整式的乘除教学设计.doc

第8章 整式的乘法一、单元设计总体分析本章教学内容本章是继七年级代数式中学习了整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是七年级的延续和发展。本章的主要内容有同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，以及单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式、因式分解等运算，整式的乘除法既是七年级上册整式的加减的后续学习，也是分式学习的基础，因此，本章内容的地位也至关重要。多项式的乘法运算最终都转化为同底数幂的乘法进行，因此同底数幂的乘法是整式乘法的基础，所以同底数幂的运算法则和整式的乘法是本章教学的重点。而其中多项式与多项式相乘的运算要综合运用乘法分配律、交换律及幂的运算法则，是本章教学的难点。因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。本章教学目标1、了解正整数指数幂的运算法则，会进行正整数指数幂的计算。2、探索了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。3、会由整式的乘法推导乘法公式：；，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。4、通过从幂的运算到整式乘法，再到乘法公式的学习，了解乘法公式来源于整式乘法，又应有于整式乘法的辩证过程，并初步认识到事物发展过程中“特殊一般特殊”的一般规律。5、探索了解单项式与单项式、多项式与单项式的法则，会进行简单的整式除法运算。6、了解因式分解的意义及与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想。7、会用提公因式法、公式法直接用公式不超过两次进行因式分解。8、让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严谨性和初步解决问题的愿望与能力。二、课时安排本章的教学时间为22课时，建议分配如下：13.1 幂的运算-4课时13.2 整式乘法-4课时13.3 乘法公式-4课时13.4 整式除法-2课时13.5 因式分解-2课时复习-2课时课题学习-2课时三、 本章教学策略1、同底数幂的乘法课本首先从计算引出数学运算或处理现实世界中数量之间的关系时，经常会碰到同底数幂相乘的问题，由此引导学生进行合作学习，探索同底数幂相乘的规律，得出同底数幂的乘法法则。之后，又安排第2、第3课时，让学生继续通过合作学习，进一步探索幂的乘方与积的乘方的运算法则。在这三个法则的探索过程中，对乘方意义的理解和运用是关键，其中积的乘方法则的得出还需用到乘法交换律。同底数幂的除法可以引导学生通过填空，由同底数幂的乘法的逆运算，推导归纳同底数幂相除的法则。同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则以及同底数幂相除的法则和整式的除法法则都是从“数”的相应运算入手，类比、过渡到到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则，使新的运算规律自然而然地顺应到原有的知识之中，使原有知识得到扩充、发展。2、单项式的乘法，课本从一个实际例子，引出单项式的乘法，并引导学生思考两个单项式相乘的运算方法和依据（两个单项式相乘运算的依据主要是乘法交换律和同底数幂的乘法法则），并在此基础上引导学生归纳得出单项式与单项式相乘的法则。之后引导学生从面积的不同表示和乘法分配律两个方面探索单项式与多项式相乘的运算规律，得出单项式与多项式相乘的法则。多项式的乘法，对多项式与多项式相乘的法则，课本也是通过对图形面积的不同表示直观得出的，这样处理方便学生理解，符合初中学生形象思维丰富的特点。之后让学生想一想，用乘法分配律解释法则，提高学生对多项式相乘法则的理性理解。整式的乘法运算规律的探索，从最简单的同底数幂的乘法运算规律的探索开始，步步深入研究幂的乘方、积的乘方、两个单项式的乘法、单项式与多项式的乘法，逐步过渡到多项式与多项式的乘法，使学生感到，每一个新规律的探索，都可以用原有知识进行（幂的意义、乘法的交换律、分配律），只需归纳其中的规律，使原有知识不断丰富、完善。在这里，用原有知识探索发现新的规律，新发现的规律又是下一个新规律探索的基础，学习层次得到不断提高。整式除法的学习也是同样，从同底数幂相除运算法则的探索开始，到单项式与单项式相除、多项式与单项式相除的运算规律探索，步步深入。3、乘法公式，实际是两个特殊的多项式相乘及其所得的结果，由于在数学运算中经常用到，就把它们作为公式。课本采用引导学生观察相乘的两个多项式的系数和字母的特点，以及所得多项式的系数和字母的特点，比较它们之间的关系，得出平方差公式和两数和的完全平方公式。对于两数差的完全平方公式则采用代换的方法得出，这是一种重要的思想方法。课本还分别安排了让学生尝试用图形的面积直观验证平方差公式和两数和的完全平方公式成立，目的使学生了解公式的几何背景。