第一章质点运动学

目目 录录第一章第一章质质 点点 运运 动动 学学目目 录录1.1.1 力学的研究对象力学的研究对象1、机械运动、机械运动 宏观物体之间宏观物体之间(或物体内各部分之间或物体内各部分之间)的相的相对位置运动。对位置运动。2、力学分类、力学分类运动学运动学：仅描述运动，不涉及运动原因。：仅描述运动，不涉及运动原因。动力学动力学：研究物体的运动与物体间相互作：研究物体的运动与物体间相互作 用的内在联系。用的内在联系。静力学静力学：研究物体在相互作用下的平衡问：研究物体在相互作用下的平衡问 题。题。目目 录录1.1.2 质点质点 Partical 几何线度趋于无限小的物体。几何线度趋于无限小的物体。任何物体可看成一大群质点的集合任何物体可看成一大群质点的集合。可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况：、物体不变形，不作转动时、物体不变形，不作转动时（此时物体上（此时物体上各点的速度及加速度都相同，物体上任一点各点的速度及加速度都相同，物体上任一点可以代表所有点的运动）。可以代表所有点的运动）。、物体本身线度和它活动范围相比小得很、物体本身线度和它活动范围相比小得很多多（此时物体的变形及转动显得并不重要）（此时物体的变形及转动显得并不重要）目目 录录1.1.3 参考系和坐标系参考系和坐标系、参考系、参考系 Frame of reference用以描写物体运动所选用的另一物体。用以描写物体运动所选用的另一物体。、坐标系、坐标系 Coordinate system 固定在参考系上以确定物体相对于参固定在参考系上以确定物体相对于参考系的位置。考系的位置。常用的坐标系：常用的坐标系：直角坐标系、自然坐标系直角坐标系、自然坐标系 日心系日心系ZXY地心系地心系o地面系地面系目目 录录牛顿牛顿“绝对绝对”时间和空间观：时间和空间观：时间时间 TimeTime 是绝对的是绝对的。时间一直向前。时间一直向前“流去流去”，与物体的存在以及物理现象的发，与物体的存在以及物理现象的发生毫无关系。我们无法降低或加快时间流动生毫无关系。我们无法降低或加快时间流动的速度，并且在宇宙中任何一个地方时间流的速度，并且在宇宙中任何一个地方时间流动的情形都是相同的。动的情形都是相同的。空间空间 SpaceSpace 也是绝对的也是绝对的，即空间的存，即空间的存在是永恒的，与空间里是否有物质存在毫无在是永恒的，与空间里是否有物质存在毫无关系。假设我们所处的关系。假设我们所处的空间是欧几里德空间空间是欧几里德空间。时间与空间毫无关联存在着时间与空间毫无关联存在着。目目 录录 如果我们把物体牵涉到里面，时间便如果我们把物体牵涉到里面，时间便似乎与空间有点关系，因为我们无法想象似乎与空间有点关系，因为我们无法想象一个物体存在于空间内而不占据一段时间，一个物体存在于空间内而不占据一段时间，或者一个物体存在一段时间但并不占据空或者一个物体存在一段时间但并不占据空间内某一位置。间内某一位置。物理学家定义一个概念时是基于数量物理学家定义一个概念时是基于数量的度量，以及度量的方法，而不只是根据的度量，以及度量的方法，而不只是根据字典上的定义。字典上的定义。目目 录录1.2.1 时间的计量时间的计量 定义时间概念时，我们说时间间隔几分定义时间概念时，我们说时间间隔几分钟或几秒钟便牵涉到如何做一个标准钟，以钟或几秒钟便牵涉到如何做一个标准钟，以及如何用这一标准钟去度量时间。及如何用这一标准钟去度量时间。所以，时间只是依照特定的方法用一标所以，时间只是依照特定的方法用一标准钟量出来的具有单位的数字。准钟量出来的具有单位的数字。1967年规定时间计量基准：年规定时间计量基准：1 秒秒=与铯与铯 133 原子基态两个超精细能原子基态两个超精细能 级之间跃迁相对应的辐射周期的级之间跃迁相对应的辐射周期的 9192631770 倍。倍。