2021年上海市奉贤区高考数学二模试卷

n n 5 7 611n n n +1 n 1n +1 n2021 年上海市奉贤区高考数学二模试卷一、填空题（共 12 小题）.1经过点（2，4）的抛物线 yax2 焦点坐标是 2把一个表面积为 16 平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设没有任何损耗），则圆锥的高是厘米3已知 z （i是虚数单位）是方程 x2ax+10（aR）的一个根，则|a| 4已知各项为正的等差数列a 的前 n 项和为 S ，若 a +a a 20，则 S 5已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 万元家庭年收入4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）9，10）（万元）频率 f 0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07 6某参考辅导书上有这样的一个题：ABC 中，tanA 与 tanB 是方程 x23x10 的两个根，则 tanC 的值为（ ） A.B.C.D.你对这个题目的评价是 （用简短语句回答）7用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是 0），从所有码中任选一 码，则事件 A码中至少有两个 1的概率是 8设 S 为正数列a 的前 n 项和，S qS +S ，q1，对任意的 n1，nN 均有 S 4a ， 则 q 的取值为 9函数 y3x+在（0，+）内单调递增，则实数 a 的取值范围是 10假如（x ）n的二项展开式中 x3项的系数是84，则（x ）n二项展开式中系数最小的项是 1 2 1 21 2 1 21 12 211函数 f（x）cos x，xZ 的值域由 6 个实数组成，则非零整数 n 的值是 12如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为的一段圆弧上的一点，若 2，则的值域是 二、选择题（每小题 5 分）.13如图，PA面 ABCD，ABCD 为矩形，连接 AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中， 数量积不一定为零的是（ ）A与B与C与D与14下列选项中，y 可表示为 x 的函数是（ ）A3|y |x20BxyCsin（arcsinx）sinyDlnyx215已知 x 、x 、y 、y 都是非零实数，（x x +y y ）2（x 2+y2）（x 2+y 2）成立的充要条件是（ ）A 0B 0C 01 1 1 11 1 1 11 1 1 D 016设点 A 的坐标为（a，b），O 是坐标原点，向量 则 A的坐标为（ ）A（acosbsin，asin+bcos）B（acos+bsin，bcosasin）C（asin+bcos，acosbsin）D（bcosasin，bsin+acos）绕着 O 点顺时针旋转 后得到 ，三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17已知 M、N 是正四棱柱 ABCDA B C D 的棱 B C 、C D 的中点，异面直线 MN 与 AB所成角的大小为 arccos（1）求证：M、N、B、D 在同一平面上；（2）求二面角 CMNC 的大小18设函数 f（x）lg（1cos2x）+cos（x+），0，（1）讨论函数 yf（x）的奇偶性，并说明理由；）（2）设 0，解关于 x 的不等式 f（+x）f（ x）019假设在一个以米为单位的空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人 T 的控制台 A，A 的位置为（170，200，0），上午 10 时 07 分测得飞行机器人 T在 P（150，80，120）处，并对飞行机器人 T 发出指令：以速度 v 13 米/秒沿单位向量（ ， ， ）作匀速直线飞行（飞行中无障得物），10 秒后到达 Q 点，再发出指令让机器人在点原地盘旋 2 秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 8 米/秒，然后保持 8 米/秒，再沿单位向量 （ ， ， ）作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人 T 最终落在平面 xOy 内发出指令让它停止运动，机器人 T 