课本在平方差公式之后安排例2，用平方差公式进行两个特殊数值的相乘计算，说明乘法公式还可用于简便计算。4、整式的除法是整式乘法的逆运算，引导学生考虑两个单项式相乘的法则，并得出单项式除以单项式的法则。之后安排做一做，引导学生将数的除法类比到式的除法，然后归纳多项式除以单项式的运算方法，得出运算法则。5、因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢固地掌握。因式分解的理论比较多(如因式分解的因子存在性与唯一性)，分解因式的方法很多；变化技巧较高，这是本部分知识的难点，教学时一定要按照教学要求教学，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。因式分解是整式乘法的逆运算，课本安排学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构。四、课时教学8.1 幂的运算同底数幂的乘法一、素质教育目标1理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质2能够熟练运用性质进行计算3通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力4通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力5通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度二、学法引导1教学方法：尝试指导法、探究法2学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解三、教学重点难点：（）重点幂的运算性质（二）难点有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用四、课时安排一课时五、师生互动活动设计1复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法2通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义3教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握六、教学步骤 1创设情境，复习导入 表示的意义是什么？其中 、 、 分别叫做什么？ 师生活动：学生回答（ 叫底数， 叫指数， 叫做幂），同时，教师板书 个 提问：1） 表示什么？ 可以写成什么形式？_ 2）计算： 【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备2尝试解题，探索规律（）式子的意义是什么？（2）这个积中的两个因式有何特点？ 学生回答：（）与的积（2）底数相同 （2）式子怎样计算？学生活动：学生自己思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果同样的：（3）计算：（1） （2） （3）师生共同总结： （ 都是正整数） 请同学们试着用文字概括这个性质：同底数幂相乘，底数不变、指数相加3尝试反馈，理解新知例1 计算： （1） （2） （3） 练习： 课本：P49 练习1、2题计算：（1） （2）（3）注意引导学生符号的确定和整体思想的培养；4知识拓展：例3 （1） （2） （3）已知：，求 5学习小结： 学生总结本节所学内容： （ 都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变、指数相加 6布置作业：略幂的乘方 一、教学目标1理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算2通过推导性质培养学生的抽象思维能力3通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力4通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力5通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度二、学法引导1教学方法：引导发现法、尝试指导法2学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题三、教学重点难点（）重点准确掌握幂的乘方法则及其应用（二）难点同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用四、课时安排一课时五、师生互动活动设计1复习同底数幂乘法法则并进行计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解 2教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质3设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解六、教学过程1复习引入（1）叙述同底数幂乘法法则并用字母表示（2）计算： 2探索新知，讲授新课（1）引入新课：计算：（1） （2） （3） 由上述练习猜想：？