目目 录录1.2.2 长度的计量长度的计量 定义长度或空间间隔时，我们只叙述一定义长度或空间间隔时，我们只叙述一把米尺使用的步骤，以及如何复制另一把良把米尺使用的步骤，以及如何复制另一把良好的标准米尺，以便每个人所量得数据都是好的标准米尺，以便每个人所量得数据都是相同的。相同的。因此，在物理学上一个物体的长度的概因此，在物理学上一个物体的长度的概念只是以一标准米尺用特定的方法比较或度念只是以一标准米尺用特定的方法比较或度量出来的且有一定单位的数字。量出来的且有一定单位的数字。1983 年规定长度计量基准：年规定长度计量基准：1 米米=光在真空中光在真空中1/299792458 秒的时间间秒的时间间 隔内运行路程的长度。隔内运行路程的长度。目目 录录1.3.1 位置矢量与轨道方程位置矢量与轨道方程1、位置矢量（位矢）、位置矢量（位矢）Position vecter 用以确定质点位置的矢量用以确定质点位置的矢量 r=rkr=x i+y jz222=xyz+coscoscoscoscoscos=rrrxzyak kri ij jPxyzOa目目 录录、运动方程：、运动方程：质点位矢随时间的变化质点位矢随时间的变化 分量形成：分量形成：x=x(t),y=y(t),z=z(t).、轨道方程、轨道方程：坐标坐标 x,y,z 之间的关系式之间的关系式 运动方程是轨道的参数方程，消去运动方程是轨道的参数方程，消去 t 可可 得轨道方程得轨道方程例例1-1 运动方程运动方程 轨道方程轨道方程 x=3sin5t x2+y2=9:圆柱面圆柱面 y=3cos5t z=0 :Oxy平面平面 z=0 轨道为轨道为 交界为圆交界为圆k kr(t)=x(t)i+y(t)jz(t)矢量形成：矢量形成：目目 录录XYZ目目 录录XYZO目目 录录1.3.2 位移、速度、加速度位移、速度、加速度为了与引起物体运动的原因联系起来，为了与引起物体运动的原因联系起来，物理学家引入了物理学家引入了位移、速度位移、速度和和加速度加速度等概念等概念来描述运动性质，从而为研究物体的运动规来描述运动性质，从而为研究物体的运动规律奠定基础。律奠定基础。1、位移和路程位移和路程（1 1）位移位移 DisplacementDisplacement 设在时刻设在时刻 t 质点在质点在A处，它的位矢为处，它的位矢为 r(t)，经过，经过t时间该质点在时间该质点在B处，此时位矢为处，此时位矢为 r(t+t)，则质点在，则质点在t时间内位置矢量的变时间内位置矢量的变化量化量r 称为质点的位移矢量、简称位移。称为质点的位移矢量、简称位移。目目 录录 r=r(t+t)r(t)在直角坐标系中在直角坐标系中:r=x i+y j+z k（2 2）路程路程 DistanceDistance 图中所示曲线图中所示曲线 AB 的的长度称为质点经过的路长度称为质点经过的路程程 s，它是标量。，它是标量。在在 SI 中位移和路程的单位中位移和路程的单位都为米都为米 (m)。r(t)xzyr(t+t)t)ABsor目目 录录 2 2、速度和速率、速度和速率（1 1）平均速度平均速度 AverageAverage velocityvelocity平均速度平均速度 v =r/t=r(t+t)r(t)/t =x/t I+y/t j+z/t k =vx i +vy j +vz k 因为因为 t 是标量，故是标量，故平均速度平均速度 v 的方的方向与向与 r 的方向相同的方向相同。