中考第二轮专题复习网格问题

网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题因此它也成为近几年新课程中考的热点问题格点图形问题常见的题型有：格点图形问题常见的题型有：一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的二、在网格中运用勾股定理进行计算二、在网格中运用勾股定理进行计算三、分类讨论思想在格点问题中的运用三、分类讨论思想在格点问题中的运用四、网格中图形变换的画图与描述四、网格中图形变换的画图与描述五、网格图形的操作方案设计问题五、网格图形的操作方案设计问题六、利用格点图形探究规律六、利用格点图形探究规律一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的的【例【例1】如图，在平面直角坐标系中，点】如图，在平面直角坐标系中，点E的坐标（）的坐标（）A(1，2)；B(2，1)；C(1，2)；D(1，2)【例【例2】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这棋为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋样，黑棋的位置可记为的位置可记为(C，4)4)，白棋，白棋的位置可记为的位置可记为(E，3)3)，则白棋则白棋的位置应记为的位置应记为_ _ 123574689ACBD E F G HI12345678A(D,6)【例【例3】已知】已知ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果在直角坐标系中的位置如图所示，如果ABC 与与ABC 关于关于y轴对称，那么点轴对称，那么点A的对应点的对应点A的坐标为的坐标为（）A(4，2)B、(4，2)C(4，2)D(4，2)解析解析 根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，y轴垂直平分线段轴垂直平分线段AA，因此点，因此点A与点与点A的横坐标互为相反数，的横坐标互为相反数，纵坐标相等点纵坐标相等点A(4，2)，因此因此A(4，2)选选D二、在网格中运用勾股定理进行计算二、在网格中运用勾股定理进行计算【例【例4】如图是由边长为】如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为所走的路程为_m（结（结果保留根号）果保留根号）ABC1m解析解析 推导两点间的距离公式是以勾股定理推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜的两个直角三角形的斜边，容易计算边，容易计算AB+BC=5243345354【例【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是的值是().().B.；C.；D.A、解析 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1选C3223510355455ABC【例【例6】如图】如图5，小正方形边长为，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶，连接小正方形的三个顶点，可得点，可得ABC，则，则AC 边上的高是（边上的高是（）B；C；DA、CACACABCBCABACACABC。选高为边上的，因此的长为；用勾股定理计算为的面积，因此、为直角三角形的面积分别为斜边的三个、边上的高。以来计算的面积算题。要借用这是一道比较复杂的计5535232111ABCOxyABCOxyDEF【例【例7】如图如图1 1，直角坐标系中，直角坐标系中，ABC的顶点都在网格点上，的顶点都在网格点上，其中其中A点坐标为点坐标为(2(2，1)1)，则，则ABC的面积为平方单的面积为平方单位位解析解析 如图如图2，在网格中构造不规则三角形的外接矩形，是计，在网格中构造不规则三角形的外接矩形，是计算不规则三角形面积常用的办法容易计算算不规则三角形面积常用的办法容易计算ABC的面积为的面积为7平方单位平方单位图1图2【例【例8】如图】如图1，将一块正方形木板用虚线划分成，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板用这副七巧板拼成图一副七巧板用这副七巧板拼成图2的图案，则图的图案，则图2中阴影部分的面中阴影部分的面积是整个图案面积的积是整个图案面积的()1111A.;B.;C.;D.47822图1 图2解析解析 题目中的题目中的图图2 2是对思维的干扰，如果直接提问是对思维的干扰，如果直接提问“图图1 1中小正方中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了在，问题就变得简单明了在图图1 1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3 3的等腰直角三的等腰直角三角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于因此小正方形的面积是大正方形面积的因此小正方形的面积是大正方形面积的选选D2981三、分类讨论思想在格点问题中的运用三、分类讨论思想在格点问题中的运用【例【例9】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正的正方形，方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在也在小方格的顶点上，且以小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为为顶点的三角形面积为1，则点，则点C的个数为的个数为()A3个；个；B4个；个；C5个；个；D6个个AB解析解析 怎样选取分类的标准，才能做到点怎样选取分类的标准，才能做到点C的个数不遗不漏？按的个数不遗不漏？