模型选择和模型评估.ppt

MLE 3-1 上节课内容总结 贝叶斯的概率观点 概率描述的是主观信念的程度 可以对参数进行概率描述，为参数生成一个概率分布 贝叶斯推理的基本步骤 先验分布 似然模型 计算后验分布 从后验分布中得到点估计和区间估计 点估计：后验均值、后验众数（ MAP） 后验区间 MLE 3-2 上节课内容总结 后验的仿真模拟 贝叶斯推理与 MLE 例 令 为 的极大似然估计，在合适的正则条件下， 后验均值为 贝叶斯推理的优点 可以方便的结合先验信息 数据和先验同等对待 由后验可以同时推出点估计和区间估计 MLE 3-3 第七章：模型选择和模型评估 内容： 估计选择 （ Ch13） 模型选择 （ Ch14， Ch9，统计学习基础第 7章） MLE 3-4 估计选择 有几个不同的估计，哪个估计更好一些？ 统计决策理论 MLE 3-5 损失函数 损失函数：度量真值 与估计 之间的差异 损失函数举例 平方误差损失 绝对误差损失 损失 0-1损失 Kullback Leibler损失 MLE 3-6 风险函数 风险函数：损失的均值 一个估计 的风险是 对平方误差损失，风险为 MSE 风险是 的函数 比较不同的估计，转化为比较不同估计的风险 但并不能清楚地回答哪个估计更好 MLE 3-7 风险比较 没有一个估计的风险在所有的 值都超过另外一个 MLE 3-8 风险比较 风险函数的两个单值概述 最大风险 贝叶斯风险 其中 为 的先验。 MLE 3-9 决策规则 (Decision Rules) 决策规则是估计的别名 最小化贝叶斯风险的决策规则成为贝叶斯规则或 贝叶斯估计，即 为对应先验 f 的贝叶斯估计 其中下界是对所有的估计 计算 最小化最大风险的估计称为最小最大规则 其中下界是对所有的估计 计算 MLE 3-10 贝叶斯估计 给定一个模型（先验和后验）和损失函数，就 可以找到贝叶斯规则 若 ，则贝叶斯规则为后验 均值 若 ，则贝叶斯规则为后验 中值 若 为 0-1损失，则贝叶斯规则为后验 众数 MLE 3-11 最小最大规则 找最小最大规则，或者证明一个估计是最小最大估计 是一件很困难的事情。但还是有一个简单的方法：有 些贝叶斯估计（如风险为常数）是最小最大估计 令 对应先验 f 的贝叶斯估计： 假设 则 为最小最大估计，且 f 称为 最小受欢迎先验 ( least favorable prior)。 上述结论一个简单的结果有：如果一个贝叶斯规则的 风险为常数 ，则它是最小最大估计。 MLE 3-12 MLE为近似最小最大估计 对满足弱正则条件的参数模型，极大似然估计 近似为最小最大估计。对均方误差损失，通常 根据 Cramer-Rao 不等式，这是所有无偏估计的 方差的下界。 MLE 3-13 MLE为近似最小最大估计 因此对所有估计 ，有 对大数 N， MLE为近似最小最大估计。 因此，对大多数参数模型，当有大量样本时， MLE近似为最小最大估计和贝叶斯估计。 Many Normal Means 情况不成立（不是大样本） MLE 3-14 可接受性 (Admissibility) 一个估计如果在 所有值上都比其它估计的风 险大，则该估计不是我们所希望的。如果存在 一个其它的规则 ，使得 则该估计 是不可接受的。 否则， 是可接受的。 至少存在一个 MLE 3-15 可接受性 可接受性是与其他表示估计好坏的方法有何关系？ 在一些正则条件下，如果 为贝叶斯规则且有有限 风险，则它是可接受的。 如果 的风险为常数且是可接受的，则它是最小最 大估计。 MLE 3-16 许多正态均值 (Many Normal Means) Many Normal Means是一个原型问题，与一般的非 参数回归或密度估计等价。对这个问题，以前许 多关于极大似然估计的正面的结论都不再满足。 令 ， 表 示数据， 表示未知参数， c0，这里参数的数目与观测数据一样多 MLE 3-17 Many Normal Means MLE为 ，损失函数为 MLE的风险为 最小最大估计的风险近似为 ，且存在这样一 个估计 能达到该风险。也就是说，存在风险比 MLE更 小的估计，因此 MLE是不可接受的。在实际应用中，风 险的差值可能很重要。 因此对高维问题或非参数问题， MLE并不是最优估计。 另外在非参数场合， MLE的鲁棒性也不是很好。 MLE 3-18 底线 根据这些工具，怎样选择估计呢？ 如果一个估计是不可接受的，则该估计一定是不 好的。 如果你信仰贝叶斯观点，则你可以用贝叶斯规则 如果最小最大性满足应用要求，可以使用最小最 大估计。 MLE 3-19 模型选择 给定一个估计和风险函数，应该选择哪个模型 / 参数？ MLE 3-20 “模型” 我们说的“模型”有时指的是模型类别 ，例 如所有 2个高斯的混合模型和所有 3个高斯的混 合模型。 有时也指在一个类别的模型中的一员，如参数 的值为特定值。也就是说，模型的类别是固定 的，而考虑的是不同的参数值。 在实际应用中，我们通常同时考虑上述两种情 况，也就是说： MLE 3-21 训练与测试 训练 数据 目标 /类别 学习 模型 测试 数据 应用 模型 MLE 3-22 训练误差与测试误差 测试误差，亦称 泛化误差 (generalization error )， 是在与训练数据同分布的独立的测试样本上的期 望预测误差： 训练误差是在训练样本上的平均损失： MLE 3-23 训练误差与测试误差 我们的目标：选择使测试误差最小 的模型 M， 称为 模型选择。 MLE 3-24 训练误差与测试误差 选择次优模型：过拟合 /欠拟合 MLE 3-25 训练误差与测试误差 训练误差为预测风险的过小估计： MLE 3-26 模型选择和模型评估 为了进行模型选择，我们只需知道不同模型的测试误 差的相对值。渐近近似有时对比较不同模型的测试误 差很有用。 通常对误差的真值没有很好的估计。当样本有限时， 渐近近似通常还不能得到足够好的估计。这种情况下 我们可以采用重采样 (resampling )方法 。 当然如过我们对测试误差有一种很好的方法来直接估 计，我们可以用它来进行模型选择。 MLE 3-27 训练误差的乐观性 训练误差的乐观性定义为 也就是说， 欠估计 R(M)的量取决于 yi 影响其 预测的强度。我们越难拟合数据，乐观性越大。 MLE 3-28 训练误差的乐观性 通常我们有 因此，为了选择模型，我们可以 对 进行估计，或 以某种方式估计 R(M) 欠拟合程度 + 复杂性惩罚 MLE 3-29 估计乐观性 通过各种技巧（通常是渐近性）估计乐观性 MLE 3-30 Mallows Cp统计量 当取平方误差损失，误差模型为 ， 其中误差 的均值为 0，方差为 其中 为模型中参数的数目。 MLE 3-31 Mallows Cp统计量 这样，可以用 Mallows Cp统计来估计 R(M) 其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的 MSE 获得。 MLE 3-32 AIC（ Akaike Information Criterion） 假设采用 log似然作为损失函数 实际上我们采用的是 2l(M) 如果模型为 ，则当 时， 其中 为 的 MLE， 为训练数据上的似然值 MLE 3-33 AIC（ Akaike Information Criterion） 这导出 R(M)的一个估计： AIC（ Akaike Information Criterion） 其中 为从一个低偏差（的复杂）估计的 MSE 获得。 这同 Mallows Cp统计量相同，只是适用假设范 围更宽（推广） 但是注意：这并不是普遍满足，如 0-1损失。 MLE 3-34 贝叶斯模型选择 假设我们有一个候选模型 M，其参数空间为 ，后 验为 为了比较两个模型 M1和 M2，可以计算两个模型的相 对后验概率，称为后验几率（ posterior odds）： 称为贝叶斯因子 (Bayes factor)，是数据对后验的贡献 MLE 3-35 BIC (Bayesian Information Criterion) 假设模型的先验是常量且参数的先验平滑，我们 用 Laplace近似来近似计算 的积分，再加上某 些简化，得到 其中 ， 为 的 MLE。 这导出了另外一个模型选择计分的准则：贝叶斯 信息准则 (Bayesian Information Criterion， BIC) MLE 3-36 BIC (Bayesian Information Criterion) 当取平方误差损失，误差模型为 ，其 中误差 的均值为 0，方差为 ，有 得到 BIC(M) ，其中因子 2被 logN代替 AIC倾向于过拟合，而 BIC倾向于欠拟合 MLE 3-37 BIC AIC不是一致的，而 BIC是一致的，也就是说，选 择最小 BIC的模型等价于选择最大后验概率的模型 （在渐近意义下）。事实上模型的后验概率为 不仅可以估计最好的模型，而且可以评估所考虑模 型的相关指标。 MLE 3-38 最小描述长度 MDL 最小描述长度 MDL(minimum description length) 采用与 BIC完全相同的选择准则，但它源自数 据压缩 /最优编码 BIC与 MDL都只适用于似然损失。 MLE 3-39 下节课内容 VC维与结构风险最小 (Chp23) 重采样技术 (Chp9) Boostrap 模型组合 (Chp23) Bagging Boosting