阿基米德简介

阿基米德简介阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史 家贝尔(E. T. Bell, 1883-1960)说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中, 必定包括阿基米德,另外两个通常是牛顿和高斯不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比, 拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较,还应首推阿基米德.”阿基米德的名字在他同时代的 人们中成为贤明的象征,他会用简单的方法解最难的问题.古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔 克(Pluta rch,公元前1世纪)说：把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到 过,假设有谁尝试一下自己解这些题目,他会什么也得不到.但是,如果他熟悉了阿基米德的解 法,那么他就会立刻得出这样的印象,这个解法他自己也会找到.阿基米德用如此容易和简明的 方法把我们引向目的.阿基米德出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古,他的父亲是天文学家,曾撰写过有关太 阳和月球直径的文章.阿基米德早年在亚历山大学习,以后和亚历山大的学者一直保持联系.阿基米德终生倾心对科学的研究,常常沉浸于忘我的思考之中,普鲁塔克曾写道：阿基米德 废寝忘食,完全无视关心自己的身体.经常要强迫他去洗澡,在洗澡中,擦上香油膏,然而就在 这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形古罗马建筑师维脱罗卫(Vit ruvius，公元 前2世纪)记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感慨不已.有一次叙拉古的亥厄洛(Hieron) 王让人制造纯金的皇冠.做成后国王疑心是否完全用纯金制成,便请素称多能的阿基米德来鉴 定.阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的 浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻.于是，他突然想到不同质料的东西，虽然重量 相同，但因体积不同，排去的水必不相等.根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而 且知道偷去黄金的重量.这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊： “我找到了”.经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”- 物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量.在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情.他为祖国的安危献出了自己全部 力量和智慧.当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智， 制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施.他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的 准备.假设敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的“重炮弹”和“火箭”， 击败敌人的战船.当阿基米德觉察炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投 射机器.这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进.希腊文献记载，当罗马兵船靠 近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船燃烧.另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西 弹出去，烧毁敌人的战船.总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的 打击，为保卫祖国作出了重大奉献.后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了.一种说法是阿基 米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形.当一个罗马士兵冲到他面 前时，阿基米德严肃地说：“走开，不要动我的图.”罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺 死了阿基米德.终年75 岁.根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征 着他特别珍视的发明.阿基米德在数学中做出很多奉献，他的许多著作的手稿一直保存到现在.一些数学史家都把 他的原著译成现代文字例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔埃斯克(P. Ver. Ee cke)的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯(E. J. Dijksterhuis)的名著阿基米德其著作涉 及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识.保存下来的阿基米德著作 多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作主要是论球与圆柱(On the Sphe re and Cylin der),论抛物线求积法(On Quad rat ure of the Par abola),圆的度 量(Measurement of a Circle)，论螺线(OnSpirals),论平板的平衡(On Plane Equilibriums)，论锥型体与球型体(On Conoids Spheroids)，砂粒计算(The Sand Reckoner),论方法(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理),论浮体(On Floating Bodies),引理在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平 面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究在这些研究中，他预见到了极微分割 的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限 概念阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理 詔球的体积等于它的外接直圆柱体积的牛以及，球的表面积是其大 圆跚只的4倍气遗就是刻在阿基米德墓珈上的图形-如图芥1夷13阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果：“任何由直线和直 角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)，甚面积都是与其同底同高的三角形面积的百豊郵.14下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法.AQQ4是一抛物线弓形，抛物线顶点 为A(如图3. 