梁的应力和强度计算.ppt

( Stresses in Beams) 第七章 梁的应力和强度计算 ( Stresses in Beams) m m FS M 当梁上有横向外力作用时，一般情 况下，梁的横截面上既有弯矩 M ， 又有剪力 FS 。 引言 ( Stresses in Beams) 只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩 只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成 剪力 m m FS m m M 剪力 FS 切应力 弯矩 M 正应力 内力 所以，在梁的横截面上一般 既有 正应力 (normal stresses )， 又有 切应力 (shear Stresses) ( Stresses in Beams) P P a a C D A B + - P P + P. a 简支梁 CD 段的特点： 其任一横截面上： 剪力等于零，而弯矩为常量。 若梁在某段内各横截面的 弯矩为常量 ，剪力为零 ， 则该段梁的弯曲就称为 纯弯曲 (pure bending)。 纯弯曲 （ pure bending) A B ( Stresses in Beams) 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 观察变形， 提出假设 变形的分布规律 应力的分布规律 建立公式 71 梁的正应力 (Normal stresses in beams ) ( Stresses in Beams) 纯弯曲梁加载过程 纯弯曲梁加载过程 ( Stresses in Beams) 1、实验 （ Experiment） （ 1）变形现象 （ Deformation phenomenon ) 纵向线 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长 相对转过了一个角度 , 仍与变形后的纵向弧线垂直 各横向线仍保持为直线， 各纵向线段弯成弧线， 横向线 ( Stresses in Beams) （ 2）提出假设 ( Assumptions） (a)平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变 形后的梁轴线 . (b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压 ,只受单向拉压 . ( Stresses in Beams) Neutral surface Neutral axis Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3 推论 （ Inference） : 横截面的转动将使梁的凹边的纵向 线段缩短，凸边的纵向线段伸长， 由于变形的连续性，中间必有一层 纵向线段 无长度改变。此层称为 中 性层 (Neutral surface)。 中性层与横 截 面的交线称为 中性轴 ( neutral axis). ( Stresses in Beams) 观察变形 提出假设 变形的分布规律 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 应力的分布规律 建立公式 实 验 平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴 ( Stresses in Beams) 2、变形几何关系 （ Deformation geometric relation ） ( Stresses in Beams) bb dy xbb d OO OO d 应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成 正比 图（ a） dx 图（ c） d z y x o o b b dx 图（ b） y y z b b o o x o y d)( y d d ( Stresses in Beams) 观察变形 提出假设 变形的分布规律 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 应力的分布规律 建立公式 实 验 平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴 y ( Stresses in Beams) 3、物理关系 (Physical relationship) 所以 Hookes Law E yE M y z O x 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成 正比 应力分布规律 ? 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径 ? ? ( Stresses in Beams) yEE 中性轴 M 中性层 中性轴 横截面 横截面的对称轴 1、中性轴的位置 （ Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface) ? ( Stresses in Beams) 观察变形 提出假设 变形的分布规律 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 应力的分布规律 建立公式 实 验 平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴 y yE ( Stresses in Beams) y z x O M dA y dA 4、静力关系 (Static relationship） d NF d zM d yM NF yM zM 横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系 这一力系简化，得到三个内力分量 ddNAAFA ddyAAM z A ddZAAM y A 0 (1) 0 (2) M (3) 中性层的曲率半径 中性轴的位置 待解决问题 FN Mz My dA d A d A z y ( Stresses in Beams) 2 A EM y d A NF yM zM 0 0 M A dA A dAz A dAy (1) (2) (3) 中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入 (1)式，得 d0N A yF E A 将应力表达式代入 (2)式，得 中性层的曲率半径 中性轴的位置 待解决问题： d0y A yM zE A 将应力表达式代入 (3)式，得 yE zS 0 A d Ay d0A yz A zIE M 1 d A yM y E A 自然满足 yzI d A E yA 0 dAE y z A 0 z EMI ( Stresses in Beams) 观察变形 提出假设 变形的分布规律 变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 应力的分布规律 建立公式 实 验 平面假设 单向受力假设 中性层、中性轴 y yE ZEI M 1 中性轴过横截面形心 zI My ( Stresses in Beams) M 横截面上的弯矩 (bending moment in the beam) 该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 y 求应力的点到中性轴的距离 (distance from the neutral axis of the beam to the fibers) 式中 : 横截面对中性轴的惯性矩 (moment of inertia of the cross section of the beam) Iz (Flexure Formula) zI yM . 