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第二节 随机事件的概率（二） 概率论与数理统计 刘东南 . . )2( ; )1( 古典概型 验称为等可能概型或具有以上两个特点的试 生的可能性相同试验中每个基本事件发 有限个元素试验的样本空间只包含 1. 定义 一、等可能概型 (古典概型 ) 概率论与数理统计 刘东南 设试验 E 的样本空间由 n 个样本点构成 ， A 为 E 的任意一个事件 ， 且包含 m 个样本点 ， 则事 件 A 出现的概率记为 : 2. 古典概型中事件概率的计算公式 .)( 样本点总数所包含样本点的个数AnmAP 称此为概率的古典定义 . 概率论与数理统计 刘东南 3. 古典概型的基本模型 :摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题 1 设袋中有 4 只白球和 2只黑球 , 现从袋中无 放回地依次摸出 2只球 ,求这 2只球都是白球的概率 . 解 ,2 只球都是白球摸得设 A 基本事件总数为 ,2 6 A 所包含 基本事件的个数为 ,2 4 2 6 2 4)( AP故 .52 概率论与数理统计 刘东南 (2) 有放回地摸球 问题 2 设袋中有 4只红球和 6只黑球 ,现从袋中有放 回地摸球 3次 ,求前 2次摸到 黑球 、 第 3次摸到红球 的概率 . 解 3,2 次摸到红球第次摸到黑球前设 A 第 1次摸球 10种 第 2次摸球 种第 3 种 6种 第 1次摸到黑球 种第 2次摸到黑球4种 第 3次摸到红球 概率论与数理统计 刘东南 基本事件总数为 ,10101010 3 A 所包含 基本事件的个数为 ,466 310 466)( AP故 .144.0 课堂练习 1o 电话号码问题 在 7位数的电话号码中 ,第一位 不能为 0，求数字 0出现 3次的概率 . 2o 骰子问题 掷 3颗均匀骰子 ,求点数之和为 4的 概率 . )109913619:( 633 p答案 )63:( 3p答案 概率论与数理统计 刘东南 4.古典概型的基本模型 :球放入杯子模型 (1)杯子容量无限 问题 1 把 4 个球放到 3个杯子中去 ,求第 1、 2个 杯子中各有两个球的概率 , 其中假设每个杯子可 放任意多个球 . 3 3 3 3 4个球放到 3个杯子的所有放法 ,33333 4 种 概率论与数理统计 刘东南 个2 种 2 4 个2 种 2 2 因此第 1、 2个杯子中各有两个球的概率为 43 2 2 2 4 p . 27 2 概率论与数理统计 刘东南 (2) 每个杯子只能放一个球 问题 2 把 4个球放到 10个杯子中去 ,每个杯子只能 放一个球 , 求第 1 至第 4个杯子各放一个球的概率 . 解 第 1至第 4个杯子各放一个球的概率为 4 10 4 4 p pp 78910 1234 .2101 概率论与数理统计 刘东南 2o 生日问题 某班有 20个学生都 是同一年出生的 ,求有 10个学生生 日是 1月 1日 ,另外 10个学生生日是 12月 31日的概率 . )92:(答案 )36 510101020:( 20 p答案 课堂练习 1o 分房问题 将张三、李四、王五 3人等可能地 分配到 3 间房中去 ,试求每个房间恰有 1人的概率 . 概率论与数理统计 刘东南 解 ., TTTTTHTH TH TTTH HH THHHTHHHS 则 .,1 TTHT H TH T TA 而 .83)( 1 AP得 .,)2( 2 TTHT H TH T TT H HH T HH H TH H HA .87)( 2 AP因此 ).(, )2().(, )1(. 2 21 1 AP AAP A 求次出现正面” “至少有一为设事件求”次出现正面 为“恰有一设事件将一枚硬币抛掷三次 ., )1( 为出现反面为出现正面设 TH 二、典型例题 1例 概率论与数理统计 刘东南 在 N 件产品中抽取 n件 ,其中恰有 k 件次品的取法 共有 ,种 kn DN k D 于是所求的概率为 . n N kn DN k Dp 解 在 N件产品中抽取 n件的所有可能取法共有 ,种 n N ?)(, , 件次品的概率是多少问其中恰有件 今从中任取件次品其中有件产品设有 Dkkn DN 2例 概率论与数理统计 刘东南 例 3 在 12000的整数中随机地取一个数 ,问取到 的整数既不能被 6整除 , 又不能被 8整除的概率是 多少 ? 设 A 为事件“取到的数能被 6整除” ,B为事件 “取到的数能被 8整除”，则所求概率为 ).( BAP )()( BAPBAP )(1 BP ) .()()(1 ABPBPAP 解 ,3 3 462 0 0 03 3 3 因为 ,2000333)( AP所以 概率论与数理统计 刘东南 ,84242 0 0 083 由于 .2 0 0 083)( ABP得 于是所求概率为 )( BAP 20 008320 0025 020 0033 31 )()()(1 ABPBPAP .43 .2 0 0 02 5 0)( BP故得 ,2 5 082 0 0 0 由于 概率论与数理统计 刘东南 例 4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去 ,这 15名新生中有 3名是优秀生 .问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少 ? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少 ? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数 : 5 5 5 10 5 15 . !5!5!5 !15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有 .)