14). QQ4交抛物线的轴于O点.Q0和Q4O各在Q2和Q3处平分，作图中所 示的各线段就可完成图形.现在，QtO2 = 4Q2O2 = 4BC2, AO = 4AC，因此BQ2 = 3AC.:又EQ?二卜。二 2AC= 2BE,因此匸 Abq1e = Aq1（52ej Abae=|aeac52owJ所乩 ABQZA = aqzaq2 = aqzao- -（1）.同理可以证明，Aapq4是Zwdq*的L采用同样方法重复把q1q2, q2o平分就可证明（1）式的右方加上 了一些三角形，其面积等于ZEQa的：亦即gAO的召等等在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是+ + =比16643这里是指 AQO4.然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的这种证法的要点是，如 果所求面积不等于给定的面积S,它就一定同时大于它又小于它而这是不合理的，由此，推知4直QQ*面积的-；r抛物线弓形的面积等于J阿基米德在圆的度量（Measurement of acircle尸文中，利用外切与内接96边形求得 圆周率n：“ 圆周长”外切正北边形的周长0=同辰殺、_ W&55B/j Tc *.内按正96边形的.周长10从而得到琲 5心务 相当于3. 140n3. 142.这是数学历史上最早给出的关于圆周率的误差估计.在进行证明时，阿基米德防止了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所疑心 的他考虑了内接多边形和外切多边形他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不 等量，则不管大量与小量之比方何接近1,都有可能：（1）求出两条直线，使得较长的与较短的之 比更小（大于1）； （2）作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面 积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比” 然后就像欧几里得所做过的那样，他证明 如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小阿基米德对 此做了一点补充，即指出假设把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面 积之差，小于任何给定的面积.阿基米德还研究了螺线，撰写了论螺线一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米 德对数学的全部奉献中最出色的部分许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方 法值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一 动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线这种螺线后来称为“阿基米德 螺线” 螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来此 基本性质是以命题14出现的，现在都以r=ae这个方程来表示之阿基米德然后证明了，在第 一个周转和初始线之间所包围的面积，亦即在矢径0与兀垃间所围成的面积，等于半径为2兀彊旳圆面积的;。阿基米德写 2写道：“我认为螺线和回到原处的直线所围的面积，等于以该固定点作中心，以一圈中该点沿直线所描过的长度为半径所成的圆的!又如弓有一直线在螺线的末端与螺线相切并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线， 以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周” 此即为论螺 线一书中命题24.阿基米德在砂粒计算(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出 当时希腊计数系统所能表示的数在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000,并将 10000叫做无数之多阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出 了更高位的单位据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题” 实质上要从7个方程 中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程X2472949y2=1，这个方程的解的位数相当大.引理(Liber Assumptorum)书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如：命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍.命题3,如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径 的平方.在论浮体(on Floating Bodies)文中，阿基米德首先给出了比重比流体小的物体、相 同的物体、大的物体浮力的法则，这确实是一部具有时代意义的杰作.阿基米德在数学的创作中，运用了很多独到的方法尤其他根据力学的原理发现问题之法， 被整理成阿基米德方法(The Method of Archimedes). 1906年海堡(J. L. Heiberg)在 君士坦丁堡(Constantinople，现称伊斯坦布尔(Istanbul)，土耳其最大城市)发现阿基米德写给 厄拉托塞(Eratosthenes，约公元前274-194年)的信以及阿基米德其他著作的传抄本，记述 了阿塞米德结合静力学和流体力学研究大量的关于计算长度、面积、体积和重心等有关几何问 题其要点是：体积是由面积构成，面积是由彼此平行的直线构成每条直线都有重量，而且与 它们的长度成正比因而可以把问题归结于使未知的几何图形与已知的几何图形相互平衡以求重 心，其中利用杠杆原理确定抛物弓形面积，球和球冠面积，旋转双曲体体积就是例证实际上， 这是通往积分的较快的迂回之路阿基米德信心百倍地预言：“一旦这种方法确立之后，有些人 或者是我的同代人，或者是我的后继者，就会利用这个方法又发现另外一些定理，而这些定理是 我所预想不到的”阿基米德为了能在数学中确立发现问题的方法，并给出了逻辑证明阿基米 德的预言，终于在近2000年之后，得以实现.18世纪，丹尼尔伯努利(Da niel Bernoulli) 由物理知识推测到了三角级数形式的弦振动的微分方程的一般解.19世纪中叶黎曼(G. F. B. Riemann)由电学理论确定在每一个封闭的黎曼曲面上都存在着通常有解的代数函数.阿基米德作出的所有结论都是在没有代数符号的情况下获得的，使证明的过程颇为复杂，但 他以惊人的独创性，将熟练的计算技巧和严格的证明融为一体，并将抽象的理论与工程技术的具 体应用紧密结合起来，将希腊数学推向一个新阶段.由于阿基米德在科学研究中，注意在实践中洞察事物的各种现象，并透过现象认清本质，然 后通过严格的论证，使经验事实上升为系统的理论，因此，阿基米德在天文学、力学等方面也作 出了重大奉献.阿基米德一生酷爱天文学，但遗憾的是他关于天文学的著作没有保留下来，根据希达克斯 (Syntaxis)的记载，为了进行天文观测，阿基米德自己制作了仪器，衽观测夏至与冬至中，误差只有扌日.衽当时是 比较精确的.并用仪器测量太阳的视角直径等，据说阿基米德撰写过天文仪器的制作(On the making of sphe res)书，现已失传.总之，阿基米德的所有名著都以精确和严谨著称正如数学史家希思所说，“这些论著毫无 例外地都是数学论文的纪念碑解题计划的逐步启示，命题次序的巧妙排列，严格排除与目的没 有直接关联的一切东西，对整体的润饰-其完美性所给人的印象是如此之深，以致在读者心中能 产生一种近乎敬畏的感情”.