平均速度的大小：平均速度的大小：|v|=(vx2 +vy2 +vz2 )1/2目目 录录 （2 2）速度速度 VelocityVelocity 瞬时速度、简称速度：瞬时速度、简称速度：v=lim t0 r/t=dr/dt 速度方向为所在点轨迹的切线方向，并速度方向为所在点轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方指向质点前进的一方在直角坐标系中：在直角坐标系中：v=dx/dt i +dy/dt j+dz/dt k 速度分量：速度分量：vx =dx/dt,vy =dy/dt,vz =dz/dt速度的大小：速度的大小：|v|=(vx2+vy2+vz2)1/2目目 录录 （3）速率速率 SpeedSpeed平均速率：平均速率：v v=s/t 速率：速率：v=lim v=lim t0 s/t=ds/dt=ds/dt 平均速率和速率是标量，而平均速度和平均速率和速率是标量，而平均速度和速度是矢量速度是矢量，它们是两个不同的概念。但，它们是两个不同的概念。但在在 t 趋于趋于 0 极限情况下，因路程极限情况下，因路程 s 和和位移大小位移大小|r r|相等，所以相等，所以速度的大小和速度的大小和速率相等速率相等，即，即 v=lim t0 s s /t=lim t0|r|/t=|v|一般说来：一般说来：v 不等于不等于dr/dt，v 也不等于也不等于|v|在在SI中，速度和速率的单位均为米中，速度和速率的单位均为米/秒秒(m/s).目目 录录 例例1-2 1-2 质点沿半径为质点沿半径为 R R 的圆周作匀速率运的圆周作匀速率运动，每动，每 t t 秒转一圈，求在秒转一圈，求在 2t 2t 时间间隔时间间隔中，其平均速度的大小与平均速率。中，其平均速度的大小与平均速率。解：解：因质点在因质点在 t=2t 2t 间隔中转了二圈，间隔中转了二圈，位移位移 r=0 ，所以，所以|v|=|r/t|=0 路程路程 s=4R v =s/t =4R/2t =2R/t目目 录录 3、加速度加速度 AccelerationAcceleration(1)(1)平均加速度平均加速度:a=v/t=(v(t+t)-v(t)/t 它是平行于它是平行于 v的矢量。的矢量。(2)(2)加速度加速度:a=lim t0 v/t=dv/dt=d2 2r/dt2 2 加速度与速度的瞬时变化的方向相同。加速度与速度的瞬时变化的方向相同。由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的由于速度是顺轨迹曲线弯曲的方向而改变的，故，故加速度永远指向曲线凹的方向加速度永远指向曲线凹的方向.在直角坐标中在直角坐标中:a a=d dvx/d/dt i+d dvy/d/dt j+d dvz/d/dt k =a ax x i +a ay y j+a az z k 加速度的大小：加速度的大小：a a=|a a|=(a(ax x2 2+a+ay y2 2+a+az z2 2)1/21/2 在在SI中加速度的单位为米中加速度的单位为米/秒秒2 2(m/s2 2)目目 录录 例例1-3 1-3 有一质点沿有一质点沿x x轴作直线运动为轴作直线运动为 x(t)=4.5tx(t)=4.5t2 2 2t2t3 3 (SI)(SI)，试求，试求:(1)(1)第第2 2秒内的平均速度秒内的平均速度 v v，(2)(2)第第2 2秒末的速度秒末的速度 v v，(3)(3)第第2 2秒内经过的路程秒内经过的路程 s s 及平均速率及平均速率 v v，(4)(4)第第2 2秒末的加速度秒末的加速度 a a。解解:(1):(1)v vx x =x/x/t t =x(2)=x(2)x(1)/(2-1)x(1)/(2-1)=(4.5 =(4.52 22 22 22 23 3)(4.5(4.52)2)=0.5 m/s 0.5 m/s v v=-0.5 =-0.5 i i m/s m/s 目目 录录 (2)v(2)vx x=dx/dt=dx/dt =d(4.5t =d(4.5t2 2 2t2t3 3)/dt)/dt =9t =9t6t6t2 2t=2t=2 =9=92 26 62 22 2 =-6 m/s=-6 m/s v v=-6 =-6 i i m/s m/s目目 录录(3)当质点作直线运动发生来回运动时，必当质点作直线运动发生来回运动时，必须先求出质点反向运动的时间，即须先求出质点反向运动的时间，即 vx x=0 时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间时刻，这样分段考虑才能正确求得一段时间内质点经过的路程内质点经过的路程。