伽利略（ G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （ 两门新科学的对话 1638 年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时 也弄错。 ( Stresses in Beams) y y Z C Z 中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。 M 拉 压 M 拉 压 y y Z C Z 中性轴 C C ( Stresses in Beams) 讨论 应用公式时，一般将 M， y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。 zI yM . 若横截面存在剪力，当 l/h5，公式仍然适用 ( Stresses in Beams) 最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 1)当 中性轴为对称轴时 (The cross sections symmetrical about the neutral axis) : y ymax ymax Z C I yM z m axm ax y IW Z Z m a x W M Z m ax WZ称为抗弯截面系数 72 梁的正应力强度条件和应用 ( Stresses in Beams) 矩形截面 实心圆截面 W 2 123 h bh 6 2bh zI 2h 空心圆截面 2d zIW 2 644 d d 32 3d )1(32 4 3 DW Dd b h z y z d y z D d y ma x zIW y ( Stresses in Beams) z y 应分别以横截面上受拉和 受压部分距中性轴最远的 距离 和 直 接代入公式 ycmaxyt max 2)对于中性轴不是对称轴的横截面 (The cross sections unsymmetrical about the neutral axis): 求得相应的最大正应力 ycmax yt max M zI My ( Stresses in Beams) I My Z t t m a x m a x I My Z c c m a x m a x z y ycmax ytmax M maxc maxt ( Stresses in Beams) 强度条件 （ strength condition)： 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力 1、数学表达式 （ mathematical formula) ma xma x WM 2、强度条件的应用 (application of strength condition) ma x MW (2)设计截面 (1) 强度校核 ma x WM m a x WM (3)确定许可核载 ( Stresses in Beams) ct 对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的 （两者有时并不发生在同一横截面上） 且梁横截面的 中性轴 (neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的 m axm ax ct 要求分别不超过材料的 许用拉应力 (allowable tensile stress) 和 许用压应力 (allowable compressive stress) 。 m a x tt cc m ax ( Stresses in Beams) =140MPa and Example 1: An overhanging beam ABC is loaded and supported as shown in Fig 1(a) ,the sizes of the cross section as shown in Fig 1(b). Determine the allowable load on the beam if a=50mm. 2a a x A B C RA RB F Fig 1 (a) 20 z 14 30 1(b) Solution: 1)from m a x zW M m a x zWM 4 33 07.1 12 24.1 12 23 cmI z PaM max NaWP z 3000105 101401007.1 2 66 3 m a x 07.1107.1 cmy IW zz arrive at + Pa M ( Stresses in Beams) 80 y1 y2 20 20 120 z 例题 2： T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的 抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为 C =160MPa 。已知截面对形心轴 Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm, 校核梁的强度。 F1=9KN F2=4KN A c B D 1m 1m 1m ( Stresses in Beams) 解： KN.R A 52 KN.R B 510 80 y1 y2 20 20 120 z F1=9KN F2=4KN RA RB A c B D 1m 1m 1m ( Stresses in Beams) 80 y1 y2 20 20 120 z 最大正弯矩在截面 C上 mKNM C . 52 最大负弯矩在截面 B上 mKNM B .4 + - F1=9KN F2=4KN RA RB A c B D 1m 1m 1m C B 2.5KN 4KN ( Stresses in Beams) 80 y1 y2 20 20 120 z B 截面 2.271m ax tzBt MP aI yM 2.462m ax c z Bc MP a I yM F1=9KN F2=4KN RA RB A c B D 1m 1m 1m + - 2.5KNm 4KNm ( Stresses in Beams) 80 y1 y2 20 20 120 z C截面 8.282m ax t z ct MP a I yM F1=9KN F2=4KN RA RB A c B D 1m 1m 1m + - + - C B 2.5KNm 4KNm ( Stresses in Beams) 例题 3：由 n 片薄片组成的梁 l F Z b h 当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲 ( Stresses in Beams) l F Z b h n F 近似地认为每片上承担的外力等于 ( Stresses in Beams) 每一薄片中的最大正应力等于 n bh Fl n hb l n F W M Z 22 m a x m a x 6 )( 6 1 l F Z b h ( Stresses in Beams) l F Z b h 若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲 最大正应力等于 bh Fl bh Fl W M Z 2 2 m a x m a x 6 6 1 ( Stresses in Beams) Z m a x m a x W M 在面积相同时，增大 WZ 合理设计截面 合理放置截面 6 - 7 目录 73 梁的合理截面形状及变截面梁 一、 截面的合理形状 ( Stresses in Beams) 目录 矩形截面 方形截面 圆形截面 2 1 1 6W bh 3 2 1 6Wa 3 3 1 32Wd 2 1 32 11 66 1 11 66 b h A h W h Waa A a b h z y z d y a z y 矩形截面比方形截面合理 合理设计截面 ( Stresses in Beams) 目录 3 2 33 1 6 1 32 aW W d 22( ) , 22 d a a d 2 3 1. 