3.1变化率ppt课件

第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率【知识提炼知识提炼】1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率(1)(1)自变量的改变量为自变量的改变量为_，记作，记作x.x.(2)(2)函数值的改变量为函数值的改变量为_，记作，记作y.y.(3)(3)平均变化率表示为平均变化率表示为x x2 2-x-x1 1f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)y_.x2121f xf xxx(4)(4)平均变化率的意义：刻画函数值在区间平均变化率的意义：刻画函数值在区间xx1 1，x x2 2 上上_._.变化的快慢变化的快慢2.2.瞬时变化率瞬时变化率对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，在自变量，在自变量x x从从x x0 0变到变到x x1 1的过程中的过程中(1)(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为函数值的改变量与自变量的改变量的比值为_，记作：，记作：_._.(2)(2)在在x x0 0点的瞬时变化率：当点的瞬时变化率：当xx趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率趋于函数在趋于函数在x x0 0点的点的_._.平均平均变化率变化率瞬时变化率瞬时变化率100010f xf xf(xx)f xyxxxx【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题：思考下列问题：(1)(1)在平均变化率的定义中，自变量在平均变化率的定义中，自变量x x在在x x0 0处的改变量处的改变量xx是否可以为任意实数，是否可以为任意实数，yy呢？呢？提示：在平均变化率的定义中，改变量提示：在平均变化率的定义中，改变量x x可正、可负，但不能等于可正、可负，但不能等于0 0；而；而y y可以为可以为任意实数任意实数.(2)(2)匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等吗？匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等吗？提示：因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为提示：因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为0 0，所以匀速直线运动的瞬时速度与平，所以匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等均速度相等.2.2.若函数若函数y=f(x)=2xy=f(x)=2x2 2-1-1的图像上一点的图像上一点(1(1，1)1)及邻近一及邻近一点点(1+x(1+x，1+y)1+y)，则，则 等于等于()A.4A.4B.4xB.4xC.4+2xC.4+2xD.4+2(x)D.4+2(x)2 2【解析解析】选选C.C.因为因为y=f(1+y=f(1+x)-f(1)x)-f(1)=2(1+=2(1+x)x)2 2-1-2+1=4-1-2+1=4x+2x+2x x2 2，所以，所以 =4+2=4+2x.x.yxyx3.3.一物体的运动方程为一物体的运动方程为s=7ts=7t2 2+8+8，则其在，则其在t=_t=_时时的瞬时速度为的瞬时速度为1.1.【解析解析】当当 (7t+14t(7t+14t0 0)=1)=1时，时，t=tt=t0 0=.=.答案：答案：220007(tt)87t8s7 t14ttt ，114t0lim 1144.4.已知函数已知函数y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1+1，当，当x=2x=2，x=0.1x=0.1时，时，yy的值为的值为_._.【解析解析】y=f(x+y=f(x+x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)x)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)=(2.1)2 2+1-5=0.41.+1-5=0.41.答案：答案：0.410.415.5.函数函数y=f(x)=y=f(x)=在在x=1x=1处的瞬时变化率为处的瞬时变化率为_._.