根据根据 vx x=9t6t2 2=0，可求出，可求出 t1 1=0 或或 t2 2=1.5 s s由此可求得质点在第由此可求得质点在第2秒内经过的路程为：秒内经过的路程为：s=|x(1.5)x(1)|+|x(2.0)x(1.5)|=2.25 (m)平均速率为平均速率为:v=s/t =2.25/1=2.25 (m/s)目目 录录 vx x=9t6t2 2 (4)加速度加速度 ax =dvx/dt =9-12t|t=2 =9-122 =-15 -15 (m/s2 2)因为加速度因为加速度与与速度速度方向相同，方向相同，所以所以质点在秒末作加速运动。质点在秒末作加速运动。目目 录录 ()切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度有时我们根据需要把加速度分解二个分量：有时我们根据需要把加速度分解二个分量：A A 切向加速度切向加速度 Tangential acceleration 平行于质点运动轨迹的加速度切线分量平行于质点运动轨迹的加速度切线分量at tB B 法向加速度法向加速度 Normal acceleration 平行于质点运动轨迹的加速度法线分量平行于质点运动轨迹的加速度法线分量a an n 这样建立的坐标系称为这样建立的坐标系称为 自然坐标系自然坐标系Pv(t)Ono目目 录录下面我们作详细分析。下面我们作详细分析。质点作曲线运动时，其速度方向与曲线质点作曲线运动时，其速度方向与曲线的切线方向相同。的切线方向相同。PQ PQ 曲线为一质点的曲线为一质点的路程，若此质点在路程，若此质点在 P点点的速度为的速度为 v(t)，经过，经过 dt 时间后质点移到时间后质点移到Q点，其点，其速度变为速度变为 v(t+d t)。质点的速度增量质点的速度增量 dv 可可被分解成一沿切线的分被分解成一沿切线的分量和一沿法线的分量。量和一沿法线的分量。QPv(t)v(t+dt)Odno目目 录录 dv 沿切线分量为沿切线分量为 dt 时时间内质点的速率改变量间内质点的速率改变量 dv；若；若d 为速度在为速度在 dt 时时间内转过的角度，间内转过的角度，dv 沿沿法线的分量为法线的分量为 vd 。设曲线在设曲线在P点的切向单点的切向单位矢量为位矢量为 to o ，法向的单，法向的单位矢量为位矢量为 no，则，则 dv 可写可写成成:dv=dv t to o +vd nov(t)dvv(t+dt)dvvdQPv(t)v(t+dt)Odno目目 录录 因为因为P点与点与Q点无限接近点无限接近，故，故PQ弧可视为一圆弧的弧可视为一圆弧的一段，此圆的半径称为曲一段，此圆的半径称为曲线在线在P点的点的曲率半径曲率半径。图中图中P点与点与Q点的法线相点的法线相交于交于O点，这一交点即为点，这一交点即为PQ弧的曲率中心。弧的曲率中心。OP或或OQ的长度的长度即为曲率半径即为曲率半径。因质点由因质点由 P点移到点移到 Q点点费时费时dt，故，故PQ弧的长度为弧的长度为 vdt，而，而弧长为弧长为d ，v(t)dvv(t+dt)dvvdQPv(t)v(t+dt)Odno目目 录录 dv=dv t to o +vd no所以所以 vdt=d 故故 d /dt=v/将上式两边除以将上式两边除以dt可得质点在可得质点在P点的加速度点的加速度 a=dv/dt =dv/dt to +vd /dt no =dv/dt to +v2 2/no o dv/dt 为沿切向分量，故称为为沿切向分量，故称为质点的切质点的切向加速度向加速度 at ，其值等于速率的变化率，它，其值等于速率的变化率，它表示速度变化的快慢表示速度变化的快慢。