n ( x (t ) +x (t ) d n -1( x(t ) +x (t )+G (t )dt n dt n -1+LG (t )( x (t ) +x (t ) n 1 2=dn x(t ) d n x (t ) d + +G (t )dt n dt nn -1x(t ) dt n -1+Gn(t )dn -1x(t ) dt n -1+L+G (t ) x (t ) +G (t ) x (t ) n 1 n 23 证明 设 y = y(x)是方程任一解，满足 y (x ) = y ，该解的表达式为yy ( x ) = 0 e x -x0+xx0f ( s ) e ( s -x 0 ) e x -x 0ds学习文档 仅供参考 1 2x x x n -1n -取极限limy( x) =lim x + x +ey0x-x0+limx +xx0f (s)e( s-x0) ex-x0ds=0 +lim x+0f ( x)e( x -x0 ) e x -x0=0若x0若x0f ( s )e ( s -x0 ) ds 0或 W ( x ) 0故W ( x) 是 ( -,+)上的严格单调函数5 答案略6 证明:已知函数组的 wronshi 行列式为e l1 x , e l2 x L elnxW(x) =l e l1 x , l e l2 x L l e ln x 1 2 nx e l1 x , l e l2 x L x 1 2nn -1elnx11L 1=e(l +l +L l 1 2 nx )l1lnL xnl1n -1l2n -1L xnn -1上 述 最 后 的 行 列 式 为 范 德 蒙 受 行 列 式它 等 于p(l -l)i j由 题 设 知l l(i j) W ( x) 0 i j由性质知.已知的函数组在上线性无关证毕.学习文档 仅供参考