【解析解析】因为因为y=f(1+y=f(1+x)-f(1)=x)-f(1)=所以所以 ，所以当，所以当x x趋近于趋近于0 0时，时，趋近于趋近于-1.-1.故函数故函数f(x)f(x)在在x=1x=1处的瞬时变化率为处的瞬时变化率为-1.-1.答案：答案：-1-11x11x1x11x，y1x1x yx知识点知识点1 1函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：函数平均变化率中的两个改变量是什么？：函数平均变化率中的两个改变量是什么？问题问题2 2：函数的平均变化率的实际意义如何体会？：函数的平均变化率的实际意义如何体会？【总结提升总结提升】对平均变化率的几点说明对平均变化率的几点说明(1)(1)函数函数f(x)f(x)在在x x1 1处有定义处有定义.(2)x(2)x是变量是变量x x2 2在在x x1 1处的改变量，且处的改变量，且x x2 2是是x x1 1附近的任意一点，即附近的任意一点，即x=xx=x2 2-x-x1 100，但，但xx可以为正，也可以为负可以为正，也可以为负.(3)(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若注意自变量与函数值的对应关系，公式中若x=xx=x2 2-x-x1 1，则，则y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1)；若；若x=xx=x1 1-x-x2 2，则，则y=f(xy=f(x1 1)-f(x)-f(x2 2).).(4)(4)平均变化率的几何意义就是函数平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)y=f(x)图像上两点图像上两点P P1 1(x(x1 1，f(xf(x1 1)，P P2 2(x(x2 2，f(xf(x2 2)所在直线的斜率所在直线的斜率.(5)(5)平均变化率的物理意义是把位移平均变化率的物理意义是把位移s s看成时间看成时间t t的函数的函数s=s(t)s=s(t)，在时间段，在时间段tt1 1，t t2 2 上的平均速度，即上的平均速度，即 2121s(t)s(t)sv.ttt(1)(1)在公式在公式 中，当中，当x x1 1取定值，取定值，xx取不同的数值时，函数的平均变化率是不取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当同的；当xx取定值，取定值，x x1 1取不同的数值时，函数的平均取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的变化率也是不同的.特别地，当函数特别地，当函数f(x)f(x)为常数函数为常数函数时，时，y=0y=0，则，则211121f xf xf(xx)f xyxxxxy0.x(2)y=f(x)(2)y=f(x)在区间在区间xx1 1，x x2 2 上的平均变化率是曲线上的平均变化率是曲线y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx1 1，x x2 2 上陡峭程度上陡峭程度的的“数量化数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化视觉化”.知识点知识点2 2函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题：问题问题1 1：平均变化率与瞬时变化率有什么联系？：平均变化率与瞬时变化率有什么联系？问题问题2 2：xx趋近于趋近于0 0的含义是什么？的含义是什么？【总结提升总结提升】对瞬时变化率的两点说明对瞬时变化率的两点说明(1)(1)平均变化率与瞬时变化率的关系：平均变化率与瞬时变化率的关系：区别：平均变化率刻画函数值在区间区别：平均变化率刻画函数值在区间xx1 1，x x2 2 上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在值在x x0 0点处变化的快慢；点处变化的快慢；联系：当联系：当xx趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率 趋于一个常趋于一个常数，这个常数即为函数在数，这个常数即为函数在x x0 0处的瞬时变化率，它是一处的瞬时变化率，它是一个固定值个固定值.