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数 学,第十二章全等三角形,本 章 总 结 提 升,本章知识框架,本章总结提升,相等,相等,相等,重合,完全重合,SSS,SAS,ASA,AAS,HL,角的平分线,整合拓展创新, 类型之一一元二次方程及有关概念,本章总结提升,思想方法：全等变换包括平移变换、翻折变换和旋转变换三种方式.全等变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质，所以利用全等变换是证明线段相等或角相等的基本方法，有时通过全等变换把已知的边（或角）与要证的边（或角）集中在某一个三角形中，便于解决问题.,本章总结提升,例1 如图12T1所示，ABDC于点B，且BDBA，BEBC. （1）求证：DEAC； （2）将DBE沿DC方向平移至下列情况，如图12T2所示，这时还有DEAC吗？为什么？,本章总结提升,本章总结提升,解析 （1）要证DEAC，只需证它们所在的DBE和ABC全等即可；（2）各图均由图12T1变化而来，属于全等变换，证明方法都与（1）相同.,本章总结提升,点评 注重基本图形的挖掘，平移变换中，线、角的大小关系没有变化，证线段相等，关键还是证两线段所在的两个三角形全等.,【针对训练】,本章总结提升,1.如图12T3所示，在有公共顶点的ABC和ADE中，ABAC，ADAE，且CABEAD. （1）求证：CEBD； （2）若将ADE绕点A沿逆时针方向旋转，当旋转到点C，E，D在一条直线上时，如图12T4所示，（1）问中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.,本章总结提升,解析 （1）要证CEBD，只需证它们所在的ACE和ABD全等，结合已知条件易证. （2）由于旋转后ABC和ADE形状没有变化，而且CAE和DAB仍然相等，ACE和ABD全等，则结论CEBD仍成立.,本章总结提升,本章总结提升,点评 当完成本题后，可以利用旋转变换、改变图形探究结论是否仍然成立，这有利于培养学生的创新精神和探究问题的能力.,本章总结提升, 类型之二利用三角形全等证明有关结论,思想方法：全等三角形的对应边相等和对应角相等，所以在平面几何中，证明两线段相等、两个角相等、两条直线互相平行、两条直线互相垂直等问题时，常常可以通过证明三角形全等来实现.有时在整个证明过程中往往要完成多次三角形全等的证明，才能解决待证（或待求）的问题.,本章总结提升,例2 如图12T5所示，ABDC，ADBC，DEBF. 求证：BEDF.,解析 BE和DF分别在ABE与CDF（或BDE与DBF）中，由已知条件不能直接推导它们全等，结合图形，连接BD，可证ABDCDB，得AC，再去证ABECDF.,本章总结提升,本章总结提升,点评 （1）当条件不足时，常常通过添加辅助线得出新的条件，进一步完成问题的解答. （2）连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题来解决，是数学常用的方法，它可使复杂问题简单化，并能够较清晰地找到边的关系.,【针对训练】,本章总结提升,2.如图12T6所示，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC. 求证：AC180.,证明：在BC上截取BEAB，连接DE. 易证ABDEBD， ADED， ABED. 过点D作DFEC于点F.,本章总结提升,ADCD， DEDC. 又DFDF， RtDEFRtDCF， CDEC. ACBEDDEC180.,本章总结提升, 类型之三利用角平分线的性质（或判定）证明有关结论,思想方法：角的平分线不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，以及到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，这些为我们证明线段（或角）相等提供了便利的方法.,例3 如图12T7所示，已知：BC90，M是BC的中点，DM平分ADC. 求证：（1）AM平分DAB； （2）ADABCD.,解析 作MEAD，证AMEAMB.,本章总结提升,证明：（1）过点M作MEAD于点E. DM平分ADC，C90， MCME. M是BC的中点，MCMBME. 又AMAM，AEMABM90， RtBAMRtEAM（HL）， EAMBAM， 即AM平分DAB.,本章总结提升,点评 作出点M到角两边的距离，利用距离相等是解决这个问题的关键，因此当遇到角平分线的问题时，如果不能打开思路，不妨过角平分线上的点作出到角两边的垂线.,【针对训练】,本章总结提升,3.如图12T8所示，已知BE90，CECB，ABCD. 求证：ADCD.,本章总结提升, 类型之四运用三角形全等解决生活实际问题,思想方法：全等三角形广泛应用于现实生活中，为我们解决实际问题提供了有力的工具.把实际问题转化为数学问题，抽象概括出基本的几何图形，并充分利用所学知识构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题.,本章总结提升,例4 如图12T9所示，要测量池宽，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使ACAB，再从C点观测，在BA的延长线上测得一点B，使ACBACB.这时量得的AB的长度就是AB的长度.请按图写出已知、求证，并加以证明.,本章总结提升,【针对训练】,本章总结提升,4.一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事： 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.请解释其中的道理.,本章总结提升,
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