按照点照点C所在的直线分为两种情况：当点所在的直线分为两种情况：当点C与点与点A在同一条直线上时，在同一条直线上时，AC边上的高为边上的高为1，AC=2，符合条件的点，符合条件的点C有有4个；当点个；当点C与点与点B在在同一条直线上时，同一条直线上时，BC边上的高为边上的高为1，BC=2，符合条件的点，符合条件的点C有有2个选个选D【例【例10】如图所示，】如图所示，A、B是是45网络中的格点，网格中的每个小网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点形是等腰三角形的所有格点C的位置的位置C3C1C2AB解析解析 心动不如行动，赶快拿起圆规：心动不如行动，赶快拿起圆规：以以A为圆心，为圆心，AB长为半径画圆，圆弧长为半径画圆，圆弧经过格点经过格点C1、C2；以；以B为圆心，为圆心，AB长为半径画圆，圆弧经过格点长为半径画圆，圆弧经过格点C3 【例【例11】已知】已知RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为）为OB的中点，点的中点，点C为折线为折线OAB上的动点，线段上的动点，线段PC把把RtOAB分割成两部分分割成两部分问：点问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与在什么位置时，分割得到的三角形与RtOAB相似？相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点，并求出相应的点C的的坐标）坐标）解析按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当BOA为公共锐角时，只存在PCO为直角的情况；当B为公共锐角时，存在PCB和BPC为直角两种情况如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，)74）PC3C2C1xyOAB四、网格中图形变换的画图与描述四、网格中图形变换的画图与描述【例【例12】在在55方格纸中将图方格纸中将图1中的图形中的图形N平移后的位置如图平移后的位置如图2所所示，那么下面平移中正确的是（示，那么下面平移中正确的是（）A.先向下移动先向下移动1格，再向左移动格，再向左移动1格；格；B.先向下移动先向下移动1格，再格，再向左移动向左移动2格；格；C.先向下移动先向下移动2格，再向左移动格，再向左移动1格；格；D.先向先向下移动下移动2格，再向左移动格，再向左移动2格格解析解析 图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等图程中对应点的连线平行且相等图1中的图形中的图形N平移到图平移到图2，就，就是点是点A平移到点平移到点A，先向下移动，先向下移动2格，再向左移动格，再向左移动1格，选格，选C 图1 图2【例【例13】如图】如图1，点，点O、B的坐标分别为的坐标分别为(0，0)、(3，0)，将，将OAB绕绕O点逆时针方向旋转点逆时针方向旋转90得到得到OAB画出画出OAB；点点A的坐标为的坐标为_；求求BB的长的长ABOABOABxy解析解析 如图如图2，点，点B的位置很容易确定，如何简捷准确地确定点的位置很容易确定，如何简捷准确地确定点A的位置？将的位置？将OA为对角线的矩形绕为对角线的矩形绕O点逆时针方向旋转点逆时针方向旋转90，就，就可以确定点可以确定点A的位置要用坐标描述点的位置要用坐标描述点A的位置，先要按点的位置，先要按点O、B的坐标建立坐标系，按照全等形的对应边相等及数形结合思想，的坐标建立坐标系，按照全等形的对应边相等及数形结合思想，点点A的坐标为（的坐标为（2，4）BB的长就是等腰直角三角形的长就是等腰直角三角形OBB的的斜边长，斜边长，BB=3 2图图1图图2五、网格图形的操作方案设计问题【例【例14】如图，在网格中有两个全等的图形】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分阴影部分)，用这两个，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法中画出两种不同的拼法解析解析 这是一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图这是一道人性化的操作型开放题，只要理解了轴对称图形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题形的意义，选取一条适当的直线作对称轴，就可以画出符合题意的图形意的图形【例【例15】如图，在方格纸】如图，在方格纸(每个小方格都是边长为每个小方格都是边长为1个单位长度的个单位长度的正方形正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形如图中的图形称为格点图形如图中的ABC称为格点称为格点ABC（1）如果）如果A、D两点的坐标分别是两点的坐标分别是(1，1)和和(0，1)，请你在方，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点、点C的坐标；的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案格点四边形图案”是如何通过是如何通过“格点格点ABC图案图案”变换得到变换得到的的解析解析 第（第（2）小题又是一道百花争艳满园春的开放题）小题又是一道百花争艳满园春的开放题“格点格点ABC图案图案”不论翻折还是旋转，都可以得到不论翻折还是旋转，都可以得到“格点四边形图格点四边形图案案”，条条道路通罗马同学们在表述时，注意语言的简洁、准，条条道路通罗马同学们在表述时，注意语言的简洁、准确例如：把确例如：把“格点格点ABC图案图案”向右平移向右平移10个单位长度，再向个单位长度，再向上平移上平移5个单位长度，以点个单位长度，以点P（11，4）为旋转中心，按顺时针方）为旋转中心，按顺时针方向旋转向旋转180，即得到，即得到“格点四边形图案格点四边形图案”25x 5x【例16】请阅读下列材料：问题：现有问题：现有5个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图1，请把它们分，请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网割后拼接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新中用实线画出拼接成的新正方形正方形小东同学的做法是：设新正方形的边长为小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x0)依题意，割依题意，割补前后图形的面积相等，有补前后图形的面积相等，有，解得由此可知新正由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长于是，画出方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长于是，画出如图如图2所示的分割线，拼出如图所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形所示的新正方形图1图2图3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有现有10个边长为个边长为1的正方形，排列形式如图的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接，请把它们分割后拼接成一个新的正方形要求：在图成一个新的正方形要求：在图4中画出分割线，并在图中画出分割线，并在图5的正方形的正方形网格图网格图(图中每个小正方形的边长均为图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正中用实线画出拼接成的新正方形方形图5图4210 