第6章 气体动理论

第六章 气体动理论问题6-1 你能从理想气体物态方程出发，得出玻意耳定律、查理定律和盖吕萨克定 律吗？m pV解 对于一定质量的理想气体气体物态方程pv二mRt得 t二c（c为 常数）当气体温度保持不变，有pv =恒量，即温度不变，压强与体积成反比，即玻意耳定律。当气体体积保持不变，有P：T =恒量，即查理定律。当气体压强保持不变时，有= 恒量，即盖吕萨克定律。6-2 道尔顿分压定律指出：在一个容器中，有几种不发生化学反应的气体，当 它们处于平衡态时，气体的总压强等于各种气体的压强之和，你能用气体动理论对 该定律予以说明吗？证明 设容器中所装的几种不同的气体分子数密度分别为NNn =才，n二2，则单位体积中总分子数为1 V 2 VN + N + n = i 2= n + n +V12处于平衡态时，气体温度一定，分子的平均平动动能也一定，并且有二1 mV；二 3 kT2 2由气体压强的统计公式可得气体总压强为p = ns = (n + n + )kT - p + p +3 k 3 i 22 i 2其中pi、p2、是各个气体的压强。6-3 阿伏伽德罗定律指出：在温度和压强相同的条件下，相同体积中含有的分子数是相等的，与气体的种类无关，你能用气体动理论予以说明吗？解由气体动理论可知p = nkT,即分子数密度只与气体的温度和压强有关,与气体种类并无关系。6-4 为什么说温度具有统计意义？讲一个分子具有多少温度，行吗？解 气体的温度是气体分子平均平动动能的量度，气体温度越高，分子平均平 动动能越大；分子的平均平动动能越大，分子热运动的程度越激烈。因此，可以说 温度是表征大量分子热运动激烈程度的宏观物理量，是对大量分子热运动的统计平 均结果。对于个别分子而言，它的动能可能大于气体分子平均平动动能，也可能小 于平均平动动能，对于个别分子，说它的温度是多少是没有意义的。6-5速率分布函数f (v)的物理意义是什么？试说明下列各式的物理意义：(1) f (v)dv ； (2)Nf (v)dv ； (3)Jv2 f (v)dv ； (4)Jv2Nf (v)dvv1v1解 速率分布函数f (v)表示气体分子速率处于v附近单位速率区间的概率。(1) 表示分子运动速率在vv + dv间的概率；(2) 表示分子运动速率在vv + dv间的分子数；(3) 表示分子运动速率在v v间的概率；1 U 2(4) 表示分子运动速率在v 口 v间的分子数。1 U 26-6若某气体分子的自由度是i，能否说每个分子的能量都等于2kT ？解 不能，2kT是指的分子的平均能量，对于单个分子的能量可能大于平均能量也可能小于平均能量。6-7铀原子核裂变后的粒子具有1.1 x 10-11 J的平均平动动能。设想由这些粒 子组成的“气体”，其温度的近似值为多少？3解 由sk =入kT得铀原子核裂变后的粒子组成的“气体”温度约为 k2_5.31x1011 K2片 _ 2 x 1.1x10-11 J3k3k6-8 气体分子的平均速率可达到几百米每秒，那么为什么在房间内打开一汽油 瓶的瓶塞后，需隔一段时间才能嗅到汽油味？解 气体分子数密度很大，分子在运动中必然会与其它分子多次发生碰撞，导 致其运动路径曲折，因此尽管分子平均速率很大但气体分子的扩散速率较小，所以 在房间内打开一汽油瓶的瓶塞后，需隔一段时间才能嗅到汽油味。6-9 一定量的气体，容积不变，当温度增加时，分子运动得更剧烈，因而平均 碰撞次数增多，试问平均自由程是否因此而减小？解 容积不变，气体分子数密度为常量，由气体分子平均自由程公式可知，平均自由程与温度无关。6-10 在一个球形容器中，如果气体分子的平均自由程大于容器的直径，能否 把容器当成是真空的？解 能，气体分子的平均自由程大于容器线度时，气体分子彼此间碰撞很少， 气体分子只与容器壁发生碰撞，此时可将容器视为真空。6-11你能否用描述气体分子运动的统计量的数量级（如n、N、V、厂、AZ、d）,来描绘大量气体分子的热运动图景？解以氧气为例，在标准状态（0 C、1.013 X105 Pa ）下，氧气分子数为On二pN :RT = 2.69 x IO22 cm-1 ，氧气分子热运动的平均速率为A8 rtV飞7M446m -s-1，氧气分子有效直径约为d二298 X10-10m，分子运动平均自由程为12k d 2 n妙子间碰撞的频率为Z2 d2nv二6.9x 109 s-1.由以上可知，作热运动的气体分子可视为质点，分子 热运动的速率很大，分子间相互碰撞频繁。当在压强极低的情况下（例如0 C、1.33x 10-2 Pa），氧气分子数密度On二3.5 x 1015 cm-1，平均速率不变，平均自由程增大至0.5m，在一般的容器 中，分子只与器壁相碰，分子间的碰撞频率极低。6-12 气体内产生迁移现象的原因是什么？有哪些量迁移？从气体动理论的观 点来看，迁移现象是怎样实现的？分子热运动和分子间碰撞在迁移现象中起什么作 用？解 当气体处于非平衡态时，即气体内或各部分的温度不等，或各部分压强不 等，或气层之间有相对运动时，气体内会产生迁移现象。