（2）幂的乘方法则字母表示： （ ， 都是正整数） 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据3尝试反馈，理解新知例1 计算： （1） （2） 练习： 课本：P46 练习1、2题4知识拓展：1、计算： （2） 2、错例辨析：下列各式的计算中，正确的是（）A B C D 5知识小结： 1、 幂的乘方： （ ， 都是正整数） 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘2、同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较： 幂运算种类指数运算种类同底幂乘法乘法加法幂的乘方乘方乘法6布置作业：略整式的乘除之积的乘方蒙城县板桥中学 方明一、教学目标1进一步理解积的乘方的运算性质，准确掌握积的乘方的运算性质，熟练应用这一性质进行有关计算2通过推导性质进一步训练学生的抽象思维能力，通过完成例2，培养学生综合运用知识的能力3培养实事求是、严谨、认真、务实的学习态度4渗透数学公式的结构美、和谐美二、学法引导1教学方法：引导发现法、探究法、讲练法2学生学法：本节主要学习幂的乘方性质和积的乘方性质，到现在为止，我们共学习了幂的三个运算性质进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的三个运算性质，深刻理解每种运算的意义，避免互相混淆，有时逆用幂的三个运算性质，还可简化运算三、教学重点、难点（）重点准确掌握积的乘方的运算性质（二）难点用数学语言概括运算性质四、课时安排一课时五、师生互动活动设计1通过绦习，以达到复习同底数幂的乘法、幂的乘方这两个性质的目的，让学生互问互答2推导积的乘方的公式，在推导过程中让学生说出每一步的理由，以便于学生对公式的准确理解3通过举例来说明积的乘方性质应如何正确使用，师生共练以达到熟练掌握4多种题型的设计，让学生能从不同的角度全面准确地理解和运用该性质六、教学过程1创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个寨的运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：填空：（1） （2） （3） （4） 学生活动：4个学生说出答案，同桌同学给予判断【教法说明】通过完成本练习，进一步巩固、理解同底数幂的乘法，幂的乘方，同时也为顺利完成本节例2做个铺垫2探索新知，讲授新课我们知道 表示 个 相乘，那么 表示什么呢？（注意： 中 具有广泛性）学生回答时，教师板书 这又根据什么呢？（学生回答乘法交换律、结合律） 也就是 请同学们回答的结果怎样？那么 （ 是正整数）如何计算呢？ ；_个 运用了_律和_律_个 _个 学生活动：学生完成填空 （ 是正整数）刚才我们计算的 、 是什么运算？（答：乘方运算）什么的乘方？（积的乘方）通过刚才的推导，我们已经得到了积的乘方的运算性质请同学们用文字叙述的形式把它概括出来学生活动：学生总结，并要求同桌相互交流，互相纠正补充达成一致后，举手回答，其他学生思考，准备更正或补充【教法说明】通过学生自己概括总结，既培养了学生的参与意识，又训练了他们归纳及口头表达能力教师根据学生的概括给予肯定或否定，纠正后板书积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘3尝试反馈，理解新知例1 计算： （1） （2） （3） （4） 练习： 课本：P48 练习1、2题4知识拓展：（一）提出问题：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如学生活动：在运算的基础上给出答案（3） （4） 学生活动：每一题目均由学生说出完整的解题过程解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （二）（2）下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？ （三） 计算：（1） （2） 学生活动：学生分成两组，每组各做一题，各派一个学生板演 【教法说明】学生已具备综合运用性质的能力，让学生尝试解题，目的是训练学生分析问题的能力分组练习，不仅能激发学生的兴趣，同时也可培养学生的集体荣誉感学生对知识的印象会更深刻5知识小结： 学生总结所学的三个公式： （ 都是正整数） （ ， 都是正整数） （ 是正整数）6布置作业：略同底数幂的除法一、教学目标1掌握同底数幂的除法运算性质.2运用同底数幂的除法运算法则，熟练、准确地进行计算.3通过总结除法的运算法则，培养学生的抽象概括能力.4通过例题和习题，训练学生的综合解题能力和计算能力.二、学法引导1教学方法：引导发现法、探究法、讲练法2学生学法：1根据除法是乘法的逆运算，从具体的同底数的幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质.让学生自己归纳出同底数的幂的除法法则.2性质归纳出后，不要急于讲例题，要对法则做几点说明、强调，以引起学生的注意.