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平面向量数量积 的物理背景及其含义 高一数学组 主 讲：蒲东风 三维目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及 其物理意义； 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数 量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关 的运算和判断； 3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、 推理论证的能力。 教学重点： 平面向量的数量积定义 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理 解和平面向量数量积的应用 问题 1: 我们研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？ 活动一：创设问题情景，激发学习兴趣 问题 2: 我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？ 物理模型 概念 性质 运算律 应用 问题 3:如图所示，一物体在力 F的作用下产生位移 S， （） 力 F所做的功 W= 。 （） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量 (各个量是 矢量 还是 标量 ？ ) F S F F S cos 标量 矢量 矢量 活动二 :探究数量积的含义 、概念的抽象 问题 4： 你能用文字语言来表述功的计算公式吗 ? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果 又该如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 定 义 ： 2、数量积的定义 问题： 向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表： c o sbaba - + 0 、研究数量积的几何意义 向量投影的概念 问题： 数量积的几何意义是什么？ 4、研究数量积的物理意义 问题 :功的数学本质是什么 ？ 活动三：探究数量积的运算性质 数量积的性质 _;)1( baba 、 _ _ _ _ _ _ ;)2( baba 同向时，与、当 _ _ _ _ _ _ ; baba 反向时，与当 都是非零向量，则与设向量 ba _ _ _ _ _ ;_ _ _ ; aaa 或特别地， )(_ _)3( 比较二者的大小、 baba ba aa 0 ba - 2a 重点掌握 活动四：探究数量积的运算律 1、运算律的发现 问题 : 我们学过了 实数乘法 的那些运算律？ 这些运算律对向量是否也适用呢？ 2、运算律 已知向量 和实数 ，则： cba , abba )1( bababa ( 2 ) cbcacba ( 3 ) 3、运算律的证明 学生独立证明运算律（ 2） 证明提示： bababa ( 2 ) ）时：（口述是否成立？特别的 的夹角？与的夹角？、与时： 的夹角？与的夹角？、与时：问： 的夹角是与设 0 0 0 baba baba ba 活动五 :应用与提高 于哪种实数运算？并思考此运算过程类似 ，求的夹角为与，、已知 .326046 babababa 例1 22 22 2 )2( 2 ( 1 ) bababa bbaaba ba 是否有以下结论：，对任意向量例2 、 互相垂直？与向量 为何值时，不共线，与，、已知 bkabka kbaba 43 例3 cbcabaa baba 则，若 有则对任一非零向量若 正确，并说明理由、判断下列各命题是否 ,0)2( 0,0)1( 1 的形状。时，试判断或 当中，、已知 A B Cba babACaABA B C 0 0,2 随堂练习 活动六： 课堂小结与作业布置 1、 本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性 质的探究？ 3、在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？ 4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量 积？ 返回 拓展与提高： 已知 与 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角。 a b ba 3 ba 57 ba 4 ba 27 a b 作 业 : 高一数学学案、作业 P54-P56 同学们 , 今天的课就上到这里， 提醒大家：课后别忘了 复习巩固 并 及时完成 作业 ！ 再见 呵 呵 同学们
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