资源描述
高考数学小题必练立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系本单元的学习，可以帮助学生以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决筒单的数学问题和实际问题， 感悟向量是研究几何问题的有效工具内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表 示、空间向量的应用1基本立体图形利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描 述现实生活中简单物体的结构知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图2基本图形位置关系借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系 的定义，了解以下基本事实（基本事实 14 也称公理）和定理基本事实 1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面基本事实 2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内基本事实 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线基本事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平 面的平行和垂直的关系，归纳出以下判定定理，并加以证明一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行垂直于同一个平面的两条直线平行1两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平 面的平行和垂直的关系，归纳出以下性质定理，并加以证明如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直3空间直角坐标系在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标 系刻画点的位置借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标探索并得出空间两点间的距离公式4空间向量及其运算经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程5向量基本定理及坐标表示了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的数量积及其坐标表示了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（参见案例 9）6空间向量的应用能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题， 并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用1【2020全国高考真题（理）】已知ABC是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 O的球面上2若球 O 的表面积为16 ，则 O 到平面 ABC 的距离为（）A 3B32C1 D32【答案】C【解析】设球O的半径为 R ，则 4R2=16 ，解得 R =2 设 ABC外接圆半径为r，边长为a，ABC是面积为9 341的等边三角形， a 2 23 9 3= ，解得 a =3 ， 2 4 r =2 a 2 2 9 a2 - = 9 - = 3 ， 3 4 3 4球心 O 到平面 ABC 的距离 d = R2-r2= 4 -3 =1，故选 C【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面 2【2020 全国卷】下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A 6 +4 2B 4 +4 2C 6 +2 3D 4 +2 3【答案】C【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，3根据立体图形可得S ABC=S ADC=SCDB=122 2 =2，根据勾股定理可得 AB =AD =DB =2 2 ，ADB 是边长为 2 2 的等边三角形，根据三角形面积公式可得ADB1 1 3= AB AD sin 60= (2 2) 2 =2 3 ， 2 2 2该几何体的表面积是 3 2 +2 3 =6 +2 3 ，故选 C【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形， 考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题一、单选题1设 a ， b 是两平面， a ，b是两直线下列说法正确的是（）若 a /b， a /c，则b /c若a a， b a，则a /b若 a a，a b，则a/ b若 a b， ab=b ， a a ， a b ，则a bAB C D【答案】D【解析】由平行公理知对；垂直于同一平面的两条直线平行，故对；垂直于同一直线的两个平面平行，故对； 由面面垂直性质定理知对，故选 D4 ACDABDBCD2 r 2 2 2某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A4B8 C 