x 10 x 10解析解析“依葫芦画瓢依葫芦画瓢”是同学们最朴素、最直接的学习方法，设是同学们最朴素、最直接的学习方法，设，解得等于三个小正方形组成的矩形对角线的等于三个小正方形组成的矩形对角线的长于是，画出如图长于是，画出如图6所示的分割线，拼出如图所示的分割线，拼出如图7所示的新正方所示的新正方形本题用方程的思想解决几何问题，又用到勾股定理，是体现新形本题用方程的思想解决几何问题，又用到勾股定理，是体现新课程理念的课程理念的 一道好题目一道好题目 ABCDEFMNP【例【例17】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移，如图这样的图形变换为平移，如图1，将网格中的三条线段沿网格线，将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形，至少需要移动（至少需要移动（）A.12格；格；B.11格格；C.9格；格；D.8格格解析解析 我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是等我们可以通过勾股定理及其逆定理先判断三条线段围成的三角形是等腰直角三角形，再来确定平移的腰直角三角形，再来确定平移的“原则原则”：三条线段同时平移（向目标集中），：三条线段同时平移（向目标集中），则效率最快如图则效率最快如图1，点，点B与点与点C平移到点平移到点M，点，点A与点与点E平移到点平移到点P，三条线段共，三条线段共平移平移9格，围成格，围成PMN在这个过程中，线段在这个过程中，线段AB、CD的方向没有改变，线段的方向没有改变，线段EF的方向只改变了的方向只改变了1次次这是一道很好的研究性学习的题目，可以在活动中激发学生的学习兴趣和探究这是一道很好的研究性学习的题目，可以在活动中激发学生的学习兴趣和探究精神，但不适宜作为中考题精神，但不适宜作为中考题图1六、利用格点图形探究规律六、利用格点图形探究规律 【例【例18】如图】如图,在在1010的正方形网格纸中，线段的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等的长均等于于5则图中到则图中到AB和和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有所在直线的距离相等的网格点的个数有（）A.2.2个；个；B.3.3个；个；C.4.4个；个；D.5.5个个 解析 从题目的语气看，似乎要画直线AB与CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于AC/BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴如图，M、N分别为BD、AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD的距离相等恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3个，符合题意的点有4个选C【例【例19】在边长为在边长为l l的正方形网格中，按下列方式得到的正方形网格中，按下列方式得到“L”L”形形图形第图形第1 1个个“L”L”形图形的周长是形图形的周长是8 8，第，第2 2个个“L”L”形图形的周长形图形的周长是是1212，则第则第n n个个“L”L”形图形的周长是形图形的周长是_ 解析解析 把图把图1中中“L”形图形的边平移，成为图形图形的边平移，成为图2中的形状，周长中的形状，周长没有变化，规律尽在不言中第没有变化，规律尽在不言中第n个个“L”形图形的周长是形图形的周长是4(n+1)图1 图2网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来新颖的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，网格问题是课本知识的情景再现，我们一源于课本，网格问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开展复习定要围绕课本开展复习（图2）A（2005年连云港）如图2，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形（图2）（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)以（1）中的AB为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数三、网格与圆三、网格与圆4题图题图例例3、（04济南市中考题改编）如图，方格纸上一圆经过（2,5）、（2,-3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（）A（2,-1）B（2,2）C（2,1）D（3,1）例例4、(04重庆市)在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个55的方格纸中，找出格点C使ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是（）5（B）4（C）3（D）2（2005年无锡）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.（1）将图1中的格点ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到A1B1C1，请你在图1中画出A1B1C1.（2）在图2中画出一个与格点DEF相似但相似比不等于1的格点三角形 A BC图1图2FD E