第二类曲线与曲面积分

第二类曲线与曲面积分（一） 基本概念1.第二类曲线积分定义6.5 若矢量函数与曲线上点(x,y,z)处切线的单位矢量(且的方向指定的方向一致)的点乘积在上的第一类曲线积分存在 该积分值称为沿曲线从A到B的第二类曲线积分。的物理意义是：当流体流速为沿闭合曲线指定的方向通过的环流量。注：由定义知第二类曲线积分是特殊的第一类曲线积分。若把.看成数量函数，这个积分也具有第一类曲线积分的性质。由定义容易得到下面两个性质性质1 注：等式左右两边的正好相差一个符号。性质2 若有向曲线是由有向曲线，首尾相接而成，则记 注：是ds在x轴上的有向投影，当为锐角，当为钝角，而是ds分别在y轴，z轴上的有向投影，从而第二类曲线积分五种形式之一出现：而常常以形式出现的较多，如果是直接计算，不论是给哪一种形式出现，都需化成的形式（最后一种形式和上面形式实际上是相同的）若曲线，为光滑曲线且起点A对应的参数为，终点B对应的参数为，则 必须注意，公式中的，一定要与曲线的起点A终点B相对应。即化成t函数的定积分时，积分的下限必须是起点A对应的参数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上下限谁大谁小不受限制，这一点与第一类曲线积分化为一元函数定积分时，下限一定小于上限的限制是不同的。而平面上的第二类曲线积分，是空间第二类曲线积分的特殊情况. 定义6.6 没有洞的平面区域，称为平面单连通区域，有洞的平面区域称为复连通区域。定义 6.7 若空间区域V中任意的封闭曲线L，都可以找以L为边界的曲面，则V为线单连通区域。2.第二类曲面积分定义6.8 若矢量函数与曲面S在曲面上点处单位法向量（的方向与曲面S指定的方向相同）的点乘积在S上的第一类曲面积分存在，该积分值称为沿定侧曲面S上的第二类曲面积分。的物理意义是当流速为的不可压缩流体，通过封闭曲面S沿指定侧的S流量。由定义知第二类曲面积分是特殊的第一类曲面积分，若把看成一个数量函数，这时为第一类曲面积分，也具有第一类曲面积分的性质。由定义知第二类曲面积分具有下面两条性质性质1 。性质2 其中S1，S2的侧与曲面S的侧相同且S=S1+S2，S1，S2只有公共边界。3.场论定义6.9设，且P,Q,R偏导数存在，称函数为向量函数在点M（x, y, z）的散度，记作即散度具有线性运算法则，即其中为常数，为向量函数，利用散度的概念，高斯公式可写成下列简洁形式定义6.10 若有，称为无源场，并有下面两个推论。定义6.11 设，且P,Q,R具有一阶偏导，称矢量函数为矢量函数在点M（x, y, z）处的旋度，记作，即或者形式可写成以便记忆.旋度也具有线性运算法则，即此时斯托克斯公式可写成 （二）重要定理与公式定理6.2 （格林（Green）公式 ） 若函数在有界闭区域D上具有连续的一阶偏导数，则，这里为区域D的边界曲线，并取正向。格林公式也可借助行列式来记忆 .注意：这里与Q乘积指的是定理6.3 设在单连通区域D内，P，Q具有连续的一阶偏导数且则环绕同一些洞（如图10-1）的任何两条闭曲线（取同方向）上的曲线积分相等。平面曲线积分与路径无关性定理设是平面单连通区域，若函数在区域D内具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：（1）沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有；（2）对D中任一按段光滑曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点和终点有关；（3）是D内某一些函数的全微分，即在D内存在一个二元函数，使，即；（4）在D内每一点处，有定理6.4（斯托克斯（Stokes）公式 ） 设光滑曲面S的边界曲线L是按段光滑的连续曲线，若在S（连同L）上具有连续的一阶偏导数，则其中S的侧面与L的方向按右手法则确定由定理的证明过程可知，只要以L为边界且符合定理条件的曲面S，结论都成立，从而我们在利用Stokes公式时，寻找以L为边界的较简单曲面S，比如平面上的圆面，椭圆面，三角形平面或球面等等，以利于解决问题。