《相似三角形的判定》教案 (省一等奖) 2

27.2.1 相似三角形的判定二用两边及夹角教学目标：1、通过实践和探索，得出两个三角形具备有两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断这两 个三角形相似的方法。2、会选择适当的条件判断两个三角形相似。3、经历“猜测验证推广说理应用的数学活动过程，开展合情推理和有条理的表达能力。 教学重点：经历探索三角形相似的条件的过程及其应用。教学难点：三角形相似条件的说理证明和应用。设计理念：任何数学知识的发现都会经历：“猜测验证推广说理证明应用这一过程，它是研究数 学的根本思路。本节课先通过对特殊的相似三角形相似比为 1 的三角形，即全等三角形的边角边判定条件的研 究，从而科学、大胆地提出猜测，接着用测量的方法来验证猜测，然后对我们的猜测做进一步的推广，为 了确保猜测的正确性，再运用已有的知识加以论证、说明，最后对探索到的数学知识又加以应用。 充分 地表达了课标的过程教学， 也完美地展示了数学研究的根本思路。教学实录：1、 情境创设，提出猜测开始语：同学们，在上一节课的探索中，我们知道：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。那么三角形的相似还有没有其它条件呢？今天我们再 次踏上探索之旅途。出示课题：27.2.1 相似三角形的判定二板书师：常言道“温故而知新，下面邀请一位同学回忆一下三角形全等条件边角边SAS的内容？ 生：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形全等。 教师板书：两边对应相等夹角相等师：如图，在DABC 和 DABC中，A =A.根据边角边SAS判定条件来判断DABC 和 DABC全等，还需要添加什么条件？生：还需要添加条 件：AB = AB ，AC =AC 教师板书：此板书在下面的教学过程中需要改变在 DABC 和 DA A =A因为B C中AB = AB ，AC =AC 所以DABCDAB C师：如果把条件：AB = AB，AC =AC改写成：AB AC= =1 AB AC。那么 DABC 和 DAB C是否还全等？在刚刚的板书中改写生：是的，因为条件AB = AB ，AC =AC 和条件AB AC= =1 AB AC是等价的，所以两个三角形仍然是全等的。师：答复的很好！那么这两个三角形除了是全等关系外，还是什么关系？ 学生思考生：相似吧，因为全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形。教师把刚刚板书中的 DABC DA 改动后的板书：B C中的“改成“.在 DABC 和 DA A =A因为B C中AB AC= =1 AB AC所以DABC DABC师：确实如此！也就是说：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应 成比例比值为 1，并且夹角相等.那么这两个三角形相似.师：伟大的科学家牛顿曾说过：没有大胆的猜测，就没有伟大的发现和创造. 那么对于三角形相似的条件，你们有什么大胆的猜测呢？学生想说，但又不敢说。但在教师的鼓励下，有同学鼓起了勇气. 生：我的猜测是：如果把比值改成 2，两个三角形可能也是相似的.教师在课件中出示猜测：在 DABC 和 DAB C中，如果AB AC= =2 ，A =A AB AC ，那么 DABC 和 DAB C相似吗？2、 探索活动，揭示新知活动一 操作、观察 验证猜测师：在古希腊，人们经常用测量的方法来研究图形 .今天，我们不防也用测一测、 量一量的方法来验证我们的猜测.师：下面就让我们用自己的双手共同验证我们的猜测吧！如图，在A 和DAB C中，A =A师生共同操作：以A 为内角， ABC，使得AB AC= =2 AB AC师：同学们用量角器量一量 B 和 B ，你有什么发现吗？ 生： B 和 B 相等.师：其他同学是否也有这样的发现？众生：是的！师：你能判断DABC和DAB C相似吗？众生 ：能.师：谁能说说你的判断理由？生：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角 形相似.师：通过验证，当比值为 2 的时候，两个三角形 仍然相似.活动二：进一步猜测，推广 k 值师：如果设比值为 k.通过刚刚的研究：当 k=1 时，两三角形生：相似师：当 k=2 时，两三角形生：相似师：此时，你还有什么更大胆的猜测？学生很积极生：k 可以取一切实数.生：不对，k 可以取大于 0 的一切自然数.生：k 可以取大于 0 的一切实数.生：和 k 无关，只要两边对应成比例.师：同学们的猜测都很大胆，都 具有牛顿的品质，但对吗？生：我们可以用测量的方法加以验证啊？师：对！下面就请同学们分别验证 k=2.5、3、3.5、4 的时候是否还相似.学生通过测量的方法分别验证着自己的猜测师：你们有什么发现吗？众生：仍然相似.活动二 说理师：同学们刚刚认真的操作、仔细的观察加深了我们猜测的可信度。但举例有限， 而 k 的取值却无限，那么我们能否运用已有的知识加以说明呢？教师在投影片上出示：如图，在 DABC 和 DAB C中，如果A=A，AB AC=AB AC，试说明： DABC DAB C师：下面就让我们沿着问题的路标，向成功迈进吧！教师出示问题 1：问题 1：如何在ABC 中构造出一个 ABC 相似的三角形？学生思考生：作 BC 边的平行线.学生根据上一节的内容很容易想到师：非常棒！在 AB 边上任找一点 B ，过点B作B CBC，交AC于点 C .根据上节课的知识，我们可以知道 师：像这样的三角形有多少个？ 生：无数个.教师出示问题 2：DAB C与ABC 相似.问题 2：点B 在什么位置时，所构造的DAB C可能与DABC全等？