近似看成 一个点（1）求从 P 点开始出发 20 秒后飞行机器人 T 的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人 T 与控制台 A 的最近距离（精确到米）A A n n +1n +1 n1 1 2 3 41 4 2 3n 20（16 分）曲线 1 与曲线 1（a0）在第一象限的交点为 A，曲线是 C 是 1（1xx ）和 1（xx ）组成的封闭图形，曲线 C 与 x轴的左交点为 M、右交点为 N（1）设曲线1 与曲线 1（a0）具有相同的一个焦点 F，求线段 AF的方程；（2）在（1）的条件下，曲线 C 上存在多少个点 S，使得 NSNF，请说明理由；（3）设过原点 O 的直线 l与以 D（t，0）（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为 T，直线 l与曲线 C 在第一象限的两个交点为 P、Q，当2对任意直线 l恒成立，求 t的值21（18 分）设数列a 满足：a b，a a ，设 a a，a2（1）设 b，k，若数列的前四项 a 、a 、a 、a 满足 a a a a ，求 a；（2）已知 k0，n4，nN ，当 a（0，是否能成等差数列，请说明理由；），b（0， ），ab 时，判断数列a n （3）设 a4，b7，k1，求证：对一切的 n1，nN ，均有 a n n 5 7 6115 7 6n 6 66 116 参考答案一、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1经过点（2，4）的抛物线 yax2 焦点坐标是 （0， ） 解：抛物线 yax2经过点（2，4），a1，抛物线标准方程为 x2y，抛物线焦点坐标为（0， ）故答案为：（0， ）2把一个表面积为 16 平方厘米实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆锥（假设 没有任何损耗），则圆锥的高是 8 厘米解：一个表面积为 16 平方厘米实心铁球的半径为 R，可得 164R2，解得 R2，圆锥的底面半径为 2，体积为： 故答案为：8 解得 h8，3已知 z（i是虚数单位）是方程 x2ax+10（aR）的一个根，则|a| 1 ，解：因为 z则有 i2+ai+10，解得 a0，所以故答案为：14已知各项为正的等差数列a 的前 n 项和为 S ，若 a +a a20，则 S 22 解：由 a +a a 20 可得：2a a 20，a 0，a 2，S 故答案为：2211a 22，5已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 6.51 万元家庭年收入4，5）5，6）6，7）7，8）8，9）9，10）（万元）频率 f0.2 0.2 0.2 0.26 0.07 0.07解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：0.24.5+0.25.5+0.26.5+0.267.5+0.078.5+0.079.56.51（万元）故答案为：6.516某参考辅导书上有这样的一个题：ABC 中，tanA 与 tanB 是方程 x23x10 的两个根，则 tanC 的值为（ ） A.B.C.D.你对这个题目的评价是 错题，C 为钝角，A，B 中也有一个为钝角，构不成三角形 （用 简短语句回答）解：错题，C 为钝角，A，B 中也有一个为钝角，构不成三角形由韦达定理知， ，tanCtan（A+B）tan（A+B） 0，C 为钝角，tanAtanB10，A，B 中也有一个为钝角，无法构成三角形，是一道错题故答案为：错题，C 为钝角，A，B 中也有一个为钝角，构不成三角形7用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是 0），从所有码中任选一 码，则事件 A码中至少有两个 1的概率是 解：用 0、1 两个数字编码，码长为 4 的二进制四位数（首位可以是 0），从所有码中任选一码，基本事件总数 n2416，n n n +1 n 1n +1 nn +1 n 1 n n 1 1n +1 nn +1 n 12 1 1 1 2 2 1n 1 n +1 n1 1 min事件 A码中至少有两个 1包含的基本事件个数 m11，则事件 A码中至少有两个 1的概率是 P 故答案为： 8设 S 为正数列a 的前 n 项和，S qS +S ，q1，对任意的 n1，nN 均有 S 4a ， 则 q 的取值为 2 解：S qS +S ，S