定理6.5（空间曲线积分与路径无关性）设为空间线单连通区域，若函数P、Q、R在上具有连续的一阶偏导数，则以下四个条件是等价的：（1）对于内任一按段光滑的封闭曲线L，有；（2）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分与路径无关，仅与起点、终点有关；（3）是内某一函数的全微分，即存在内的三元函数，使，即；（4）在内处处成立。即，其中.设，其中，称为dS在Oxy平面上的有向投影，当r为锐角时，当r为钝角时，当时，。我们可以证明。事实上，当r为锐角时，知，当r为钝角时，知，当r为时，知。从而同理可知，且，其中第二类曲面积分常常以下面五种形式之一出现：如果是直接计算，无论是以哪一种形式给出，一定要化下面形式来计算，而且每一项要分别计算再相加，我们以计算为例。要求光滑曲面S一定要表示成（其中xy是曲面S在Oxy平面上的投影区域），且要求曲面S上每一点（x, y, z）处的法向量与Oz轴的夹角或者全是锐角或者全是钝角（曲面上个别曲线的法向量可以为）或者全是。如果做不到上述要求，需把S分成几块，使得每一块能做到上述要求，然后根据第二类曲面积分性质，把S上的第二类曲面积分化为小块曲面上的第二类曲面积分，计算之再相加之即可。现假设S符合上述要求，即，且r全是锐角或全是钝角或全是，此时为一常数，则即r全为锐角时 即r全为钝角时 即r全为时 注：时，换句话说如果S在Oxy平面上的投影面积为零时，有，此时同理可知 计算时，要求（S在Oyz平面上的投影区域）全是锐角或全是钝角或全是，此时，计算时，要求（S在Ozx平面上的投影区域）全是锐角或全是钝角或全是，此时，计算 （1）若 且为锐角 设， 由为锐角，知，故前面取“+”号，有，原式=若为钝角，同理可知二重积分前面取“”号.（2）若 且为锐角，则若为钝角，同理可知二重积分前面取“”号.（3）若 且为锐角，则若为钝角，同理可知二重积分前面取“”号.定理6.6（高斯（Gauss）公式） 设空间区域V由分片光滑的闭曲面S围成，若函数P,Q,R在V上具有连续的一阶偏导数，则，其中S取外侧。注：以上关于不论是第二类曲线积分或第二类曲面积分的定理都要求P,Q,R具有连续的一阶偏导数，这一条件要引起大家的重视。推论6.6.1 若在封闭曲面S所包围的区域V中处处有，则推论6.6.2 如果仅在区域V中某些点（或子区域上）或不存在，其它点都有，则通过包围这些点或子区域（称为洞）的V内任一封闭曲面积分（物理意义为流量）都是相等的，即。其中S1，S2是包围之同的任何两个封闭曲面，且法方向沿同侧。二、考题类型、解题策略及典型例题类型1.1平面第二类曲线积分计算解题策略1其中L是平面上简单封闭曲线。（1）若能找到一个单连通区域D，使，而P，Q在D上具有连续的一阶偏导数，且，由平面曲线积分与路径无关性知（2）若L包围的区域为在上具有连续的一阶偏导，但此时可用格林公式，有当L沿正向，取“+”号，沿负向取“一”号。（3）若L包围的区域有洞，在这些洞上，或者偏导数不连续或者，但在其余点，具有连续的偏导数且，此时可找一简单封闭曲线L1与L环绕同一些洞且方向一致则由前面给出的复连通区域上的定理知.而L1容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算。（4）若L容易化成参数方程且转化成一元函数定积分后，容易计算，也可直接化成一元函数积分。2其中是非封闭的平面曲线，起点，终点。（1）若能找到一个单连通区域D，使，在D上具有连续的一阶偏导数，且，该曲线积分与路径无关，则（2）若偏导数连续，但，且化成参数比较方程困难或者化成参数方程转化一元函数定积分很难计算，且加一个简单曲线（比如直线段）构成封闭曲线，则可加一个简单曲线L，减一个简单曲线L，即原式而二重积分与在L上的第二曲线积分都容易计算。（二重积分前的“”号，由曲线方向确定）（3）若容易化成参数方程，且第二类曲线积分转化为一元函数定积分以后容易计算，也可直接转化。3第二类曲线积分有时也可转化为第一类曲线积分，利用第一类曲线积分来计算。