平面向量的基本定理及坐标表示.ppt

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 问题提出 t57301p 2 1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算 a？ （ 1） | a|=| |a|； （ 2） 0时， a与 a方向相同； 0时， a与 a方向相反； =0时， a=0. 3.平面向量共线定理是什么？ 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为 G，下滑力为 F1，木块对斜面的压 力为 F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？ G F1 F2 非零向量 a与向量 b共线 存在唯 一实数 ，使 b a. 5.在物理中，力是一个向量，力的合成 就是向量的加法运算 .力也可以分解， 任何一个大小不为零的力，都可以分解 成两个不同方向的分力之和 .将这种力 的分解拓展到向量中来，就会形成一个 新的数学理论 . 探究（一）： 平面向量基本定理 思考 1： 给定平面内任意两个向量 e1， e2， 如何求作向量 3e1 2e2和 e1 2e2？ e1 e2 2e 2 B C O 3e 1 A e1 D 3e1 2e2 e1-2e2 思考 2： 如图，设 OA， OB， OC为三条共 点射线， P为 OC上一点，能否在 OA、 OB 上分别找一点 M、 N，使四边形 OMPN为平 行四边形？ M N O A B C P 思考 3： 在下列两图中，向量 不共线，能否在直线 OA、 OB上分别找一 点 M、 N，使 ？ O A, O B , O C O M O N O C+=u u ur u u ur u u ur O A B C M N O A B C M N 思考 4： 在上图中，设 =e1， =e2， =a，则向量 分别与 e1， e2的 关系如何？从而向量 a与 e1， e2的关系如 何？ OA OB OC O M , O N 1 1 2 2 .a e e O A B C M N O A B C M N 1 1 2 2O M , O N .ee OM=uuur ON=uuur 1 1 2 2 1 1 2 2O M e , O N e , a e e 思考 5： 若上述向量 e1， e2， a都为定向量， 且 e1， e2不共线，则实数 1， 2是否存在？ 是否唯一？ O A B C M N O A B C M N 思考 6： 若向量 a与 e1或 e2共线， a还能用 1e1 2e2表示吗？ e1 a a=1e1+0e2 e2 a a=0e1+2e2 思考 7： 根据上述分析，平面内任一向 量 a都可以由这个平面内两个不共线的 向量 e1， e2表示出来，从而可形成一个 定理 .你能完整地描述这个定理的内容 吗？ 若 e1、 e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. 思考 8： 上述定理称为 平面向量基本定理 ， 不共线向量 e1， e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组 基底 . 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量 a的表示式是否相同？ 若 e1、 e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量 a，有且只有 一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. 探究 (二 ):平面向量的正交分解及坐标表示 0 ， 180 思考 1： 不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量 a和 b，作 a， b， 如图 .为了反映这两个向量的位置关系， 称 AOB为向量 a与 b的 夹角 .你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？ OA OB b a a b A B O 思考 2： 如果向量 a与 b的夹角是 90 ，则 称 向量 a与 b垂直 ，记作 a b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？ b a 思考 3： 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量，叫做把向量 正交分解 .如图，向 量 i、 j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与 i的夹角是 30 ，且 |a|=4，以向量 i、 j为基底，向量 a如何表示？ B a i O j A P 2 3 2a i j 思考 4： 在平面直角坐标系中，分别取与 x轴、 y轴方向相同的两个单位向量 i、 j作为基底， 对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定 理知，有且只有一对实数 x、 y，使得 a xi yj.我们把 有序数对（ x， y）叫做向量 a 的坐标，记作 a (x， y).其中 x叫做 a在 x轴上 的坐标， y叫做 a在 y轴 上的坐标，上式叫做向量 的 坐标表示 .那么 x、 y的 几何意义如何？ a i x y O j x y 思考 5： 相等向量的坐标必然相等，作向 量 a，则 (x， y)，此时点 A是坐 标是什么？ OA OA A a i x y O j A(x,y) 理论迁移 例 1 如图，已知向量 e1、 e2，求作向 量 2.5e1 3e2. e1 e2 C O A 2.5e 1 B 3e2 例 2 如图，写出向量 a， b， c， d的坐标 . 2 4 5 2 a b c d 4 2 5 2 x y O a=(2,3) b=(-2,3) c=(-2,-3) d=(2,-3) AB 例 3 如图，在平行四边形 ABCD中， =a， =b， E、 M分别是 AD、 DC的中 点，点 F在 BC上，且 BC=3BF，以 a， b为 基底分别表示向量 和 . 2AB AC3 AD AM EF A B E D C F M 1 2 AM a b 1 6 E F a b 小结作业 1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点 . 2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0 或 180 ，垂直向量的夹角是 90 . 3.向量的坐标表示是一种向量与坐 标的对应关系，它使得向量具有代数意 义 .将向量的起点平移到坐标原点，则平 移后向量的终点坐标就是向量的坐标 . 作业： P102习题 2.3B组： 3， 4.