平面向量的背景及其基本概念.ppt

2.1平面向量的实际背景及基本概念 第二章 平面向量 问题提出 1.在物理中，位移与距离是同一个概 念吗？为什么？ 2.现实世界中有各种各样的量，如年 龄、身高、体重、力、速度、面积、体 积、温度等，在数学上，为了正确理解、 区分这些量，我们引进向量的概念 . 探究（一）： 向量的物理背景与概念 思考 1： 在物理中，怎样区分作用于同一 点的两个力？ 力的大小和力的方向 思考 2： 物体受到的重力、物体在液体中 受到的浮力的方向分别如何？受力的大 小分别与哪些因素有关？ G F 思考 3： 在如图所示的弹簧中，被拉长或 压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限 度内，弹力的大小与什么因素有关？ 思考 4： 力既有大小，又有方向，在物理 学中称为 矢量 ，你还能指出哪些物理量 是矢量吗？ 思考 5： 数学中，把既有大小，又有方向 的量叫做 向量 ，把只有大小，没有方向 的量称为 数量 .那么年龄、身高、体重、 面积、体积、温度、时间、路程、数轴 等是向量吗？ 探究（二）： 向量的几何表示 思考 1： 一条小船从 A地出发，向西北方 向航行 15km到达 B地，可以用什么方式表 示小船的位移？ B A 东 北 思考 2： 对于一个实数，可以用数轴上的 点表示；对于一个角的正弦、余弦和正 切，可以用三角函数线表示；对于一个 二次函数，可以用一条抛物线表示 . 数 学中有许多量都可以用几何方式表示， 你认为如何用几何方式表示向量最合适？ 思考 3： 如图，以 A为起点、 B为终点的有 向线段记作 ，一条有向线段由哪几 个基本要素所确定？ AB A（ 起点 ） B（ 终点 ） 思考 4： 用有向线段 表示向量，向量 的大小和方向是如何反映出来的？ AB AB 起点、长度、方向 思考 5： 有向线段 的长度就是指线段 AB的长度，也称为向量 的长度或模， 它表示向量 的大小，记作 | |，两个 不同的向量可以比较大小吗？ AB AB AB AB 思考 6： 如果表示向量的有向线段没有标 注起点和终点字母，向量也可以用黑体 字母 a， b， c， ， 或 表 示，如图 . 此时向量的模怎样表示？ a , , ,abc 思考 7： 向量的模可以为 0吗？可以为 1吗？ 可以为负数吗？ 思考 8： 模为 0的向量叫做 零向量 ，记作 ；模为 1个单位的向量叫做 单位向量 . 怎样理解零向量的方向？怎样理解向 量 ？ | a a 0 例 1 已知飞机从 A地按北偏东 30 方向 飞行 2000km到达 B地，再从 B地按南偏 东 30 方向飞行 2000km到达 C地，再从 C地按西南方向飞行 1000 km到达 D地 . （ 1）画图表示向量； （ 2）求飞机从 A地到达 D地的位移所对 应的向量的模和方向 . ,ABurCD ur B A 东 北 C D 2 例 2 如图，四边形 ABCD为正方形， BCE为等腰直角三角形 .以图中各点为 起点和终点，写出与向量 模相等的 所有向量 . AB A B C D E , , , , , , , ,B A B E E B A D D A B C C B C D D C 探究（一）： 相等向量与相反向量 思考 1： 向量由其模和方向所确定 .对于 两个向量 a、 b，就其模等与不等，方向 同与不同而言，有哪几种可能情形？ 模相等，方向相同； 模相等，方向不相同； 模不相等，方向相同； 模不相等，方向不相同； 思考 2： 两个向量不能比较大小，只有 “相等”与“不相等”的区别，你认为 如何规定两个向量相等？ 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 . 向量 a与 b相等，记作： a=b. 思考 3： 用有向线段表示非零向量 和 ，如果 ，那么 A、 B、 C、 D四点的位置关系有哪几种可能情形？ A B C D AB CD A B C D A B C D 思考 4： 对于非零向量 和 ，如 果 ，通过平移使起点 A与 C重合， 那么终点 B与 D的位置关系如何？ A B C D AB CD 长度相等且方向相反的向量叫做 相反向量 . 思考 5： 非零向量 与 称为相反向 量，一般地，如何定义相反向量？ AB BA D C B A 思考 6： 如果非零向量 与 是相反 向量，通过平移使起点 A与 C重合，那么 终点 B与 D的位置关系如何？ AB CD D C B A 探究（二）： 平行向量与共线向量 思考 1： 如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？ 思考 2： 方向相同或相反 的非零向量叫做 平行向量 ，向量 与 平行记作 ，那 么平行向量所在的直线一定互相平行 吗？ 方向相同或相反 思考 3： 零向量 与向量 平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行 . a b ba / 0 a 思考 4： 将向量平移，不会改变其长度和 方向 .如图，设 a、 b、 c是一组平行向量， 任作一条与向量 a所在直线平行的直线 l， 在 l上任取一点 O，分别 ， ， ，那么点 A、 B、 C的位置 关系如何？ O A a O B b O C c A B C O l a b c 思考 5： 上述分析表明，任一组平行向 量都可以移动到同一直线上，因此，平 行向量也叫做 共线向量 .如果非零向量 与 是共线向量，那么点 A、 B、 C、 D是否一定共线？ AB CD 思考 6： 若向量 与 平行（或共线）， 则向量 与 相等或相反吗？反之，若 向量 与 相等或相反，则向量 与 平行（或共线）吗？ ba ba ba ba 思考 7： 对于向量 a、 b、 c，若 a / b， b / c，那么 a / c吗？ 思考 8： 对于向量 a、 b、 c，若 a =b， b =c，那么 a = c吗？ 例 1 判断下列命题是否正确： （ 1）若两个单位向量共线，则这两个向 量相等； （ ） （ 2）不相等的两个向量一定不共线； （ ） （ 3）在四边形 ABCD中，若向量与共线， 则该四边形是梯形； （ ） （ 4）对于不同三点 O、 A、 B，向量与一 定不共线 . （ ） 理论迁移 例 2 如图，设 O为正六边形 ABCDEF的 中心，分别写出与 、 相等的向量 . OA OB A B C D E F O O A C B D O E F O B D C E O F A 例 3 如图，在 ABC中， D、 E、 F分 别是 AB、 BC、 CA边上的点，已知 求证： . ,A D D B ,D F B E D E A F A B C D E F 小结作业 1.相等向量与相反向量是并列概念，平 行向量与共线向量是同一概念，相等向 量（相反向量）与平行向量是包含概念 . 2.任意两个相等的非零向量，都可用同 一条有向线段表示，并且与有向线段的 起点无关 . 3.向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不同的概念，平行向量 （共线向量）对应的有向线段既可以平 行也可以共线 . 4.平行向量不具有传递性，但非零平行 向量和相等向量都具有传递性 .