目目 录录 v2 2/为为 a 沿法向分量，故称为质点的沿法向分量，故称为质点的法向加速度法向加速度 an n。因其方向指向因其方向指向曲率中心，故又称为向心曲率中心，故又称为向心加速度，它加速度，它表示速度方向变化的快慢表示速度方向变化的快慢。因此因此，at t=dv/dt an n=v2 2/加速度的大小：加速度的大小：a=(at2 +an2)1/2目目 录录 例例1-4 已知质点在已知质点在Oxy平面内的运动方程为平面内的运动方程为 r(t)=2t i +(2-t2)j (SI)，求求:(1)质点的轨质点的轨迹方程；迹方程；(2)质点的速度和速率；质点的速度和速率；(3)质点在质点在直角坐标系和自然坐标系中的加速度；直角坐标系和自然坐标系中的加速度；(4)轨轨迹的曲率半径迹的曲率半径。解解:(1)运动方程分量式运动方程分量式:x=2t,y=2-t2 2 消去消去 t 得轨迹方程：得轨迹方程：y=2-x 2/4 (轨迹为抛物线轨迹为抛物线 )(2)vx x=dx/dt=2 (m/s)vy =dy/dt=-2t (m/s)v =(vx2+v+vy y2 2)1/2=2(1+t2 2)1/2 (m/s)目目 录录(3)在直角坐标中在自然坐标系中在直角坐标中在自然坐标系中:ax x=dvx/dt=d(2)/dt=0 (m/s2 2)ay y=dvy/dt=d(-2t)/dt=-2 (m/s2 2)at t=dv/dt=d2(1+t2 2)1/2/dt =2t/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)an n=(a2-at t2 2)1/2 =2/(1+t2 2)1/2 (m/s2 2)(4)=v 2/an n =2(1+t2)1/22.(1+t2 )1/2/2 =2(1+t2 )3/2 3/2 (m)第四节第四节运动叠加原理运动叠加原理 抛体运动是竖直方抛体运动是竖直方向和水平方向两种运动向和水平方向两种运动叠加的结果。叠加的结果。1.4.1 运动叠加原理运动叠加原理 Superposition Principle 在抛体运动中，水在抛体运动中，水平方向的运动对竖直方平方向的运动对竖直方向的运动丝毫没有影响。向的运动丝毫没有影响。反之亦然。两个运动是反之亦然。两个运动是互相独立的。互相独立的。0v 一个运动可以看成几一个运动可以看成几个各自独立进行的运动叠加而成。个各自独立进行的运动叠加而成。质点作任意曲线运动时，每个速度分量质点作任意曲线运动时，每个速度分量和加速度分量只与相应的坐标分量随时间的和加速度分量只与相应的坐标分量随时间的变化情况有关，与其他两个坐标分量无关。变化情况有关，与其他两个坐标分量无关。这就是说，质点的运动可分解成沿这就是说，质点的运动可分解成沿x x、y y、z z 三个方向的运动，每个方向上的运动是相三个方向的运动，每个方向上的运动是相互独立的，互独立的，整个运动可看成是沿三个坐标轴整个运动可看成是沿三个坐标轴直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理，直线运动的叠加，这就是运动的叠加原理，它被无数实验所证实。它被无数实验所证实。所以对一般曲线运动的研究都可归纳为所以对一般曲线运动的研究都可归纳为对直线运动，即一维运动的研究。对直线运动，即一维运动的研究。