(2)(2)“xx无限趋近于无限趋近于0 0”的含义：的含义：xx趋于趋于0 0的距离要多近有多近，即的距离要多近有多近，即|x-0|x-0|可以小于给可以小于给定的任意小的正数，且始终定的任意小的正数，且始终x0.x0.yx对瞬时速度的两点说明对瞬时速度的两点说明(1)(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.(2)(2)当当tt在变化中趋近于在变化中趋近于0 0时，比值时，比值 趋近于一个确趋近于一个确定的常数，此常数称为定的常数，此常数称为t t0 0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.st【题型探究题型探究】类型一求函数的平均变化率类型一求函数的平均变化率【典例典例】1.1.一物体的运动方程是一物体的运动方程是s=3+2ts=3+2t，则在，则在22，2.12.1这段时间内的平均速度是这段时间内的平均速度是()A.0.4A.0.4B.2B.2C.0.3C.0.3D.0.2D.0.22.2.求函数求函数y=f(x)=xy=f(x)=x2 2在在x=1x=1，2 2，3 3附近的平均变化率，附近的平均变化率，取取xx都为都为 ，哪一点附近的平均变化率最大？，哪一点附近的平均变化率最大？13【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中位移与时间的改变量分别是什么？中位移与时间的改变量分别是什么？提示：位移的改变量是提示：位移的改变量是s=(3+2s=(3+22.1)-(3+22.1)-(3+22)2)=0.2=0.2，时间的改变量是，时间的改变量是t=2.1-2=0.1.t=2.1-2=0.1.2.2.典例典例2 2中，函数值的改变量中，函数值的改变量yy的表达式是什么？的表达式是什么？提示：提示：y y的表达式是的表达式是f(xf(x0 0+x)-f(xx)-f(x0 0)【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为s=(3+2s=(3+22.1)-(3+22.1)-(3+22)=0.22)=0.2，t=2.1-2=0.1t=2.1-2=0.1，所以所以 =2.=2.s0.2t0.12.2.在在x=1x=1附近的平均变化率为附近的平均变化率为k k1 1=2+x=2+x；在在x=2x=2附近的平均变化率为附近的平均变化率为k k2 2=4+x=4+x；在在x=3x=3附近的平均变化率为附近的平均变化率为k k3 3=6+x.=6+x.2f(1x)f 1(1x)1xx 22f(2x)f 2(2x)2xx 22f(3x)f 3(3x)3xx当当x=x=时，时，由于由于k k1 1kk2 2kvv乙乙B.vB.v甲甲vv乙乙C.vC.v甲甲=v=v乙乙D.D.大小关系不确定大小关系不确定【解析解析】选选B.B.设直线设直线ACAC，BCBC的斜率分别为的斜率分别为k kACAC，k kBCBC，由平均变化率的几何意义知，由平均变化率的几何意义知，s s1 1(t)(t)在在00，t t0 0 上的平均变化率上的平均变化率v v甲甲=k=kACAC，s s2 2(t)(t)在在00，t t0 0 上的平均变化率上的平均变化率v v乙乙=k=kBCBC.因为因为k kACACkkBCBC，所以，所以v v甲甲v0)0)竖直上抛的物体，竖直上抛的物体，t t秒时的秒时的高度高度s s与与t t的函数关系为的函数关系为s=vs=v0 0t-gtt-gt2 2，求物体在时刻，求物体在时刻t t0 0处的瞬时速度处的瞬时速度.12【解题探究解题探究】运动物体的瞬时速度与平均速度间的关系是什么？运动物体的瞬时速度与平均速度间的关系是什么？提示：运动物体在某一时刻的瞬时速度是该物体在这一时刻的平均速度在时间趋近提示：运动物体在某一时刻的瞬时速度是该物体在这一时刻的平均速度在时间趋近于于0 0的固定值的固定值.【解析解析】因为因为s=vs=v0 0(t(t0 0+t)-g(t+t)-g(t0 0+t)+t)2 2-=(v=(v0 0-gt-gt0 0)t-g(t)t-g(t)2 2，所以所以 =v=v0 0-gt-gt0 0-gt.-gt.当当tt趋于趋于0 0时，时，趋于趋于v v0 0-gt-gt0 0，故物体在时刻，故物体在时刻t t0 0处的处的瞬时速度为瞬时速度为v v0 0-gt-gt0 0.121220 001(v tgt)212stst【延伸探究延伸探究】1.1.求物体在时刻求物体在时刻t t0 0到到t t0 0+t+t间的平均速度间的平均速度.【解析解析】因为因为s=vs=v0 0(t(t0 0+t)-g(t+t)-g(t0 0+t)+t)2 2-=(v=(v0 0-gt-gt0 0)t-g(t)t-g(t)2 2，所以所以 =v=v0 0-gt-gt0 0-gt.