（1）要强调底数 是不等于零的，这是因为，若 为零，则除数为零，除法就没有意义了.（2）本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数 都是正整数，并且 ，要让学生运用时予以注意.三、教学重点难点1重点准确、熟练地运用法则进行计算2难点根据乘、除互逆的运算关系得出法则三、 教学过程1创设情境，复习导入前面我们学习了同底数幂的乘法，请同学们回答如下问题，看哪位同学回答得快而且准确（1）叙述同底数幂的乘法性质（2）计算： 学生活动：学生回答上述问题 （m，n都是正整数）【教法说明】 通过复习引起学生回忆，巩固同底数幂的乘法性质，同时为本节的学习打下基础2提出问题，引出新知思考问题：怎样计算同底数幂的除法？：（1） （2） （3）学生回答。问：答案如何计算出来的？方法如下：（1） 那么，根据除法是乘法的逆运算可得（2）直接计算： （3） （4）由练习结果猜想：如果： .那么 ，当m，n都是正整数时，如何计算呢？（板书） 学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论师生共同总结： 教师把结论写在黑板上（注阅读课本P22，用除法是乘法的逆运算来说明）请同学们试着用文字概括这个性质： 【公式分析与说明】 提出问题：在运算过程当中，除数能否为0？学生回答：不能（并说明理由）由此得出：同底数幂相除，底数 教师指出在我们所学知识范围内，公式中的m、n为正整数，且mn，最后综合得出：一般地， 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 4尝试反馈，理解新知例1 计算：（1） （2） （3）由3个学生板演完成之后，由学生判断板演是否正确练习： 1、 课本：P49练习1、2题 2、 课本：P50习题5知识小结： 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减. 6布置作业：略82 整式的乘法整式的乘法（一）教学目标：知识与技能1、在具体情境中了解单项式乘法的意义；2、理解单项式乘法法则；3、会利用法则进行单项式的乘法运算。过程与方法1、验算探索单项式乘法运算法则的过程，理解算理，体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想；2、发展学生有条理的思考能力和语言表达能力。情感、态度与价值观体验探求数学问题的过程，体验转化的思想方法，获得成就感，提升学习动力源。教学重点：单项式乘法法则及其应用。教学观点：理解运算法则及其探索过程。教学过程：一、问题引入：1、现有长为x米，宽为a米的矩形，其面积为 平方米。2、长为x米，宽为2a米的矩形，面积为 平方米。3、长为2x米，宽为3a米的矩形，面积为 平方米。教师活动学生活动在这里，求矩形的面积，会遇到 这是什么运算呢？因式都是单项式，它们相乘，是单项式与单项式相乘。二、探索单项式乘单项式的运算法则：对于引例中的问题，我们可以借助于图示帮助得出结果。 三、过手训练：例1：计算：教师活动学生活动（写出完整解答）一、点评： 1、先确定结果的符号；2、系数对系数，指数对指数，系数相乘，指数相加。3、每个单项式相乘，法则仍适用，结果必为单项式。运用单项式乘以单项式的运算法则，完成解答。课堂练习： 1、计算：2、一个长方体形储货仓长为4103，宽为3103，高为5102，求这个货仓的体积。3、讨论、探究： 四、小结：利用乘法交换律和综合律及同底数幂的乘法探索出单项式乘以单项式的运算法则。五、课后作业：P58 习题1132整式的乘法(二)教学目标: 1、在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义；2、理解单项式乘以多项式的运算法则；3、会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算。教学重点：单项式与多项式的乘法运算。教学难点：体会乘法分配律的作用和转化的数学思想。教学过程：一、复习引入：1、复习单项式与单项式的乘法法则：计算： 2、问题：如图所示，求图中阴影部分的面积：阴影部分是矩形，其面积可表示为平方单位。这里的 表示一个单项式与一个多项式的乘积。二、探索单项式与多项式的法则：教师活动学生活动启发学生讨论 进而引导学生解释，并用数学 描述单项式乘以多项式的运算法则。讨论上述问题中阴影部分面积的求法：1）直接用阴影部分矩形的实际长和宽来求，即表达式为：2）把阴影部分面积转化为大矩形的面积减去两块空的矩形的面积，即：解释成立式子变形的理由乘法分配律。 用自己的语言描述单项式与多项式相乘的运算法则。三、过手训练： 1、例1：计算：（写出完整解答）师生互动点评：（1）、多项式每一项要包括前面的符号；（2）、单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；（3）、单项式系数为负时，改变多项式每项的符号。2、随堂练习：（1）计算：3、解答题： （3）计算图中的阴影部分的面积： （4）求证对于任意自然数n代数式 n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。 