18 1WW 因为 方形截面比圆形截面合理 z y 工字形截面比方形截面合理 环形截面比圆形截面合理 ( Stresses in Beams) 6 2bh W Z 左 6 2hb W Z 右 目录 合理放置截面 ( Stresses in Beams) 二、变截面梁（等强度梁） 目录 ( Stresses in Beams) 目录 ( Stresses in Beams) 一、 矩形截面 梁横截面上的切应力 1、两点假设： 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图 b； 在微段上取一块如图 c，平衡 0)(F 1x 1 dxbFF NN dx x Fs(x)+d Fs(x) M(x) y M(x)+d M(x) Fs(x) dx x y z 1 1 图 a 图 b 图 c 7-4 7-5 梁横截面上的切应力 ( Stresses in Beams) dx x Q(x)+d Q(x) M(x) y M(x)+d M(x) Q(x) dx x y z 1 图 a 图 b 图 c z z AzAN I MSAy I MAF dd z z N I SMM )d(F 1 z zs z z bI SF bI S x M d d 1 由切应力互等 z s bI SFy 1)( ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 22 yhbyhb yh AyS cz ( Stresses in Beams) 5.123m a x AF s )4(2 2 2 yhIF z s 矩 Fs 方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h分布为抛物线。 最大 切 应力为平均 切 应力的 1.5倍。 二、其它截面梁 横截面上的切应力 1、研究方法与矩形截面同 ;切应力的计算公式亦为： 其中 Fs为截面剪力； Sz 为 y点以下的面积对中性轴之静矩； z s bI SF 1 ( Stresses in Beams) 2、几种常见截面的最大弯曲切应力 Iz为整个截面对 z轴之惯性矩； b 为 y点处截面宽度。 工字钢截面： max min ; max A Q f 结论： 翼缘部分 max腹板上的 max， 只计算腹板上的 max。 铅垂切应力主要腹板承受（ 9597%），且 max min 故工字钢最大切应力 Af 腹板的面积。 ; max A Fs f ？ 翼缘同腹板相比起什么作用？ ( Stresses in Beams) 圆截面： 3434m a x AQ 薄壁圆环： 22m a x AF s T形截面： Sz z FS Ib b z ( Stresses in Beams) 7-6 梁的切应力强度条件 1、危险面与危险点分析： 一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上 下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中 性轴处。 Q M 一、梁的正应力和切应力强度条件 ( Stresses in Beams) 2、正应力和切应力强度条件： 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上 述相同；还有一个可能危险的点，在 Fs和 M均很大的截面 的腹、翼相交处。（以后讲） z zs Ib SF m a xm a x m a x zW M m a x m a x 3、强度条件应用： 依此强度准则可进行三种强度计算： M Q ( Stresses in Beams) 4、需要校核切应力的几种特殊情况： 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相 应比值时（如腹板较薄而高度偏大时），要校核切应力。 梁的跨度较短， M 较小，而 Q较大时，要校核切应力。 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差， 要校核切应力。 、校核强度： 校核强度 ： 设计截面尺寸： 设计载荷： ; m a xm a x m a x MW z )( ; m a xm a x MfPWM z ( Stresses in Beams) 解： 画内力图求危面内力 例 2 矩形 (bh=0.12m0.18m） 截面 木梁如图， =7MPa， =0. 9 M Pa，试求最大 正应力和最大切应力 之比 , 并校核梁的强度。 N54002 336002m a x qLF s Nm4 0 5 08 33 6 0 08 22 m a x qLM q=3.6kN/m x M + 8 2qL A B L=3m Q 2 qL 2 qL + x ( Stresses in Beams) 求最大应力并校核强度 应力之比 7.1632m a x m a x m a x h L Q A W M z q=3.6kN/m x M + 8 2qL Q 2 qL 2 qL + x 7M P a6.25M P a 18.012.0 405066 22 m a xm a x m a x bh M W M z 0 . 9 M P a0 . 3 7 5 M P a 18.012.0 5 4 0 05.15.1 m a x m a x A F s ( Stresses in Beams) y1 y2 G A1 A2 解： 画弯矩图并求危面内力 例 3 T 字形截面的铸铁梁受力如 图，铸铁的 L=30MPa， y=60 MPa，其截面形心位于 G点， y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明 T字梁怎样放置更合理？ kN5.10;kN5.2 BA RR )(k Nm5.2 下拉、上压CM （上拉、下压）k N m4BM 4 画危面应力分布图，找危险点 P1=9kN 1m 1m 1m P2=4kN A B C D x 2.5kNm -4kNm M ( Stresses in Beams) 校核强度 M P a2.2810763 885.2 822 z C LA I yM M Pa2.27107 6 3 524 813 z B LA I yM M Pa2.46107 6 3 884 824 z B yA I yM LL 2.28m a x yy 2.46m a x T字头在上面合理。 y1 y2 G A1 A2 x 2.5kNm -4kNm M y1 y2 G A3 A4 ( Stresses in Beams) 提高梁强度的主要措施 目录 合理设计截面 北宋李诫于 1100年著 营造法式 一书中指出 : 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 b h R 英 (T.Young)于 1807年著 自然哲学与机械技术讲义 一书中指出 : 矩形木梁的合理高宽比为 刚度最大。时强度最大时 , 3 ;, 2 bhbh