2 6D 4 6【答案】C【解析】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体 如图所示：由于 AB =2， BD =4，下底面BCD为等腰直角三角形可得1 1 1S = 2 2 2 3 =2 6 ， = 4 2 =4 ， = 4 2 =4 2 2 2，1S = 2 2 2 =2 2 ABC，所以该四面体四个面的面积中，最大的是ACD=2 6，故选 C3已知球面上 A ， B ，C三点，如果 AB =BC =AC = 3 ，且球的体积为20 53，则球心到平面ABC的距离为（）A 1B 2C 3D 2【答案】D【解析】设球的半径 R ，则 V =4 20 5 R 3 = 3 3，所以 R = 5 ，设 ABC外接圆的半径 ，则由 2r =3sin 60=2 ，所以 r =1 ，而R2=(OO)+r2，即5 =(OO)+1，所以OO=2，故选 D5 4如图，正方体ABCD -A B C D 的棱长为 a ，以下结论错误的是（）1 1 1 1A面对角线中与直线 A D 所成的角为 60的有 8 条1B直线 A D 与 BC 垂直1 1C直线A D1与BD1平行D三棱锥A -ACD1的体积为16a 3【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系对于 A，A1(a,0, a)，D(0,0,0)，A(a,0,0)，B1(a,a, a)，A D =(-a,0,-a)，AB=(0,a,a 1 1)，cos A D, AB = 1 1A D AB -a2 1 1 1 = =-A D AB 2 a 2 a 2 1 1，由于两异面直线的夹角范围是 0,2 ，异面直线 A D 与 AB 所成的角为 60，1 1同理：正方体的六个面中除了平面ADD A1 1与BCC B1 1的面对角线外，其他的面对角线都与 A D 所成的角为160，则共有 8 条，故 A 正确；对于 B，C (0,a, a )，B(a,a,0 1)，A D BC =(-a,0,-a)(-a,0,a)=a2-a2=0 1 1直线 A D 与 BC 垂直，故 B 正确；1 1，61 对于 C，D1(0,0, a)，A D BD = 1 1(-a,0,-a)(-a,-a,a)=a2 -a 2=0，直线 A D 与 BD 垂直，不平行，故 C 错误； 1 1对于 D，三棱锥 A -ACD 的体积为 V1 C -A AD=1 1 1 a 2 a= a3 2 63，故 D 正确，综上可知，只有 C 不正确，故选 C5直三棱柱ABC -A B C 中， AB =AC =AA 1 1 1 1， BAC =60，则异面直线 BA 和 AC 所成角的余弦值为1 1（）A32B34C14D13【答案】C【解析】因为AB =AC， BAC =60，所以三角形 ABC是等边三角形，取AC的中点 D ，以点 D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设 AB =2，则 B ( 3,0,0)，A(0, -1,0)，A (0, -1,2)1，C (0,1,2)1，所以 BA =( - 3, -1,2) 1， AC1(0,2,2) ，BA =2 2 ， AC =2 2 1 1， BA AC =21 1，所以异面直线 BA 和 AC 所成角的余弦值为1 1cosq=BA AC1 1BA AC1 1=2 1=2 2 2 2 4，故选 C6三棱锥P -ABC的三条侧棱互相垂直，且PA =PB =PC =1，则其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为（）A33B2 33C36D32【答案】B【解析】空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA =PB =PC =1，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，7y 所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为 3 ，球心 O 到平面 ABC 的距离为体对角线的163，即球心 O 到平面 ABC 的距离为 6其外接球上的点到平面ABC的距离的最大值为3 3 2 3+ = ，故选 B 2 6 37用斜二测画法画水平放置的 ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角 AB C已知点 O 是斜边 B C的中点，且 A O 1 ，则 ABC的边 BC边上的高为（）A1【答案】DB2 C 2D 2 2【解析】直观图是等腰直角三角形ABC， B AC90 ， A O 1， AC2 ，根据直观图中平行于 轴的长度变为原来的一半， ABC 的边 BC 上的高 AC2 A C 2 2 ，故选 D8如图，在直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，底面为直角三角形，ACB =90， AC =6， BC =CC = 12，点 P 是线段 BC 上一动点，则1CP +PA1的最小值是（）A 26B 5 2C 37 +1D 6 + 2【答案】B【解析】连 A B ，沿 BC 将 CBC 展开与 A BC1 1 1 1 1在同一个平面内，连接A C1，长度即是所求82 直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，底面为直角三角形， ACB =90， AC =6，BC =CC = 2 1，矩形BCC B1 1是边长为2的正方形；则BC =21，另外AC =AC =6 1 1；在矩形ABB A1 1中， A B =AB = 38 1 1，BB =12，则 A B = 40 1；易发现62+22=40 ，即 AC1 1+BC 21=A B12，A C B =90 1 1，则A C C =135 1 1，故 AC = AC 2 +C C 2 -2 AC CC cos135= 36 +2 +2 6 2 1 1 1 1 1 1 1故答案为 B二、多选题22=5 2 ，9如图，正方体ABCD -A B C D1 1 1 1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC， BB1 1的中点，则（）A直线 DD 与直线 AF 垂直1B直线 A G 与平面 AEF 平行1C点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等D平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 【答案】BD98【解析】对于 A，取DD1中点 M，则AM为 AF 在平面AA D D1 1上的射影，9AM 与 DD 不垂直， AF 与 DD 不垂直，故 A 错；1 1对于 B，取B C1 1中点 N，连接 A N ， GN ，1在正方体ABCD -A B C D 中， A N / AE1 1 1 1 1， NG /EF，A N 1平面 AEF ， AE 平面 AEF ，所以A N /1平面 AEF ，同理可证 NG / 平面 AEF ，A N NG =N 1，所以平面AGN 1平面 AEF ，AG 平面 A GN ，所以 A G 1 1 1平面 AEF ，故 B 正确；对于 C，假设 C 与 G 到平面 AEF 的距离相等，即平面 AEF 将 CG平分，则平面 AEF 必过 CG的中点，连接 CG交 EF 于 H，而 H 不是 CG中点，则假设不成立，故 C 错；对于 D，在正方体ABCD -A B C D 中， AD / EF1 1 1 1 1，把截面 AEF 补形为四边形 AEFD ，1由等腰梯形计算其面积S =98，故 D 正确，故选 BD10已知 a, b是两个不重合的平面， m, n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A若 m n， m a，nb ，则 a bB若 m a ， na ，则 m nC若 ab， m a ，则mbD若 mn ， ab，则 m 与a 所成的角和 n 与 b 所成的角相等 【答案】BCD10【解析】选项 A：若 m n ， m a ，则 n 或 na，又 nb ，并不能得到 a b这一结论，故选项 A 错误；选项 B：若m a ， na，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m n，故选项 B 正确；选项 C：若ab， m a ，则有面面平行的性质定理可知mb，故选项 C 正确；选项 D：若 mn故选项 D 正确，故选 BCD， ab，则由线面角的定义和等角定理知， m 与 a 所成的角和 n 与 b 所成的角相等，11如图所示，在长方体ABCD -A B C D1 1 1 1，若AB = BC， E 、 F 分别是AB1、BC1的中点，则下列结论中成立的是（）A EF与 BB 垂直1B EF 平面BDD B1 1C EF 与C D1所成的角为45D EF /平面A B C D1 1 1 1【答案】ABD【解析】连接 A B 、 A C 、 A D ，则 E 为 A B 的中点，1 1 1 1 1对于 A 选项，BB 平面 A B C D ， A C 平面 A B C D ， BB AC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1，E 、 F 分别为 A B 、 BC 的中点，则 EF /A C ， EF BB1 1 1 1 1，A 选项正确；对于 B 选项， 四边形A B C D 为正方形，则 AC B D 1 1 1 1 1 1 1 1，又AC BB ， B D 1 1 1 1 1BB =B ， A C 平面 BDD B 1 1 1 1 1 1，EF / AC1 1， EF 平面BDD B1 1，B 选项正确；11( ) ( )对于 C 选项，易知A C D1 1为等边三角形，则AC D =60 1 1，EF / AC1 1，则 EF 与 C D 所成的角为 AC D =60 1 1 1，C 选项错误；对于 D 选项，EF / AC1 1， EF 平面 A B C D1 1 1 1，A C 平面 A B C D ， EF / 平面 1 1 1 1 1 1A B C D1 1 1 1，D 选项正确，故选 ABD12如图，在三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，底面 ABC 是等边三角形，侧棱 AA 底面 ABC ， D 为 AB 的中点，1若 AB =2 ， AA = 61，则（）ACD A D1B异面直线 A D 与 AC 所成角的余弦值为1 13514C异面直线A D1与AC1所成角的余弦值为7014D CD/ 平面【答案】ACAB C1 1【解析】A：因为侧棱AA 1底面ABC，所以AA CD1，因为 ABC 是等边三角形， AD =BD ，所以 CD AB ，因为AB AA =A1，所以 CD 平面 AA D ，则 CD A D1 1，A 正确；以 D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则A (-1,0,6 )，A(-1,0,0)，C(0,3, 6 )，B(1,0,6 )， 1 1 1所以A D = 1,0, - 6 ， AC = 1, 3, 6 ， 1 1所以cos A D, AC = 1 1A D AC1 1A D AC1 1=1 -6 70=-7 10 14，12( ) ( ) ( )( )y 3 3 3 3所以异面直线 A D 与 AC 所成角的余弦值为1 17014，B 不正确，C 正确；又因为AB = 2,0, 6 ， AC = 1, 3, 6 ， 1 1设平面AB C1 1法向量为n =(x,y, z)，则 n AB =2 x + 6 z =0 1n AC =x + 3 y + 6 z =0 1，即 x =-y =-6222zz，取 z =2 ，则n = - 6, - 2,2 ，因为CD = 0, - 3,0 ，且 CD n=6 0 ，所以若CD/ 平面 AB C1 1不成立，D 不正确，故选 AC三、填空题13在三棱锥P -ABC中， PA 底面ABC，AB BC， PA =3， AB = 3 ，BC =2，若 E，F 是PC的三等分点，则异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值_【答案】23 301602【解析】如图所示：以 AB 为 x 轴， AP 为 z 轴，平面 ABC 内垂直于 AB 的直线为 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0 )，B(3,0,0 )，C(3,2,0 )，P(0,0,3)，PE =1 2PC ， PF = PC ， 3 3则E 3 2 2 3 4 , , 2 ，F , ,1 ， 13 3 3 3 3 1 1 1 1 3 2 3 4 则 AE = , , 2 ，BF =F - , ,1 ， 23则cos AE , BF =AE BFAE BF=943 289 9=23 301602，故异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值为23 301故答案为 60223 301602，14如图所示，已知平行六面体ABCD -A B C D1 1 1 1中， AB =AD =2，AA =4 ， BAA =DAA = 1 1 1BAD =60 M 为 CC 的中点，则 AM 长度为_1【答案】 2 6【解析】因为 AM =AC +C M =AB +AD +1 112AA1，所以 AM2 1 = AB +AD + AA 222 2 1 2= AB + AD + AA +2 AB AD +AA AB +AD AA4，=22+221+ 442+2 2 2 1 1 1+4 2 +4 2 =24 2 2 2，所以AM =2 6，14y 故答案为 2 6 15在直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中， AC =3 ， BC =3 ， AB =3 2 ，AA =21，则异面直线 A C 与 BC 所成1 1角的余弦值为_【答案】413【解析】因为 AC =3， BC =3， AB =3 2 ，所以角C为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以CA、 CB、CC1两两垂直，以 C 点为坐标原点，以CA、 CB、CC1方向分别为x轴， 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则C (0,0,0 )，C (0,0,2 )，A (3,0,2 )，B(0,3,0 )1 1，所以AC =(-3,0,-2)，BC=(0,-3,2) 1 1，设异面直线 A C 与 BC 所成角为 q ，1 1则cosq= cos AC ，BC = 1 1AC BC1 1AC BC1 1=-22 4=9 +4 9 +4 13，故答案为41316如图所示，在四棱锥P -ABCD中，侧面 PAD 底面ABCD，侧棱 PA =PD = 2 ， PA PD ，底面 ABCD为直角梯形，其中 BC /AD ， AB AD ， AB =BC =1 ， O 为 AD 的中点（1）则直线 PB 与平面POC所成角的余弦值为_；（2）则 B 点到平面PCD的距离为_156 3【答案】，3 3【解析】（1）在PAD 中PA =PD，O 为 AD 中点，所以 PO AD，又侧面 PAD底面 ABCD，平面PAD平面 ABCD =AD， PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD又在直角梯形 ABCD 中，易得 OC AD ；所以以 O 为原点，OC 为 x 轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系则 P(0,0,1)，A(0,-1,0)， B(1,-1,0)， C(1,0,0)， D(0,1,0)，所以 PB =(1,-1,-1)，OA POOA CO，得 OA平面 POC，PO CO =O所以OA =(0,-1,0)是平面 POC 的一个法向量， cos PB , OA =PB OA 3= ， 1 -cos PB OA 32PB, OA =63，所以 PB 与平面 POC 所成角的余弦值为63（2）PB =(1,-1,-1)，设平面 PDC 的法向量为n =(x,y, z)，则 n CP =(x,y, z )(-1,0,1)=-x+z=0 n PD =(x,y, z )(0,1,-1)=y-z=0，取 z1，得n =(1,1,1)，B 点到平面 PCD 的距离 d =BP nn=3316
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