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（ 04浙江 ） 盒子中有大小相同的球 10个 ， 其中标 号为 1的球 3个 ， 标号为 2的球 4个 ， 标号为 5的球 3 个 ， 第一次从盒子中任取 1个球 ， 放回后第二次再 任取 1个球 （ 假设取到每个球的可能性都相同 ） .记 第一次与第二次取到球的标号之和为 . （ ） 求随机变量 的分布列； （ ） 求随机变量的期望 . 解 : () 由题意可得 ,随机变量的取值是 2、 3、 4、 6、 7、 10. 随机变量的概率分布列如下 随机变量 的数学期望 =2 0.09+3 0.24+4 0.16+6 0.18+7 0.24+ 10 0.09=5.2. 2 3 4 6 7 10 P 0.09 0.24 0.16 0.18 0.24 0.09 （ 04全国理） 19（本小题满分 12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个 问题 .竞赛规则规定：每题回答正确得 100分， 回答不正确得 100分 .假设这名同学每题回 答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否 相互之间没有影响 . （ ）求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望； （ ）求这名同学总得分不为负分（即 0） 的概率 . 解：（ ） 的可能值为 300， 100， 100， 300. P（ = 300） =0.23=0.008, P（ = 100） =3 0.22 0.8=0.096, P（ =100） =3 0.2 0.82=0.384, P（ =300） =0.83=0.512, 所以 的概率分布为 300 100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数 学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实 际问题的能力 .满分 12分 . 根据 的概率分布，可得 的期望 E =（ 300） 0.08+（ 100） 0.096+100 0.384+300 0.512=180. （ ）这名同学总得分不为负分的概率为 P（ 0） =0.384+0.512=0.896. （ 04全国理） 13从装有 3个红球， 2 个白球的袋中随机取出 2个球，设其中 有 个红球，则随机变量 的概率分布为 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 (04全国理） 18（本小题满分 12分） 已知 8支球队中有 3支弱队，以抽签方 式将这 8支球队分为 A、 B两组，每组 4支 . 求：（ ） A、 B两组中有一组恰有两支弱 队的概率； （ ） A组中至少有两支弱队的概率 . （ ）解法一：三支弱队在同一组的概率为 故有一组恰有两支弱队的概率为 . 7 1 4 8 1 5 4 8 1 5 C C C C . 7 6 7 1 1 解法二： A、 B两组有一组至少有两支弱队的概 率为 1，由于对 A组和 B组来说，至少有两支弱队 的概率是相同的，所以 A组中至少有两支弱队的 概率为 . 2 1 . 7 6 4 8 2 5 2 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC 解法二：有一组恰有两支弱队的概率 2 1 4 8 1 5 3 3 4 8 2 5 2 3 C CC C CC （ ）解法一： A组中至少有两支弱队的概率 （ 04福建 ） 甲 、 乙两人参加一次英语口语考试 ， 已知在备选的 10道试题中 ， 甲能答对其中的 6题 ， 乙能答对其中的 8题 .规定每次考试都从备选题中 随机抽出 3题进行测试 ， 至少答对 2题才算合格 . （ ） 求甲答对试题数 的概率分布及数学期望； （ ） 求甲 、 乙两人至少有一人考试合格的概 率 . .本小题主要考查概率统计的基础知识 ， 运用数学知识解决问题 的能力 .满分 12分 . 解： （ ） 依题意 ， 甲答对试题数 的概率分布如下 0 1 2 3 P 甲答对试题数 的数学期望 E=0 +1 +2 +3 = （ ） 设甲 、 乙两人考试合格的事件分别为 A、 B， 则 30 1 10 3 6 1 2 1 5 9 P(A)= = = ， P(B)= = = . 因为事件 A、 B相互独立 ， 方法一： 甲 、 乙两人考试均不合格的概率为 P( )=P( )P( )=( 1 )(1 )=. 甲 、 乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1 P( )=1 = . 答：甲 、 乙两人至少有一人考试合格的概率为 . 3 10 3 6 1 4 2 6 C CCC 120 2060 3 10 3 8 1 2 2 8 C CCC 1205656 3 2 15 14 BA A B 3 2 15 14 45 1 BA 451 45 44 45 44 方法二： 甲 、 乙两人至少有一个考试合格的概率 为 P=P(A )+P( B)+P(AB)=P(A)P( )+ P( )P(B)+P(A)P(B) = + + = . 答：甲 、 乙两人至少有一人考试合格的概 率为 . B BA A 3 2 15 1 3 1 15 14 3 2 1514 45 44 45 44 （ 天津 ） 从 4名男生和 2名女生中任选 3人参加演 讲比赛 ， 设随机变量 表示所选 3人中女生的人 数 . （ 1） 求 的分布列； （ 2） 求 的数学期望； （ 3） 求 “ 所选 3人中女生人数 ” 的概率 . 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望 等概念 ， 考查运用概率知识解决实际问题的能 力 .满分 12分 . （ 1） 解： 可能取的值为 0， 1， 2。 所以 ， 的分布列为 2,1,0,)( 3 6 3 42 kC CCkP kk 5 1 0 1 2 P 5 1 5 3 （ 2）解：由（ 1）， 的数学期望为 E=1 （ 3）解：由（ 1），“所选 3人中女生人数 1”的概率为 P(1)=P( =0)+P(=1)= 5 4 （ 04湖南） 5某公司甲、乙、丙、丁四个地区分 别有 150 个、 120个、 180个、 150个销售点。公司 为了调查产品销售的情况，需从这 600个销售点中 抽取一个容量为 100的样本，记这项调查为；在 丙地区中有 20个特大型销售点，要从中抽取 7个调 查其收入和售后服务等情况，记这项调查为。 则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次 是 （ ） A分层抽样法，系统抽样法 B分层抽样 法，简单随机抽样法 C系统抽样法，分层抽样法 D简单随机 抽样法，分层抽样法 B (04湖南） 18（本小题满分 12分） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种 零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙 机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机 床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件 不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加 工的零件都是一等品的概率为 . （ ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工 零件是一等品的概率； （ ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个 检验，求至少有一个一等品的概率 . 