迁移量有能量、质量与动量。从气体动理论的观点来看，迁移是通过分子无规则热运动来完成。分子无规则 热运动引起分子间发生碰撞，在碰撞过程中来实现分子间动量、能量的交换。6-13 你能说明在常压下气体的热导率与气体的压力无关吗？并以此来说明 只有把热水瓶胆的两层玻壳间抽成真空，才能使热水瓶胆起到保温作用。气体热导率K =-nmv Xc3V可知，气体分子平均自由程与分子数密度（即压强）成反比，在常压下，气体分子的平均自由程一般较短(10-8JO-m ）,远小于气体所占体积，将X =12k d 2 n代入到气体热导率公式可得k1 mv3迈兀d 2即气体热导率与气体压力无关。当压强极低时，气体分子平均自由程增大（例如在0 C、1.33x 10-2 Pa时，0空气的平均自由程为0.5 m ），当此值大于气体所在容器的线度时，气体分子彼此间的碰撞很少，分子只与容器壁发生碰撞，此时平均自由程可看作一定值，所以气体 热导率只与气体分子数密度，即压强有关，当气体分子数密度越小，气体热导率越 小。对于热水瓶胆两层玻壳容积线度小，当将其间抽成真空，分子数密度几乎为零， 气体热导率也接近于零，从而使热水瓶起到保温作用。习题6-1如果将1.0 x 103kg的水分子均匀地分布在地球表面上，则单位面积上将 约有多少个水分子？m解1.0x 103kg水中所含分子数为N =N，其中M二0.018 kg -mol-1为MA水的摩尔质量，地球表面面积为S= 4兀R 2,则单位面积上的水分子个数为n = NS = mN . 4兀 MR2 = 6.56 x 107 m-26-2 设想太阳是由氢原子组成的气体，其密度可当作是均匀的，若此理想气体 的 压 强 为 1.35x1014 Pa ， 试 估 计太 阳 的 温度 。（ 已知 氢 原 子 的 质 量m = 1.67 x 10-27 kg ,太阳半径R = 6.96 x 108 m ,太阳质量m = 1.99 x 1030 kg )H s s解 构成太阳的氢原子的数密度为V )= mH SS由气体物态方程P = nkT可知太阳的温度为T = pink = 4兀 pm R3 /(3m k)= 1.16x107 KH SS6-3 一容器内储有氧气，其压强为L。1 x 105 Pa，温度为27.0 C，求：(1)O气体分子的数密度；(2)氧气的密度；(3)分子的平均平动动能；(4)分子间的平 均距离。(设分子间均匀等距排列)解 本题中压强不太大、温度不大高，可以将氧气视为理想气体，因此可以利 用理想气体的物态方程。(1)氧气分子的数密度为n = p；kT = 2.44 x 1025 m( 2)氧气密度为P = miV = pM RT = 1.30 kg - m-3(3) 氧气分子的平均平动动能为叮=3kT； 2 = 6.21 x 10 -21 J(4) 氧气分子的平均距离为d =込n = 3.45x10-9 m6-4温度为0 C和100 C时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使O0分子的平均平动动能等于1eV，气体的温度需多高？解0C和100 C时理想气体分子的平均平动动能分别为O0k1=3kTj2 =5.65x10-21 Jk2=3k_/2 =7.72x10-21 J欲使分子平均平动动能等于leV，即1.6X10-19 J，则气体的温度为T 二 25j3k 二 7.73 x 103 K6-5 某些恒星的温度可达到约1 .0 X 1 08 K ，这也是发生聚变反应（也称热核 反应）所需的温度，在此温度下，恒星可视为由质子组成，问：（1）质子的平均动 能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？解 将组成恒星的质子看作理想气体，质子可视为质点，只考虑平动，质子自 由度为i = 3.（1）质子平均动能为-3s = - kT = 2.07 x 10-15 Jk 21（2）由sk = -mv2可得质子的方均根速率为p=1.58 x106 m - s-1m6-6求温度为127.0 C时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及0最概然速率。解 此题可分别由平均速率、方均根速率及最概然速率公式求得H2（1）氢气分子的平均速率8RTv = 2.06 x 103 m - s-1兀M氢气分子方均根速率H2=2.23 x 103 m - s-1Mv=p氢气分子最概然速率2 RT=1.82 x 103 m - s-1 MH22）氧气分子平均速率O28RT 516 10v = 5.16x102 m- s-i兀M氧气分子方均根速率一 3RT = 5.58 xi02 m - s-i MO2氧气分子最概然速率2 RT=4.55 x 102 m - s-i MO26-7图中，I、II两条曲线是两种不同气体（氢 气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲 线，试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最 概然速率；（ 2）两种气体所处的温度。