四、课时小结： 1、单项式乘以多项式的乘法法则及注意事项；2、转化的数学思想。五、课后作业：P62 习题3,4 132整式的乘法（三）教学目标：1、在具体情境中了解多项式与单项式的相乘的意义；2、理解多项式与单项式相乘的运算法则；3、会进行多项式与多项式的乘法运算。过程与方法1、经历探索多项式与单项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想；2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力；情感、态度与价值观,在探究乘法法则的过程中，体会“整体”和“转化”的思想，体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。教学重点：多项式的乘法法则及其应用。教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。教学过程：一、复习引入： 1、复习单项式乘以多项式的法则：计算： 2、问题引入： 求各个图示给出的矩形的面积。学生活动：图（1）所示的矩形面积为m(a+n)=ma+mn 图（2）所示的矩形面积为b(a+n)=ba+bn 图（3）所示的矩形面积为(m+b)(a+n)二、探索多项式乘以多项式的运算法则：师生互动：呈接上问，另一方面，图（3）所示的矩形面积是图（1）、（2）所示矩形面积之和。所以有：学生小结：这是多项式乘以单项式，这一过程，可以看成是把第二个多项式看成一个整体，用第一个多项式里各项分别去乘以第二个多项式。教师启发学生用数学式子或用自己的语言归纳、描述多项式乘以多项式的运算法则。如：利用乘法分配律，用一个多项式里的各项分别去乘以另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。三、过手训练： 1、例1、计算： 解：（写出完整解答）师生点评：（1）、用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。 （2）、多项式里的每一项都必须是带上符号的单项式。 （3）、展开后看有同类项要合并，化成最简形式。随堂练习：（1）、计算： （2）、若 求m、n、已知的结果中不会成项，求b的值。（3）、梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为 厘米，求梯形的面积。为了参加学校的摄影大赛，小明把全班同学参加植树活动的照片放大为长a，宽为a的大小，又精心地在四周加上了2宽的木框，问小明的这幅作品的面积为多少？四、课时小结： 1、知识与技能：多项式与单项式相乘的运算法则及其应用。2、学生谈学习感受。五、课后作业：65 习题68.2 整式的除法一、教学目标单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算.二、教学重点单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算.三、教学难点单项式除以单项式及多项式除以单项式的计算方法.四、教学方法讨论、交流学习.五、教学过程(一)引入新课大家已经会做同底数幂的除法，下面再来计算几个题目：(1) 1010108； (2) x6x3；(3) (-a)6(-a)2； (4)(x2)3x4.(二)新课1.问题的提出.1）3x2y.2xy3=6x3y4 6x3y43x2y=_6x3y42xy3=_引导学生观察得出：两个单项式相除，只需将系数及同底数幂分别相除.再思考： -21a2b3c3ab.师：大家分析一下此题中对c该怎么办?生：留在商中.2）2x(x2+3x+4)=（2x3+6x2+8x）（2x3+6x2+8x）2x=_观察（2x3+6x2+8x）2x= x2+3x+4 的条件和结论让学生思考：多项式除以单项式时，商的每一项与被除式和除式之间的关系。从而总结出：多项式除以单项式时，先把多项式中每个单项式依次除以单项式，再把商相加.(三)巩固、发展1、例题：老师完成（法则的运用方法及作题格式）练习：学生独立完成，老师巡视指导和批改。发现问题及时讲评。习题：视具体情况而定，可做课堂练习或留做作业。2、学生提问： 疑难问题提问或由学生命题，大家一起来完成。3.探索思考题：师：请同学们看的问题：地球的质量约为5.981024千克，木星的质量约为1.91027千克，问木星的质量约是地球的多少倍?(结果保留三个有效数字)师：这个题目计算本不难，只需做一个除法： (1.91027)(5.981024). 生：对1.9和5.98不知该怎么办?师：1.9和5.98看起来有点像什么呢?生：有点像单项式3x中的系数3.师：对，单项式相除时，?系数是怎样处理的?生：系数除以系数师：我们也可以把1.91027中的1.9看成是1027的系数.请大家讨论分析这题该怎么计算?(学生分组讨论完成) (四)补充作业1、（3xn+1-bxn+xn-1）（xn-2）2、（-2y5）2（2y3）= 。3、（-2x2y）45x2y（-x4y2）2 - 20 -