1.4.2 直线运动直线运动 Rectilinear Motion运动方程：运动方程：=t（）xxx=ddddtt加速度：加速度：a22v位移：位移：x=ddt速度：速度：xvxttt11220 xx割线斜率割线斜率（平均速度）（平均速度）tx切线斜率切线斜率（瞬时速度）（瞬时速度）dtdx1、x t 图图v t 图线下的面积（位移）图线下的面积（位移）:12ttt120vvvv t 图图割线斜率：割线斜率：切线斜率：切线斜率：dtdv=atv=a2、v t 图及图及 a t 图图tt=12d=12tdvxxxxtatt120a t 图图a t 图线下的面积（速度增量）图线下的面积（速度增量）tt=12d=12tdavvvv在求解第二类问题过程中还必须已知在在求解第二类问题过程中还必须已知在 t=0时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为时刻质点的速度及位置坐标，这一条件称为初始条件初始条件。第一类问题第一类问题：(求导问题求导问题)第二类问题第二类问题：(积分问题积分问题)初始条件：初始条件：t=0 xyyzzx=000vvvvvv000 xxyyzzva=(t)a=(t)rr=(t)v求：求：(1)已知：已知：、=a a=vv()t(t)求：轨迹求：轨迹rr=()t已知：已知：、3、运动学的两类问题、运动学的两类问题vvat=+012xxv tat=+002所以：所以：0t=0 时刻，其时刻，其vxx=0v、。加速度为一常量加速度为一常量 a，求其运动规律。已知在，求其运动规律。已知在第二类问题的例子：一质点作直线运动，其第二类问题的例子：一质点作直线运动，其dvatvv=00dtdxv dtat dttxxtv=+0000()因为：因为：目目 录录(2)已知：已知：a=kv （k 为常数），求任意为常数），求任意时刻速度和位置。时刻速度和位置。解：解：a=dv/dt=kv dv/v=kdt vov dv/v=o t kdt ln(v/vo)=kt v=vo e-k t x=xo+ot voe-k t dt =xo+vo(1e-k t )/k目目 录录(3)已知：已知：a=k x （k 为常数），求任意位为常数），求任意位置与速度的关系。置与速度的关系。解：解：a=dv/dt a=dv/dt =(dv/dx)(dx/dt)=(dv/dx)(dx/dt)=vdv/dx =vdv/dx =kx =kx vdv=kxdx vov vdv=xo x kxdx (v2vo2)/2=k(x2xo2 )/2h0rXYvx 例例 人以恒定速率人以恒定速率0求求:任一位置船之速度、加速度。任一位置船之速度、加速度。运动，船之初速为运动，船之初速为v0rxh=ijrrxh22=+rxxxxhhtttdddd2222=+dd0vrxttdddd=ivhOh0rXYvxhtii=addd=dx22=x3022vvtttddvrxxh2=ii+dd=0 x2v1.4.3 1.4.3 圆周运动圆周运动 Circular Motion 质点作质点作圆周运动圆周运动 时，无论其速率是否变时，无论其速率是否变化，它总是被约束在圆周上运动，因此我们化，它总是被约束在圆周上运动，因此我们只须选定圆周上任意一点作为计算路程长度只须选定圆周上任意一点作为计算路程长度的起点，则质点在任意时刻的位置就可由质的起点，则质点在任意时刻的位置就可由质点从起点走过的点从起点走过的圆弧长度圆弧长度 s 或对应转过的或对应转过的角角度度来描述，因此它可以归纳为来描述，因此它可以归纳为一维运动一维运动。如果将如果将 s 对时间求一次导数和二次导数对时间求一次导数和二次导数，则分别得质点的速率和切向加速度，而法，则分别得质点的速率和切向加速度，而法向加速度也可随之确定：向加速度也可随之确定：1、线量描述、线量描述 (s,v,at,an)v =ds/dt,at =dv/dt =ds 2/dt2,an =v2/R 其中其中 R 为圆周运动的半径为圆周运动的半径.AB0 x 2、角量描述、角量描述 (,)（1）角速度角速度 =d/dt 的单位为弧度的单位为弧度/秒秒(rad/s)（2）角加速度角加速度 =d/dt=d2/dt2 的单位为弧度的单位为弧度/秒秒2 (rad/s2)3、线速度与角速度之间的关系、线速度与角速度之间的关系 