学生思考生：AB =AB 时.教师出示以下列图：师：假设DAB C和DAB C全等，而DAB C又和DABC DABC 就和 DAB C相似.师：DAB C和DAB C全等已经有什么条件了？生：AB =AB ，A =A.师：还需要什么条件？生：AC =AC 或B =B 或C =C 师：我们不妨从边入手. 教师出示问题 3：问题 3：如何说明AC =AC 学生思考、讨论生：因为DAB CDABC所以AB AC= AB AC 又因为AB AC=AB AC，AB =AB 所以AC =AC 师：刚刚严谨的推理，再次说明了猜测的正确性.师：请同学们用自己的语言总结出我们今天的发现.学生积极发言，通过前面的研究，根本都可以能说对教师总结：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。教师板书：3、 应用结论，加深理解师：通过前面的探索，我们又发现了一种判定两三角形相似的方法，下面我们就 应用今日所学去解决更多的数学问题.1教师出示思考思考：如图，在ABC 和BC中，B= B.要 ABCA BC，需要添加 什么条件？生：生：生：B =B A =A AB AC=AB AC师：要说明两个三角形相似，假设一对等角， 那么可找另一对等角， 或找夹等角的两边对应成比例。2教师出示讨论：讨论 1：在ABC 中，AB=8 ，AC=6 .在 AB 边上有一定点 D，AD=4 ， 在 AC 边上有一动点 E.试问：当 AE= 时，ABC 和ADE 相似.学生充分讨论后，让学生在课件中找出两个三角形可能相似时点 E 的大概位置，如上图两点E1、E2第一种情况：当动点 E 在 E 处时：1DADE DABC 需要条 件AD AE=AB AC第一种情况：当动点 E 在E2处时：DAEDDABC需 要条件AD AE=AC AB讨论 2：如图，在ABC 中，AB=4 ，AC=2 .问题 1：在 AB 上取一点 D，当 AD= 时 ACDABC问题 2：在 AC 的延长线上取一点 E，当 CE= 时，AEB ABC. 问题 3：此时，BE 与 DC 有怎样的位置关系？为什么？3教师出示观察：观察：、5 个三角形中，与三角形相似的三角形有哪些？为什么？4、 小结与思考（1） 学生总结：通过本节课的学习，你有什么收获？2 教师总结：在今天的这节课中，我们通过“猜测验证推广说理应用的过程，探索出三角形相似的条件。在这过程中，我们发 扬着“敢想、敢做；务实、严谨的数学精神。在这过程中， 我们感受着数学从到未知的魅力。希望同学们在今后的学习中， 继续“探索数学世界、秉承数学精神、感受数学魅力。5、 布置作业用今天所学的探索方法去探索三角形相似的其它条件。本课时的教学反思有人说：“数学课堂就是传授数学知识，其实这种想法是很片面的。数学教学的目的 不单单是传授枯燥的数学知识，更重要的是通过数学知识这一载体，培养学生的数学思维能 力和渗透数学研究方法。数学思维能力和数学研究方法的形成，不能依靠教师告诉学生，它 是潜移默化的，它只能够让学生在一次又一次的数学活动中感受它，应用它。这样有价值的 数学活动越多，学生对它的理解就越深刻。这就需要教师能够提供应学生更多的数学活动时 机，探究数学知识的发生过程就是一个很好的时机。为此，经历数学知识的形成过程在这次 课程改革中被提到一个尤为重要的地位。在这过程中，更能培养学生的数学思维能力和数学 研究方法的渗透。下面，就结合我在我校对外公开中的?探索三角形相似的条件2?一课， 谈谈过程教学的得 与失。本节课的主要内容是“如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且 夹角相等，那么这样的两个三角形相似。应该说学生对该知识是能够比拟容易掌握 的， 但为了能更好的培养学生的思维能力，养成良好的研究习惯，在本节课的教学中，我从数学 研究的一般思路“猜测验证推广说理证明应用进行了知识形成过程的教学， 充分的展示出该知识的形成过程。下面就从数学研究的一般思路一一说起。一、提出猜测在?图形的全等?这一章的学习中，我们知道：根据全等三角形边角边判定条件判定两个 三角形全等，只需知道两边对应相等，并且夹角相等。综合这判定条件和相似三角形，可以 从以下三个层次做进一步的思考第一个层次：两边对应相等可以做一个等价的改变两边对应成比例，且比值为 1。 第二个层次：全等三 角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形，因此这两个三角形除了是全等关系，还是相似关系。第三个层次：相似三角形对边的要求比全等三角形对边的要求要宽松。但对角的要求是 同等的。在以上三个层次的研究根底上，提出科学、大胆的猜测：一个三角形的两边与另一个三 角形的两边对应成比例，并且夹角相等，如果把比值条件放宽，比方把比值由 1 改为 2 的时 候，那么两个三角形是否还相似呢？猜测并不是胡想乱想，它的提出需要学生对已有的知识和需探究的知识有很深刻的理 解，很深的洞察力。光有知识是远远达不到要求的。上面猜测的提出就是一个很好的例子， 如果不能理解出上 面的三层含义，就不会有这样科学、合理的猜测。在这猜测提出的过程 中，学生会更清楚全等和相似两者之间的关系特殊与一般的关系，也会在无意间感受、 运用着类比和从特殊到一般的数学研究方法。实际教学中，没有同学敢提出自己的猜测，但他们的眼神告诉我，他们有猜测，但就不 敢说。在我的鼓励之下，最终有同学说出了自己的猜测，并且就是我所希望的猜测。造成这 样的原因可能是很平时的教学过于严肃以及后面有听课教师有关。二、测量验证猜测对吗？我们需要对它做出一个判断。测量法、特殊值法都是很好的验证方法。 对 于 代 数 中 的 字 母 问 题 、 公 式 等 ， 特 殊 值 法 就 可 以 很 好 的 发 挥 它 的 作 用 。 