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抽象函数的对称性与周期性一、 抽象函数的对称性定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件:f (a+x)=f (bx),则函数y=f (x) 的图象关于直线x= 对称。推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件:f (a+x)=f (ax) (或f (2ax)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件:f (a+x)=f (ax), 又若方程f (x)=0有n个根,则此n个根的和为na 。定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件:f (a+x)+f (bx)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f (x) 的图象关于点 对称。推论1.若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件:f (a+x)+f (ax)=0,(a为常数),则函数y=f (x) 的图象关于点(a ,0)对称。定理3.若函数y=f (x) 定义域为R,则函数y=f (a+x) 与y=f (bx)两函数的图象关于直线x=对称。定理4.若函数y=f (x) 定义域为R,则函数y=f (a+x) 与y=cf (bx)两函数的图象关于点对称。性质1:对函数y=f(x),若f(a+x)= f(bx)成立,则y=f(x)的图象关于点(,0)对称。性质2:函数y=f(xa)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=a对称。性质3:函数y=f(a+x)与函数y=f(ax)的图象关于直线x=0对称。性质4:函数y=f(a+x)与函数y=f(bx)图象关于点(,0)对称。二、抽象函数的周期性定理5.若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件f (xa)=f (xb),则y=f (x) 是以T=ab为周期的周期函数。定理6.若函数y=f (x) 定义域为R,且满足条件f (xa)= f (xb),则y=f (x) 是以T=2(ab)为周期的周期函数。定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 x=b (ab)对称,则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理8.若函数y=f (x)的图象关于点(a,0)与点(b,0) , (ab)对称,则y=f (x) 是以T=2(ba)为周期的周期函数。定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a与 点(b,0),(ab)对称,则y=f (x) 是以 T=4(ba)为周期的周期函数。性质1:若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx) (ab,ab0),则函数f(x)有周期2(ab);性质2:若函数f(x)满足f(ax)= f(ax)及f(bx)= f(bx),(ab,ab0),则函数有周期2(ab).特别:若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) (a0)且f(x)是偶函数,则函数f(x)有周期2a.性质3:若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)= f(bx) (ab,ab0),则函数有周期4(ab).特别:若函数f(x)满足f(ax)=f(ax) (a0)且f(x)是奇函数,则函数f(x)有周期4a。例1已知定义在上的奇函数满足,则的值为 例2已知函数是周期为的函数,当时,当 时,的解析式是 例3. 设是定义在上以为周期的函数,在内单调递减,且的图像关于直线对称,则下面正确的结论是 例4.设是定义在上1已知定义为R的函数满足,且函数在区间上单调递增.如果,且,则的值( ).A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.例5.在R上定义的函数是偶函数,且.若在区间上是减函数,则( )A.在区间上是增函数,在区间上是减函数B.在区间上是增函数,在区间上是减函数C.在区间上是减函数,在区间上是增函数D.在区间上是减函数,在区间上是增函数例6已知函数的图象关于直线和都对称,且当时,.求的值.13设()是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称对任意,都有()()(),且f(1)=()求;()证明()是周期函数; 练习: 1.设偶函数对任意,都有,且当时,则 2是定义在上的以为周期的奇函数,且在区间内解的个数的最小值是 3定义在上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为 4 .已知函数为上的奇函数,且满足,当时,则等于( ) 5.函数对于任意实数满足条件,若,则 6.已知是周期为的奇函数,当时,设则 8.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则 9(广东)设函数在上满足,且在闭区间上,只有()试判断函数的奇偶性;()试求方程在闭区间上的根的个数,并证明你的结论 4
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