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2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义 1、两个非零向量夹角的概念： 已知非零向量 , 作 ，则 AOB （ ）叫做向量 的夹角 . ba , bOBaOA , ba, 2、 : , 可用公式计算 所做的功那么力的作用下产生位移如果一个物体在力 WFsF F S c o s| SFW cosF 引例： 1平面向量数量积的定义： 已知非零向量 ,它们的夹角是 ,则数量 叫做 的数量积，记作 ,即有 ba, c o s| ba ba, c o s| baba ba 规定： 零向量与任何向量的数量积为 0. 注意： 两个向量的 数量积是一个实数 ，不是向量， 符号一般由 cos的符号决定； 又称内积，运 算符号不能省 略，不能用 “ ” 当 为锐角时投影 为正值 当 为直角时 投影为 0 当 为钝角 时投影为负 值 思考： 当 0或 时投影为？ 2.向量数量积的几何意义 投影的概念： | |cos叫做向量 在 方向上的投影 ab b a b B AO c o s baba 数量积的几何意义： .c o s 的乘积的方向上的投影数量在与的长度等于数量积 babaaba cos| b 3两个向量的数量积的性质： 2） 1） 3） cos = | | | ab ab 点积为零是判定两非零 向量垂直的等价条件 用于计算向量的模 用于计算向量的夹角 , 以及判断三角形的形状 0 ( 0 , 0 )a b a b a b 当 a 与 b 同向时， | | . | |a b a b ； 当 a 与 b 反向时， | | . | |a b a b 特别的 2 2|a a a a 2|aa 4） | | | | . | |a b a b 4.数量积的运算律： cba 、 是任意三个向量， R )()()( bababa cbcacba )( abba (1)交换律 (2)数乘结合律 (3)分配律 )()( cbacba bacbca 注意： 题型一：数量积的定义 例 1： 判断正误，并简要说明理由 a0 0； 0a 0； 0 AB BA ab a b； 若 a0，则对任一非零 b有 ab； ab，则 a与 b中至少有一个为 0； 对任意向量 a， b， c都有 （ ab） c a（ bc）； a与 b是两个单位向量，则 a b 例 2： 已知 a， b，当 a b， a b， a与 b的夹角是 60 时，分别求 a b 题型二：数量积的公式的应用 例 3： 对任意向量 ,是否有结论 : (1) (2) ba , 222 2)( bbaaba 22)()( bababa 例 5 ： 已知 |a|=3， |b|=4， 且 a与 b不共线， k 为何值时，向量 a+kb与 a-kb互相垂直 . 例 4： 已知 |a|=6， |b|=4， a与 b的夹角为 60o 求： )3()2( baba |2|, ba
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