-gt.121220 001(v tgt)212svt2.2.若将条件中的若将条件中的“v v0 0”改为改为“v v0 0=30m/s=30m/s”，求物体在，求物体在t=4st=4s时的瞬时速度时的瞬时速度.【解析解析】因为因为s=30(4+t)-g(4+t)s=30(4+t)-g(4+t)2 2-=(30-4g)t-g(t)=(30-4g)t-g(t)2 2，所以所以 =30-4g-gt.=30-4g-gt.当当tt趋于趋于0 0时，时，趋于趋于30-4g30-4g，故物体在时刻，故物体在时刻t=4st=4s时的时的瞬时速度为瞬时速度为30-4g.30-4g.1221(30 4g4)21212stst【方法技巧方法技巧】1.1.求瞬时速度的步骤求瞬时速度的步骤(1)(1)求位移改变量求位移改变量s=s(ts=s(t0 0+t)-s(t+t)-s(t0 0)；(2)(2)求平均速度求平均速度v=v=；(3)(3)当当tt趋于趋于0 0时，平均速度时，平均速度 趋于瞬时速度趋于瞬时速度.stst2.2.求当求当xx无限趋近于无限趋近于0 0时时 的值的技巧的值的技巧(1)(1)在表达式中，可把在表达式中，可把xx作为一个数来参加运算作为一个数来参加运算.(2)(2)求出求出 的表达式后，的表达式后，xx无限趋近于无限趋近于0 0就是令就是令x=0 x=0，求出结果即可，求出结果即可.yxyx【补偿训练补偿训练】一辆汽车按规律一辆汽车按规律s=2ts=2t2 2+3+3做直线运动，求这辆车在做直线运动，求这辆车在t=2t=2时的瞬时速时的瞬时速度度.(.(时间单位：时间单位：s s，位移单位：，位移单位：m)m)【解析解析】设这辆车在设这辆车在t=2t=2附近的时间改变量为附近的时间改变量为tt，则位移的改变量则位移的改变量s=2(2+t)s=2(2+t)2 2+3-(2+3-(22 22 2+3)+3)=8t+2(t)=8t+2(t)2 2，则则 =8+2t.=8+2t.当当tt趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率 趋于趋于8.8.所以，这辆车在所以，这辆车在t=2t=2时的瞬时速度为时的瞬时速度为8m/s.8m/s.stst【延伸探究延伸探究】1.1.条件不变，求条件不变，求t=0t=0时的瞬时速度时的瞬时速度.【解析解析】设这辆汽车在设这辆汽车在t=0t=0附近的时间改变量为附近的时间改变量为tt，则位移的改变量则位移的改变量s=2(0+t)s=2(0+t)2 2+3-(2+3-(20 02 2+3)+3)=2(t)=2(t)2 2，所以所以 =2t.=2t.当当tt趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率 趋于趋于0.0.所以，这辆车在所以，这辆车在t=0t=0时的瞬时速度为时的瞬时速度为0.0.stst2.2.问汽车在哪一时刻的瞬时速度为问汽车在哪一时刻的瞬时速度为24m/s24m/s？【解析解析】设物体在设物体在x x0 0s s时的瞬时速度为时的瞬时速度为24m/s24m/s，则则s=2(xs=2(x0 0+t)+t)2 2+3-(2 +3)=4x+3-(2 +3)=4x0 0t+2(t)t+2(t)2 2，由由 =4x=4x0 0+2t+2t，当当tt趋于趋于0 0时，平均变化率为时，平均变化率为4x4x0 0=24=24，解得，解得x x0 0=6.=6.所以这辆车在所以这辆车在6s6s时的瞬时速度为时的瞬时速度为24m/s.24m/s.20 xst自我纠错求解函数的平均变化率问题自我纠错求解函数的平均变化率问题【典例典例】函数函数y=2xy=2x2 2+3x+3x在在11，22内的平均变化率为内的平均变化率为_._.【失误案例失误案例】分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案分析解题过程，找出错误之处，并写出正确答案.提示：错误的根本原因是对平均变化率的理解不透彻而致自变量的改变量提示：错误的根本原因是对平均变化率的理解不透彻而致自变量的改变量x x求错，求错，实际上本题实际上本题x=2-1=1.x=2-1=1.正确解答过程如下：正确解答过程如下：【解析解析】当当x=1x=1时，时，y=5y=5；当；当x=2x=2时，时，y=14.y=14.所以自变量的改变量所以自变量的改变量x=2-1x=2-1，函数值的改变量函数值的改变量y=14-5=9.y=14-5=9.故故所以函数所以函数y=2xy=2x2 2+3x+3x在在11，22内的平均变化率为内的平均变化率为9.9.答案：答案：9 9y99.x1