!4!4!4()!12!3( 种 概率论与数理统计 刘东南 因此所求概率为 !5!5!5 !15 !4!4!4 !12!3 1 p . 91 25 (2)将 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 3种 , 对于每一种分法 ,其余 12名新生的分法有 .!5!5!2 !12 种 因此 3名优秀生分配在同一个班级的分法共有 ,)!5!5!2()!123( 种 因此所求概率为 !5!5!5 !15 !5!5!2 !123 2 p . 91 6 概率论与数理统计 刘东南 例 5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访 ,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的 ,问是 否可以推断接待时间是有规定的 . 假设接待站的接待时间没有 规定 ,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的 . 解 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 .712种 1 2 3 4 12 7 7 7 7 7 故一周内接待 12 次来访共有 概率论与数理统计 刘东南 .212种 12 12 7 2p .30 0 00 0 0.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的 . 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 1 2 3 4 12 2 2 2 2 12 次接待都是在周二和周四进行的共有 故 12 次接待都是在周二和周四进行的概率为 概率论与数理统计 刘东南 例 6 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有 2人生日相同的概率 . 64 个人生日各不相同的概率为 .3 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 5 641 p 故 64 个人中至少有 2人生日相同的概率为 643 6 5 )1643 6 5( 3 6 43 6 51 p .997.0 解 概率论与数理统计 刘东南 率为 概他们的生日各不相同的个人随机选取 ,)365( n .3 6 5 )13 6 5(3 6 43 6 5 n np 日相同的概率为个人中至少有两个人生而 n .365 )1365(3643651 n np 说明 概率论与数理统计 刘东南 我们利用软件包进行数值计算 . 概率论与数理统计 刘东南 定义 当随机试验的样本空间是某个区域 ， 并且 任意一点落在度量 (长度 、 面积 、 体积 ) 相同的 子区域是等可能的 ， 则事件 A 的概率可定义为 .)( SSAP A 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时 , 就归结为几何概型 . 三、几何概型 . .) ,( 几何概型定的概率称为 量来合理规这样借助于几何上的度区域的度量 的子是构成事件是样本空间的度量其中 ASS A 概率论与数理统计 刘东南 那么 .0,0 TyTx 两人会面的充要条件为 ,tyx 例 7 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内 , 在预 定地点会面 . 先到的人等候另一个人 , 经过时间 t ( t0)的一些平行直 线 ,现向此平面任意投掷一根长为 b( ba )的针 ,试求 针与某一平行直线相交的概率 . 解 , , 直线的距离 到最近的一条平行针的中点 表示针投到平面上时以 M x a x M .夹角表示针与该平行直线的 .),( 完全确定置可由那么针落在平面上的位 x 蒲丰资料 概率论与数理统计 刘东南 a x M矩形区域 果与投针试验的所有可能结 0,20),( axxS .中的所有点一一对应 由投掷的任意性可知 , 这是一个几何概型问题 . 中的点满足发生的充分必要条件为 针与某一平行直线相交 所关心的事件 S A .0,s i n20 bx o 概率论与数理统计 刘东南 的面积 的面积 S G S GAP )( )()( 2 ds i n 2 0 a b . 2 2 a b a b o 概率论与数理统计 刘东南 蒲丰投针试验的应用及意义 2)( a bAP 那么的近似值代入上式作为 即可则频率值的次数测出针与平行直线相交 很大时当投针试验次数根据频率的稳定性 ,)( , , AP n m m n 2 a b n m .2 am bn . 的近似值利用上式可计算圆周率 概率论与数理统计 刘东南 历史上一些学者的计算结果 (直线距离 a=1) 3.1795 859 2520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1808 3408 0.83 1901 Lazzerini 3.1595 489 1030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan 3.1554 1218 3204 0.6 1855 Smith 3.1596 2532 5000 0.8 1850 Wolf 相交次数 投掷次数 针长 时间 试验者 的近似值 概率论与数理统计 刘东南 利用 蒙特卡罗 (Monte Carlo)法 进行计算机模拟 . .85.0,1 ba取 单击图形播放 /暂停 ESC键退出 概率论与数理统计 刘东南 最简单的随机现象 古典概型 古典概率 样本点总数 所包含样本点的个数A n mAP )( 几何概型 试验结果 连续无穷 四、小结