4第二类曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式若，则以上方法请大家灵活使用。图6-49例6.4.1 计算，其中C沿上半圆周从点A（-R，0）到点B（R，0）（图6-49）分析 加一个直线段，减一个直线段，前者构成封闭曲线，用格林公式，后者直接计算.解 考虑有向直线段，令由Green公式（注意曲线方向！），得，其中，D为半圆域因为在x轴上y=0，dy=0，所以I1=0。故注：如将曲线C表为或直接计算是很麻烦的，一个曲线积分，如果较难直接计算，应先算一下，如果的表达式较简单，就可用加一个简单曲线（一般为直线段），减一个该曲线。例6.4.2 计算，其中为由点（-1，1）沿曲线到点O（0，0）再沿直线y=0到点B（2，0）的路径。分析 用线性运算法则，前者与路径无关，后者直接计算.图6-50解 积分路径见图6-50。右端第一个积分满足，故积分与路径无关。图6-51例6.4.3 计算，其中L是点A（-a,0）经上半椭圆到B（a,0）的弧段（ 图6-53）。分析 与路径无关，利用分母是，取圆路径计算.解 当时， （1）设D是去掉原点的上半面的区域，则D是单连通区域，P，Q在D内有连续的偏导数并且（1）式成立，故积分与路径无关。取C为点A（-a,0）经上半圆到B（a,0）的弧段，并将C表为，便有注：不可取C为点（-a,0）经下半圆到B（a,0）的弧段，即取C为这是因为，在曲线L与下半圆周围成的区域内，函数P，Q没有连续的偏导数（在点（0，0）偏导数不存在）。或者说，P，Q是在全平面除去原点这个复连通区域内有连续的偏导数，就全平面而言，不能保证积分与路径无关。此例，也可将L表示为而直接计算，但比较麻烦。例6.4.4 计算，其中C为单位圆周的正向。分析 曲线包围的内部有洞，由复连通区域上的定理，利用分母是，取椭圆路径计算.解法一 (l为椭圆的正向即，则函数P，Q在以C与l为边界的复连通区域D上有连续的偏导数。由复连通区域上的定理知解法二 将曲线C表为参数方程，则分项积分，并利用函数的周斯性、奇偶性，得。令，便得注：从该题可看出还是用解法一方便。例6.4.5 计算其中C为，1）圆周的正向；2）曲线的正向。解 （1）1）在圆周上与该圆的内部，函数P，Q均有连续的偏导数，故由Green公式2）C的图形见图6-54。函数P，Q及其偏导数在C的内部有间断点图6-52（1，0）。以点（1，0）为中心，在C的内部作圆周由关系式（1）可知l的参数方程是故注：用Green公式计算曲线积分，必须十分注意“函数P，Q在区域具有连续的偏导数这一样条件。如果P，Q在闭曲线C围成的内部除一点外，有连续的偏导数，且而积分直接计算较难，可以适当选用闭曲线L（不一定是圆），将原积分化成易于计算的积分。例6.4.6 设函数在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有求解 由曲线积分与路径无关的条件知于是，其中为待定函数。由题设知 两边对t求导，得从而，所以类型1.2求原函数解题策略1在一元函数里，若连续，则必有原函数，在二元函数里，即使连续，也不一定存在，使若在单连通区域D上具有连续的一阶偏导，且，则，使即，其中（定点）2同理 若P，Q，R在空间某线单连通区域V上具有连续的一阶偏导数，且,则，使，即其中例6.4.10 求原函数u，使并解方程解 由都连续且，选取，于是且方程的解为类型1.3求平面区域的面积解题策略 利用平面封闭曲线上的第二类曲线积分计算平面图形的面积：在格林公式中，令有，因此其中是有界闭区域D的边界，沿正向.例6.4.7 利用第二类曲线积分计算双纽线所围区域的面积（a0）。解 （如图6-53所示知） 由双纽线关于两个坐标轴对称，因此只需计算第一象限的面积乘以4即可。利用极坐标变换，则双纽线方程为或，图6-53在OA上，由方程，有，于是类型1.4 求中含有待求的字母常数解题策略 若曲线积分与路径无关，中含有待求的字母常数，且具有连续的偏导数，由曲线积分与路径无关的四个等价条件知，从中求出待求字母常数。306