qS +S （n2），a qa ， q（n2），把 n1 代入 S qS +S 得，S qa +a a +a ，a qa ，满足上式，a 是首相为 a ，公比为 q 的等比数列，S 4a ， 4a qn1，a 0，q1，qn+14qn+4qn11，qn1（q2）21，（q2）2（ ） ，当 q1，n+时， 0，（q2）20，又（q2）20，（q2）20，即 q2，故答案为：29函数 y3x+在（0，+）内单调递增，则实数 a 的取值范围是 （，4 解：y3x+，（x0），y （3x+1）2a，函数在（0，+）内单调递增，（3x+1）2a0 即 a（3x+1）2 在（0，+）恒成立，而 y（3x+1）24，故 a4，故答案为：（，410假如（x ）n的二项展开式中 x3项的系数是84，则（x ）n二项展开式中系数最r +16 小的项是 解：（x ）n的二项展开式的通项公式为 T （1）rxn2r，令 n2r3，求得 n2r+3，可得展开式中 x3项的系数是（1）r84，故 r3，n9则（x ）n 二项展开式中第 r+1 项的系数为（1）r，故当 r5 时，系数最小，故（x ）n二项展开式中系数最小的项为第六项 T x1 ，故答案为： 11函数 f（x）cosx，x Z 的值域由 6 个实数组成，则非零整数 n 的值是 10 或11 解：根据题意，f（x）cos x，其周期 T |n|，又由 x Z，则周期0，|n|上，x 可取的值为 0，1，2，|n |1， 若函数 f（x）cos x，xZ 的值域由 6 个实数组成，而其中 f（1）f（|n |1），f（2）f（|n|2），若 n 为偶数，除 f（0）和 f（ ）之外，有 4 个函数值，必有 n10， 若 n 为奇数，除 f（0），有 5 个不同的函数值，必有 n11，故答案为：10 或1112如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为 的值域是 52，5 ） 的一段圆弧上的一点，若 2，则解：以圆心为原点，平行 AB 的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐 标系，则 A（1，），C（2， ），设 P（2cos，2sin）， ，则 （22cos， 2sin）（12cos， 2sin）52cos4sin52sin（+），且 0tan，0，则 52，则 +（ ，sin（+）52），则 sin（+）（ ，1， ，5 ），故答案为：52，5 ）二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13如图，PA面 ABCD，ABCD 为矩形，连接 AC、BD、PB、PC、PD，下面各组向量中， 数量积不一定为零的是（ ）A与B与C与D与解：对于 A，直线 PC 与 BD 不一定垂直，故向量与不一定垂直，所以数量积不一定为零，故选项 A 符合；对于 B，根据题意，PA面 ABCD，AD平面 ABCD，则 PAAD，又 ADAB，ABPBP，则 AD平面 PAB，PB平面 PAB，所以 ADPB，即与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项 B 不符合；对于 C，因为 PA面 ABCD，AB平面 ABCD，所以 PAAB， 又 ABPD，PDPAP，所以 AB平面 PAD，又 PD平面 PAD，所以 PDAB，即向量与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项 C 不符合；对于 D，因为 PA面 ABCD，CD平面 ABCD，1 2 1 21 2 1 21 12 21 2 1 21 2 1 21 12 21 22 11 21 2 1 2 2 11 2 2 1所以 PACD，即向量 故选：A与一定垂直，所以数量积一定为零，故选项 D 不符合；14下列选项中，y 可表示为 x 的函数是（ ）A3|y |x20BxyCsin（arcsinx）sinyDlnyx2解：对于 A：令 x0，没有 y 的值与之对应，故 A 错误， 对于 B：令 x4，y 可以取2，故 B 错误，对于 C：sin（arcsinx）xsiny，令 x1，则 y2k+，故 C 错误，对于 D：y故选：D，是一一对应的关系，符合函数的定义，故 D 正确，15已知 x 、x 、y 、y 都是非零实数，（x x +y y ）2（x 2+y 2）（x 2+y 2）成立的充要条件是（ ）A 0B 0C 0D 0解：x 、x 、y 、y 都是非零实数，（x x +y y ）2（x 2+y 2）（x 2+y 2），化为：x y x y 对于 C：左边1x y +（1）y x x y x y 0，因此 Cx y x y 经过验证只有 ABD 不满足充要条件故选：C1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 11 1 1 11 11 11 11 11 1 1 11 16设点 A 的坐标为（a，b），O 是坐标原点，向量 则 A的坐标为（ ）A（acosbsin，asin+bcos）B（acos+bsin，bcosasin）C（asin+bcos，acosbsin）D（bcosasin，bsin+acos）绕着 O 点顺时针旋转 后得到 ，解：根据题意，设| |r，向量与 x 轴正方向的夹角为 ，又由点 A 的坐标为（a，b），则 arcos，brsin，向量绕着 O 点顺时针旋转 后得到 ，则 A（rcos（），rsin（）而 rcos（）rcoscos+sinsinacos+bsin，rsin（）rsincosrcossinbcosasin，故 A的坐标为（acos+bsin，bcosasin），故选：B三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17已知 M、N 是正四棱柱 ABCDA B C D 的棱 B C 、C D 的中点，异面直线 MN 与 AB所成角的大小为 arccos（1）求证：M、N、B、D 在同一平面上；（2）求二面角 CMNC 的大小【解答】（1）证明：连结 BD，B D ，因为 M，N 分别为 B C ，C D 的中点，所以 MNB D ，又在正四棱柱 ABCDA B C D 中，BB DD ，且 BB DD ， 所以四边形 BDD B 为平行四边形，故 BDB D ，所以 MNBD，故 M、N、B、D 在同一平面上；（2）解：以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正四棱柱 ABCDA B C D 的底面边长为 2，高为 a（a0），则 M（2，1，a），N（1，2，a），A（0，0，0），B （2，0，a）， 所以 ，1 1 1 1 因为异面直线 MN 与 AB 所成角的大小为 arccos，所以所以 M（2，1，4），N（1，2，4），C（2，2，0），解得 a4，所以设平面 CMN 的法向量为 ，则有 ，令 z1，则 xy4，故，平面 C MN 的一个法向量为，所以 ，由图可知，二面角 CMNC 的平面角为锐角，所以二面角 CMNC 的大小为 18设函数 f（x）lg（1cos2x）+cos（x+），0，（1）讨论函数 yf（x）的奇偶性，并说明理由；）（2）设 0，解关于 x 的不等式 f（+x）f（x）0解：（1）f（x）lg（1cos2x）+cos（x+）lg（2sin2由 sinx0 可得 xk（kZ ），关于原点对称，x）+cos（x+），1 因为 f（x）lg（2sin2x）+cos（x+），当 0 时，f（x）lg（2sin2x）+cosx，f（x）lg（2sin2x）+cos（x）lg（2sin2x）+cosxf（x），所以函数 yf（x）是偶函数；当 （0，）时，f（x）lg（2sin2x）+cos（x+），f（x）lg（2sin2x）+cos（x+），f（x）lg（2sin2x）cos（x+）， 所以 f（x）f（x）0，函数 yf（x）是非奇非偶函数（2）因为（f+x）lg2+lgsin（2x+）+cos（x+）lg（1+sin2x）+cos（x+），f（x）lg1cos（ 2x）+xos（）lg（1+sin2x）+cos（x+），因为 f（+x）f（ x）0，所以 lg（1+sin2x）+cos（x+）lg（1+sin2x）+cos（x+），即 cos（x+整理得 coscos（）cos（）0，x+），所以 cos（）0，所以 解得故不等式的解集x|+2k，kZ，kZ19假设在一个以米为单位的空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 xOy 内有一跟踪和控制飞行机器人 T 的控制台 A，A 的位置为（170，200，0），上午 10 时 07 分测得飞行机器人 T在 P（150，80，120）处，并对飞行机器人 T 发出指令：以速度 v 13 米/秒沿单位向量（ ， ， ）作匀速直线飞行（飞行中无障得物），10 秒后到达 Q 点，再发出指令让机器人在点原地盘旋 2 秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到 