比 方 ：( a +b )2=a2+b2对吗？我们只需要找几个数字代入就可以知道它的正确性。很明显当a=1,b=-1 时，等式不成立。图形问题那么是测量法的舞台，在本节课的实际教学就是采用 测量法来加以验证的。如图：在A 和DAB C中，A =A师生共同操作：以A 为内角， ABC，使得 用量角器量出 B 和 B AB AC= =2 AB AC学生通过自己的测量，深信不已的把脑中的问好拉成了感慨号。到此，学生已经成功的 迈出了探索的第一步，也是意义最重大的一步。在教学中，发现学生画图的速度很慢，甚至有的同学量出的角是不相等的，这就需要在 平时加强对学生动手能力的培养。三、合理推广在数学知识不断的增长中，推广是一种很重要的数学研究方法。比值从 1 到 2 这一步的成功，一方面使学生加强了成功带来的自信，另一方面更可以翻 开学生的思维空间，比值 k 能不能是其它的数值呢？或许与 k 的取值无关？他们在无意间比 照值 K 做着推广，这样的想法可谓是出色的，他们已经能够运用数学研究中的一种重要的研 究方法推广。在数学知识的开展中，对数学知识的每一次推广都具有划时代的作用，比 方：数域的推广： 自然数 正数 有理数 实数 复数坐标系的推广：数轴 平面坐标系 空间坐标系或许对 K 值的推广没有上面两个例子那样复杂而又有意义，但本质上确实一样的，都是 对已有知识的更深层次的思考和推广。在前面已有的经验根底上，学生可以自行验证自己的猜测。在课堂中，一次又一次的发 出感慨，感受着数学的微妙！甚至，有同学说相似和比值 K 没有关系的更大胆的想法。四、严谨说理和比值 k 无关，这是经过大量实验后的一个很大胆的想法。举例毕竟有限，但 k 的取值 却是无限的，这就需要运用已有的、确信无疑的知识来说明想法的正确性。在教学中，这是 一个难点，一方面在这里要运用到构造法，另一方面要运用到用比例线段证明线段相等。为 了突破这两个难点，在这里精心设置了三个问题：问题 1：如何在ABC 中构造出一个 ABC 相似的三角形？问题 2：点 B 在什么位置时，所构造的DAB C可能与DAB C全等？问题 3：如何说明AC =AC 问题 1 和问题 2 的设置是为了突破构造法。这两问题的设置有一定的台阶性，先想方法 构造相似三角形，在此根底上，再找出可能全等的三角形。在台阶的引导下，学生根本能够 构造出想要的三角形。问题 3 的设置是为了解决用比例线段证明线段相等。这个问题设置的 有探究的价值，同时也存在一定的难度，学生很少有人能够想出方法。在教学中，该问题可 以设置两问，如下：问题 a：从DAB C DABC ，你能得到什么比例式？结论教师板书，便于学生思考问题 b：AC 和AC 有什么关系？为什么？这样做既降低了难度，又有一定的思维空间，便于学生掌握运用比例线段说明线段相等 的方法。五、正确应用学习数学的最终目的是应用，应用可以分两种：一种是解决数学内部的问题；另一种是 解决生活实际问题。对照本节课，是数学内部的应用。传统教学对于解题能力的培养很有好 处，在此我也吸收了一些很好的经验。同时，对本节课例题的选择又有很强的灵活性和时代 性。比方动点在何处时三角形相似，再比方最后的“观察中找相似三角形。学生在这里根本都能理解解题的方法，但通过个别同学的板书，可以发现学生解题的标 准性太差。这需要在今后的教学中吸取传统教学的优势，加强解题标准性的训练。通过以上 5 个步骤，学生对经历了“如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应 成比例，并且夹角相等，那么这样的两个三角形 相似这一知识的形成过程，从而对该知 识有了更为立体的认识。在这过程中，学生感受到了数学研究的一般方法。教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探 索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。在本节课的教学中，我始终坚持以引导为起点，以问题为主线，以能力培养为核心，遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原那么；通过师生双边活动，通过对单元的复习，使学生对本单元的知识系统化，重点知识突出化，能力培养阶梯化；在选择题目时注意了以基此题为主，少量思考性较强的题目为辅，兼顾了不同层次学生的不同要求。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折 叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒 ，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生 都获得了成功的体验，建立自信心。接着，我利用可操作材料，体会展开图与长方体、正方体的联系；通过立体与平面的有机结合，开展学生的空间观念。这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达教学目标的要求：闭上眼睛想象展开或折叠的过程，促进学生建立表象， 帮助学生理解概念，开展空间观念。24.1 圆 (第 3 课时)教学内容1圆周角的概念2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对 的圆心角的一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用教学目标1了解圆周角的概念2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半3理解圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对 的弦是直径4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题重难点、关键1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理3关键：探究圆周角的定理的存在教学过程一、复习引入学生活动请同学们口答下面两个问题1什么叫圆心角？