s =R v=ds/dt=Rd/dt=R at=dv/dt=Rd/dt=R an=v2/R =R2 由于圆周运动可归纳为一维运动，因此由于圆周运动可归纳为一维运动，因此，匀速和匀加速圆周运动中关于路程，匀速和匀加速圆周运动中关于路程 s 或角或角度度随时间随时间t的关系与匀速和匀加速直线运动的关系与匀速和匀加速直线运动的公式是相似的的公式是相似的 匀速圆周运动匀速圆周运动 =0 =常数常数 =o+（-)匀加速圆周运动匀加速圆周运动 =常数常数 =o+(t-to)=o+o(-)+(-)2/2 例例1-5 某飞轮转速为某飞轮转速为600转转/分，制动后转过分，制动后转过10圈后静止。设制动过程中飞轮作匀变速转圈后静止。设制动过程中飞轮作匀变速转动，试求制动过程中飞轮的角加速度及经过动，试求制动过程中飞轮的角加速度及经过的时间。的时间。解解:已知飞轮的初角速度已知飞轮的初角速度 o=2no/60 =2600/60 =20(rad/s)末角速度末角速度 =0转过角位移转过角位移-0=102 =20(rad)o=20 (rad/s)=0角加速度角加速度 =(2 -o2)/2(-0)=0-(20)2 /220 =-10 (rad/s2)负号表示飞轮作减速转动。负号表示飞轮作减速转动。由此可知制动过程所需的时间由此可知制动过程所需的时间 t =t-to =(-o)/=(0-20)/(-10)=2 (s)相对运动相对运动伽利略变换伽利略变换1.5.1 1.5.1 相对运动相对运动 Relative Motion 考虑二个质点考虑二个质点A和和B以及一个观察者以及一个观察者O，利用利用xyz轴为参考坐标，轴为参考坐标，A 和和 B 对对 O 的位矢的位矢分别为分别为 rAO 和和 rBO，B相对相对A的位矢称为的位矢称为相对相对位矢位矢用用 rBA表示。由图可知：表示。由图可知：rBA=rBOrAOdrBA/dt =drBO/dt-drAO/dt即所以即所以相对速度相对速度公式为：公式为：vBA=vBOvAO其中：其中：vAO=drAO/dtvBO =drBO/dt，vBA=drBA/dt，oxyzABrBOrAOrBAvAOv vBABAvBOvBOvAO vBA=vBOvAO上式表示两质点之间的相对速度就是它们对上式表示两质点之间的相对速度就是它们对观察者观察者O的速度相减。再取上式对时间求导的速度相减。再取上式对时间求导可得：可得：dvBA/dt=dvBO/dtdvAO/dt aBA =dvBA/dt 称为称为B相对相对A的加速度的加速度 aBO =dvBO/dt 称为称为B相对相对O的加速度的加速度 aAO =dvAO/dt 称为称为A相对相对O的加速度的加速度所以所以 aBA=aBOaAO也就是说，两质点的相对加速度为它们对观也就是说，两质点的相对加速度为它们对观察者的加速度之差。察者的加速度之差。例例1-6：一人骑自行车向东而行，当速度为：一人骑自行车向东而行，当速度为 10 m/s 时，觉得有南风时，觉得有南风；当速度增至；当速度增至 15 m/s，觉得有东南风，求风的速度，觉得有东南风，求风的速度 v 风对地风对地。解：当解：当 v1人对地人对地=10 i 时时 v1风对人风对人=v1 j v风对地风对地 =v1风对人风对人+v1人对地人对地 =v1 j+10 i=10 i+v1 j (1)当当 v2人对地人对地=15 i 时时 v2风对人风对人=-0.707v2 i+0.707v2 j v风对地风对地 =v2风对人风对人 +v2人对地人对地 =-0.707v2 i+0.707v2 j+15 i =(15-0.707v2)i+0.707v2 j (2)45oijv1风对人v2风对人o(1)与与(2)式相等：式相等：10 i+v1 j=(15-0.707v2)i+0.707v2 j 分量相等分量相等:10=15-0.707v2 