解 （1）由最概然速率公式v - J尊 可知,M2000v /(m - s -1)在同一温度下的氢气和氧气分子的最概然速率的关系为v v，所以图中曲线pO2pH 2I、II分别对应为氧气、氢气的麦克斯韦分子速率分布曲线。由曲线II知，在此温度下，氢气分子最概然速率为v=pH22 RT=2000 m - s-i MH2所以氧气分子的最概然速率为vpO211 一一 v= 500 m - s-ipH 24 pH 22）由上一问可知，此时两种气体所处的温度为v2MT 一 t = 48iK2 R6-8在容积为2.0xi0-3m3的容器中，有内能为6.75xi02 J的刚性双原子分 子理想气体。（1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为5.4xi02个，求分子的 平均平动动能及气体的温度。解（1）刚性双原子分子的自由度为i = 5，由理想气体内能公式可得此双原子 分子理想气体的内能为E = -RT = - RT = 6.75x102 J M 22 M又理想气体物态方程为m pV =RTM由以上两式可得此双原子分子理想气体的压强为2Ep =1.35 x105 Pa5V（2）由分子数密度n = p： kT = NV可得，容器中分子总数为N = 5.4x102时, 气体温度为T = pV（kN ）= 3.62 x102K此时气体分子平均平动动能为sk 二 3kT2 二 7.49 x 10-21 J6-9 声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率，问声波通过 氧气的速率与通过氢气的速率之比为多少？设这两种气体都为理想气体并具有相同 的温度。解 由题意可知，声波在理想气体中传播的速率正比于气体分子的方均根速率，即u X：v2，而温度不变时，气体分子的方均根速率与该气体摩尔质量的平方根成反比，即；v211IM。由此我们可以设声波在理想气体中传播的速率为其中 A 为常量。所以声波通过氧气的速率与通过氢气的速率之比为= 0.25uOT =u MH2O26-10有N个质量为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。（1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义；（2）由N和vo求a 值；（3）求速率在vJ2到3vj2间隔内的分子数；（4）求分子的平均平动动能。解(1)分布函数f (v)= N表示分子速率处于V附近单位速率区间的概率,Ndv右图中纵坐标Nf (v)表示处于速率V附近单位速率区间内的分子数，本题中气体分子速率分布范围为02v，由归一化条件可知，曲线与横坐标所包围面积为S =0即曲线与横坐标所包围面积为系统总的气体分子数。(2)由图可知，处于速率v附近单位速率区间内的分子数为 v e0, v 0 v e(v ,2v00由归一化条件可知+ J2 v0 adv = Nv0avo + av = N2 0所以有a = 2 N3v- 0(3)速率在v/2到3v/2间隔内的分子数为AN = J vo Vdv + J 叫 2 adv = 7 N12V02 V0v04)气体分子速率平方的平均值v2 =卜v2 dNN =卜v2f (v )dv可得本题0 0中气体分子速率平方的平均值为仁 av3f 2v a 31v 2 = v0dv + J 0 v 2 dv = v 20 Nv v N 18 000所以分子的平均平动动能为131s = mv 2 = mv 2k 236 06-11在压强为1.01 x 105 Pa下，氮气分子的平均自由程为6.0x 10-6 cm，当温度不变时，在多大压强下，其平均自由程为1.0 mm 。解气本分子热运动的平均自由程为吕，其中n为气体分子数密 度，且由物态方程知n二p- kT，所以平均自由程公式可写为当温度不变时，由上式可得也=也 所以当平均自由程增至-l0mm时，气体的压强为Xp =二 p = 6.06 Pa2X126-12目前实验室获得的极限真空约为 133x 10-11 Pa，这与距地球表面1.0x 104 km处的压强大致相等，试求在27 C时的单位体积中的分子数及分子的O平均自由程。（设气体分子的有效直径d = 3.0x 10-8 cm ）解 由理想气体物态方程可得分子数密度为n = pkT = 3.21 x 109 m-3分子平均自由程为kTX= 7.8x 108 m2 兀 d 2 p6-13 若氖气分子的有效直径为 2.59x10-8 cm ，问在温度为 600 K ，压强为1.33 x 102 Pa时的氖分子1s内的平均碰撞次数为多少？解 气体分子在1s内的平均碰撞次数为 L Z = + 2兀 d 2vne其中分子数密度n = p：kT，分子运动平均速率为V所以氖分子Is内的平均碰撞次数为3.81x 106 s-1