专题__解三角形及应用

专题 解三角形及应用一 正弦定理1. 正弦定理： （R为外接圆半径）2. 正弦定理的三种变式： ； ； ； ； 二 余弦定理1. 余弦定理： ； ； 2. 余弦定理的变式： ; ; 三 三角形面积公式：四三角形中的边角关系1.内角和定理：2.三角形中任意两边之和 ，任意两边之差 3.边角不等关系： 五基本题型1.利用正余弦定理解三角形【例1】（2006全国）已知中，。求BC边的长；记AB的中点为D，求中线CD的长【练习1】（2009全国,17）在中，内角A,B,C的对边长分别为已知，求2.三角形形状的判定【例2】在中，内角A,B,C的对边长分别为如果试判断三角形的形状。【练习2】若中，则的形状为（ ）A.直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形在中，若成立，则三角形的形状为（ ）A. 等腰三角形 B 直角三角形 C等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形【拓展提升】：确定三角形的形状主要有两条途径：化边为角化角为边。具体有四种方法：通过正弦定理实现边角互化通过余弦定理实现边角互化通过三角变换找出角之间的关系通过正余弦函数值的符号的判断以及正余弦函数的有界性的讨论。欲判断三角形的形状，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？解这类题的思想方法是：从条件出发，利用正余弦定理进行代换，转化为纯粹的边与边的大小关系或角与角的大小关系。3.正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图1，某住宅小区的平面图呈扇形AOC，小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD、DC，且拐弯处的转角为，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟。若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）。图1图2AAAADCABOCAD 【练习3】（2009辽宁，17）如图2所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶。船于水面A处测得B点和D点的仰角分别是，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km，试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求BD的距离（计算结果精确到0.01km，）。六易错知识点1.不讨论造成失误在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的范围是 设为钝角三角形的三边，那么的取值范围是 2.不注意角的范围出错判断下列三角形的形状你一定会出错！不信试一试。