8 米/秒，然A A 后保持 8 米/秒，再沿单位向量 （ ， ， ）作匀速直线飞行（飞行中无障碍物），当飞行机器人 T 最终落在平面 xOy 内发出指令让它停止运动，机器人 T 近似看成 一个点（1）求从 P 点开始出发 20 秒后飞行机器人 T 的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人 T 与控制台 A 的最近距离（精确到米）解：（1）由已知可得机器人 T 在 10 秒后到达 Q 点，则 Q 点的坐标为（150，80，120）+13在 Q 点原地盘旋 2 秒再移动 8 秒后到达的位置为：（180，200，80）+8 （212，20032（180，200，80），48），则从 P 点出发 20 秒后飞行机器人 T 的位置为（212，20032，48）；（2）当 Q 点与 A 点处于同一垂直线上时，与控制台 A 的距离最近，则两点间的距离为 d 米，则最近距离为 1020（16 分）曲线米1 与曲线 1（a0）在第一象限的交点为 A，曲线是 C 是 1（1xx ）和 1（xx ）组成的封闭图形，曲线 C 与 x轴的左交点为 M、右交点为 N（1）设曲线1 与曲线 1（a0）具有相同的一个焦点 F，求线段 AF的方程；（2）在（1）的条件下，曲线 C 上存在多少个点 S，使得 NSNF，请说明理由；（3）设过原点 O 的直线 l与以 D（t，0）（t0）为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为 T，直线 l 与曲线 C 在第一象限的两个交点为 P、Q，当的值意直线 l恒成立，求 t2对任解：（1）若曲线 1 与曲线 1（a0）具有相同的一个焦点 F，则 1+a49a，解得 a24，所以双曲线的方程为 x2 1，椭圆的方程为+1，联立 ，解得 x ，y ，因为 A 在第一象限，所以 A 的坐标为（ ， ），当 F（5，0）时，直线 AF 的方程为 y0 （x5），即 y x+（ x5），当 F（5，0）时，直线 AF 的方程为 y0 （x+5），即 y x+）（2）在（1）的条件下，N（7，0），当 F（5，0）时，NF12，椭圆 C 中不存在 S 点，不符合题意，（5xP P Q Q P PP Q QQ 当 F（5，0）时，NF2NS，所以 S 是以 N 为原点，半径为 2 的圆，即（x7）2+y24，联立 ，得 25x2686x+33810，（686）242533810，所以方程组有两组解，所以存在两个 S 点，使得 NSNF（3）设圆 D（xt）2+y2r2，直线 l 的方程为 ykx，联立 ，得 x2 ，所以 x ，y k ，联立 ，得 x2 ，所以 x ，y k ，因为|OD|t，ktanTOD，cosTOD ，所以|OT|OD|cosTODt ，所以2x 2+y 2（1+k2）x 2（1+k2） ，2x 2+y2（1+k2）x2（1+k2） ，所以+2t2 ，所以 1k2+ + k2t2，所以 t2 ，n n +1n +1 n1 1 2 3 41 4 2 3n n 1 23 22 2 4 33 1 4 2 3n n n2 n1 n2 1 n nn n 1 1 1 n n 1n 1 k k +1k k k k +1解得 t 21（18 分）设数列a 满足：a b，a a ，设 a a，a2（1）设 b，k，若数列的前四项 a 、a 、a 、a 满足 a a a a ，求 a；（2）已知 k0，n4，nN，当 a（0，），b（0， ），ab 时，判断数列a 是否能成等差数列，请说明理由；（3）设 a4，b7，k1，求证：对一切的 n1，nN，均有 a 解：（1）若 a可得 ，即 ab，即 a a ，所以 a a +ksina ， a ，所以 a a +kcosa ，可得 ，所以 a a a a ，可得a ，可得 a若 a所以 a；，同理可得，无解 ；（2）若a 为等差数列，因为 a ba a，所以 a +a 2a ，a 递增， da a ksina 0，因为 k0，所以 a （0，）， 又因为a 递增，所以 a 一定会出现大于 ，且不满足 d0，所以矛盾，所以数列a 不能成等差数列；（3）证明：n1 时，a a4；成立，假设 nk 时，a 则 nk+1 时，a a在第一、二象限时，sina 1 k成立；a 在第三、四象限时，sina 0， a 成立；，k k k k +1nak在第一、四象限时，cosa 1成立；a 在第二、三象限时，cosa 0，所以 a 所以对一切的 n1，nN ，均有 a 成立；