v2=7.07 m/s v1=0.707v2 v1=0.707 7.07=5 m/s v风对地风对地=10 i+v1 j =10 i+5 j m/s v风对地风对地=(102 +52 )1/2 =11.2 m/s tg =5/10=0.5 =27o (东偏北东偏北)45oijv1风对人v2风对人o目目 录录ijv1wrovwgv1rg=10 i 45oij v2wrovwgv2rg=15 i Ans：while v1rg=10 i,we have vwg =v1wr+v1rg while v2rg=15 i,we have vwg =v2wr +v2rg 5 i vwg=10 i+5 j 解：设河岸为解：设河岸为 S 系，河水为系，河水为 S系，系，u表示船相对河水速度，表示船相对河水速度，v 表示河水相对河岸的速度。船表示河水相对河岸的速度。船相对于河岸的速度为相对于河岸的速度为:u=u+vuvudl船船例例1-7 设河面宽设河面宽 l=1 km，河水由北向流动，流速，河水由北向流动，流速 v=2 m/s，一人相对河以，一人相对河以 u=1.5 m/s 的速率将船的速率将船从西岸划向东岸，问：从西岸划向东岸，问：(1)若要使船到达对岸的时间最短，船头与河若要使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少角度岸应成多少角度?最短时间等于多少最短时间等于多少?到达对岸到达对岸时，船在下游何处时，船在下游何处?(2)若要使船相对于岸走过的路程最短，船头若要使船相对于岸走过的路程最短，船头应与岸成多大角度应与岸成多大角度?到达对岸时，船在下游何处到达对岸时，船在下游何处?要化多少时间要化多少时间?(1)(1)如图可知，当船头与河岸的夹角如图可知，当船头与河岸的夹角 =/2=/2 时，时间最短，故船到达对岸所时，时间最短，故船到达对岸所需的最短时间为需的最短时间为 t tminmin=l/u=l/u =1000 =1000 1.51.5 =667 s =667 s下游位置下游位置:d=vt d=vtminmin =2 =2 667667 =1334 m =1334 muvudl船船(2)船相对于河岸的速度船相对于河岸的速度 u 与河水相对河岸与河水相对河岸的速度的速度 v 之间的夹角之间的夹角越大，船相对于岸走越大，船相对于岸走过的路程就越短。以矢量过的路程就越短。以矢量 v 的终点为圆心，的终点为圆心，以矢量以矢量 u 的大小的大小 u 为半径作圆。显然当为半径作圆。显然当 u 沿该圆的切线时，角度沿该圆的切线时，角度最大，从而船走过最大，从而船走过的路程最短。从图可看出：的路程最短。从图可看出：sin=u/v =1.5/2=0.75 即即 =4830因而船头与河岸的夹角：因而船头与河岸的夹角：=90-4830=4130uvuld船船 到达对岸所化的时间：到达对岸所化的时间：t=l/usin =1000(1.5 0.6626)=1006 秒秒 =16 分分 46 秒秒下游距离：下游距离：d=(v-ucos)t =(2-1.5 0.7490)1006 =882 米米uvuld船船zxtuy=xyztt逆逆变变换换+zxtuy=xyztt正正变变换换，XYZOtuuP.zxty()，xxXYZOzxty()1.5.2 1.5.2 伽利略变换伽利略变换 Galilean Transformationr =r -u tt=0 时，时，O 与与 O 重合重合伽利略速度变换式伽利略速度变换式zxtuy=xyztt由伽利略坐标变换式对时由伽利略坐标变换式对时间求导可得速度变换式间求导可得速度变换式vxvyvzvxvyvz=ud=ytddytdd=ztddztdd=xtddxtduvxvyvzvxvyvz=u由速度变换式对时间求导由速度变换式对时间求导可得加速度变换式可得加速度变换式axayazaxayaz=aa=