2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：1我们把顶点在圆心的角叫圆心角2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们 所对的其余各组量都分别相等刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、探索新知问题：如下图的O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门，设球员们只能在 EF 所在的O 其它位置射门，如下图的 A、B、C 点通过观察，我们可以发现像EAF、EBF、ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？AC3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？学生分组讨论提问二、三位同学代表发言O老师点评：1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个B2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且AD它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 1设圆周角ABC 的一边 BC 是O 的直径，如下图 AOC 是ABO 的外角BOCAOC=ABO+BAOOA=OBABO=BAOAOC=ABOABC=12AOC2如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧，那么ABC= AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程12老师点评：连结 BO 交O 于 D 同理AOD 是ABO 的外角，COD 是BOC 的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC3如图，圆周角ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，那么ABC= AOC 吗？请同学们独立完成证明12老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交O 于 D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=1 1 1AOD- COD= AOC2 2 2现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的从1、2、3，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目例 1如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD与 CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点，只要连结 AD 证明 AD 是高或是BAC 的平分线即可解：BD=CD理由是：如图 24-30，连接 ADAB 是O 的直径ADB=90即 ADBC又AC=ABBD=CD三、稳固练习1教材 P92 思考题2教材 P93 练习四、应用拓展例 2如图 ABC 内接于O，A、B、C 的对边分别设为 a，b，c，O 半径为 R，求证：a b c= = =2R sin A sin B sin Ca b c a b c分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R，sin A sin B sin C sin A sin B sin Ca b c即 sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十清楚显要在直角三2 R 2 R 2 R角形中进行证明：连接 CO 并延长交O 于 D，连接 DBCD 是直径DBC=90又A=D在 DBC 中，sinD=BC a，即 2R=DC sin Ab c同理可证： =2R， =2Rsin B sin Ca b c = = =2Rsin A sin B sin C五、归纳小结学生归纳，老师点评本节课应掌握：1圆周角的概念；2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所 对的圆心角的一半；3半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题六、布置作业1教材 P95 综合运用 9、10、教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探 索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折 叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒 ，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位 学生 都获得了成功的体验，建立自信心。