9 2 4 1 12 1 18解：（ ）设 A、 B、 C分别为甲、乙、 丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件 . 由题设条件有 由、 得 代入得 27P(C)2 51P(C)+22=0. 解得 （舍去） . . 9 2 )()( , 12 1 )(1()( , 4 1 )(1()( . 9 2 )( , 12 1 )( , 4 1 )( CPAP CPBP BPAP CAP CBP BAP 即 )(891)( CPBP 9 11 3 2)( 或CP 将 分别代入 、 可得 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等 品的概率分别是 （ ）记 D为从甲、乙、丙加工的零件中各 取一个检验，至少有一个一等品的事件， 则 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验， 至少有一个一等品的概率为 3 2)( CP .41)(,31)( BPAP . 3 2, 4 1, 3 1 .653143321)(1)(1)(1(1)(1)( CPBPAPDPDP . 6 5 21（本小题满分 12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况 下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失 . 现有甲、乙两种相互独立的预防 措施可供采用 . 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为 45万元和 30万元，采用相应预 防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独 采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少 . （总费用 =采取预防措施的费用 +发生突发事 件损失的期望值 .） 21本小题考查概率的基本知识和数学期望概念 及应用概率知识解决实际问题的能力，满分 12分 . 解：不采取预防措施时，总费用即损失期 望为 400 0.3=120（万元）； 若单独采取措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为 1 0.9=0.1，损失期望值为 400 0.1=40（万元）， 所以总费用为 45+40=85（万元） 若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为 1 0.85=0.15，损 失期望值为 400 0.15=60（万元），所以总费用 为 30+60=90（万元）； 若联合采取甲、乙两种预防措施，则预 防措施费用为 45+30=75（万元），发生突 发事件的概率为（ 1 0.9）（ 1 0.85） =0.015，损失期望值为 400 0.015=6（万 元），所以总费用为 75+6=81（万元） . 综合、，比较其总费用可知， 应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可 使总费用最少 . 13设随机变量 的概率分布为 akaakP k 则为常数 ,2,1, 5 )( 04湖北 4 (04天津） 13 某工厂生产 A、 B、 C三种不 同型号的产品，产品数量之比依次为，现用 分层抽样方法抽出一个容量为 n的样本，样本 中 A种型号产品有 16件 .那么此样本的容量 n= . 80 （ 04重庆） 18（本小题满分 12分） 设一汽车在前进途中要经过 4个路口，汽车 在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率 为 ，遇到红灯（禁止通行）的概率为 。 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止 前进， 表示停车时已经通过的路口数，求： （ 1） 的概率的分布列及期望 E ; (2 ) 停车时最多已通过 3个路口的概率。 3 4 1 4 解：（ I） 的所有可能值为 0， 1， 2， 3， 4 用 AK表示“汽车通过第 k个路口时不停 （遇绿灯）”， 则 P（ AK)= 独立 . 故 4321 ,),4,3,2,1(4 3 AAAAk 且 ,41)()0( 1 APP 256 81 ) 4 3 ()()4( , 256 27 4 1 ) 4 3 ()()3( , 64 9 4 1 ) 4 3 ()()2( 16 3 4 1 4 3 )()1( 4 4321 3 4321 2 321 21 AAAAPP AAAAPP AAAPP AAPP 从而有分布列： 0 1 2 3 4 P （ II） 答：停车时最多已通过 3个路口的概率 为 . 4 1 16 3 64 9 25627 256 81 256 525 256 814 256 273 64 92 16 31 4 10 E 256 175 256 811)4(1)3( PP 9粒种子分种在 3个坑内，每坑 3粒，每粒种子 发芽的概率为 0.5，若一个坑内至少有 1粒种子 发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种 子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑 至多补种一次，每补种 1个坑需 10元，用 表示 补种费用，写出 的分布列并求 的数学期望。 （精确到 0.01） 5.0 ， 01.0 ） 05全国 1卷 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往 经验，单局比赛甲队胜乙队的概率 为 0.6 .本场比赛采用五局三胜制 .即先胜三 局的队获胜，比赛结束 .设各局比赛相互 之间没有影响 .令 为本场比赛的局数， 求 的概率分布和数学期望 .（精确到 0.0001） 05全国 2卷 按规定某车站每到 8： 009： 00， 9： 0010： 00都恰好 有一辆客车到站，每天到站时刻是随机的，且各车到 站的时间相互独立，其概率为 一旅客 8： 20到站，求： （ 1）该旅客候车时间 的分布列 （ 2） 该旅客候车时间 的数学期望 到站 时刻 8： 10 8： 30 8： 50 9： 10 9： 30 9： 50 概率 5 2 5 1 5 2 51 52 5 2 解 （ 1）若该旅客乘 9： 10的车，意味着这趟车 8： 10 开车了，他候车的时间 =50分钟，对应的概率 P(=50) 为“第一趟车 8： 10开，即两件事同时发生的概率” P(=50)= = 同理可得 P(=10)= P(=30)= P(=70)= = P(=90)= 略 E=30.8 5 1 5 1 25 1 5 2 5 2 5 1 5 2 25 2 25 2 袋中有 4红 6白共 10个球，从中每次抽取 1个球，抽 后不放回，抽出红球就停止，否则继续抽取，但 最多抽取 3次，则抽取次数的数学期望为（ ） A 2 B C D 15 29 30 43 2 3 B
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