第三章一元函数导数的应用学习指导书

第三章 一元函数导数的应用教学与考试基本要求：1 理解三个中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理），会用它们证明不等式及零点问题；2 会灵活运用罗必达法则求未定式的值；3 会用导数符号判断函数的单调性、凹凸性并会求函数的极值、最值与拐点；3.1 微分学中值定理一、主要内容回顾罗尔定理若函数在上连续，在内可导且，则在内至少有一点，使得。注：是函数的零点。拉格朗日中值定理若函数在上连续，在内可导，则在内至少有一点，使得。推论1若函数在区间上恒有，则在上为常数）推论2若在区间上恒有，则在上为常数）柯西中值定理若函数，满足：在上连续；在内可导；在内，则在内至少存在一点，使得二、基本题型及例题题型1选择题下列函数中，在-1,1上满足罗尔定理条件的函数是（C）ABCD题型2填空题函数在-1,1上满足拉格朗日中值定理的点是题型3证明题（1） 证明：当时，。（2） 证明方程只有一个正根。（3） 证明：若函数在内满足关系式。证（1）令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以 即而故（2） 设，由零点定理知，方程在(0,2)内至少有一个根。又假设方程有两个根，则，由罗尔定理知在内至少有一点，使。但。假设错误。故结论成立。（3）设，则由推论1知又 知 ，即 ，故 三、习题选解习题31 教材1 解函数在1,3上连续，在(1,3)内可导，令得因为在1,3上有两个根。所以罗尔定理成立。2在0,3上连续，在(0,3)内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件。令，得拉格朗日定理成立。3由柯西公式得解得4 设，则在上满足拉格朗日中值定理条件，在内至少有一点，使得。由假设知结论成立。3.2 罗必塔法则一、主要内容回顾罗必塔法则设在的某去心邻域内可微，且，存在（或为无穷大），则注：时上面公式仍成立。或，时，上面公式仍成立。法则可以连续使用。当不存在或不为时，不能依此推出不存在。二、基本题型及例题题型1判断题由于不存在，则不存在。（错）题型2计算题（1） 求（2） 求（3）求（4）求解（1） 注：对型未定式，只要满足罗必塔法则的条件，可直接运用法则来求。（2）（3） 注：对型未定式，先化为型，再利用罗必塔法则来求。（） 注：对型未定式，通过取对数，先化为型，再化为型，利用罗必塔法则来求。三、习题选解1 解 2解解但不存在，故不能用罗必塔法则。.函数单调性的的判别法及极值一、主要内容回顾函数极值定义如果函数在的某个邻域内有定义，若对于该邻域内的任意有，则称为函数的极大值，称为极大值点；，则称为函数的极小值，称为极小值点。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注：函数的的极值是仅在某点的邻域内来考察的，是局部的、相对的；函数的极大值与极小值可能不只一个；极大值不一定大于极小值。驻点若，则称为函数的驻点（或稳定点）。函数单调性判别法设函数在上连续，在内可导，若在内，则函数在上单调增加；若在内，则函数在上单调减少。极值的必要条件如果函数在处可导，且在处取得极值，则即可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。极值点可以是不可导点。极值的第一判别法设在点连续，在的某去心邻域内可导。若在内，在内，则在点取得极大值；若在内，在内，则在点取得极小值；若在和内保持相同的符号，则在点不取极值。极值的第二判别法设在点具有二阶导数，且，则当时，在点取得极小值；当时，在点取得极大值。注：当时，可能是也可能不是极值点；对于不可导点不能用此判别法。二、基本题型用例题题型1判断题若为函数的极小值，为的极大值，则必有（错）若是函数的极值点，则（错）题型二证明题已知函数在上连续，在内可导，且在单调增加，。证明：在内单调增加。证明：当时，。证明：方程有且仅有一个实根。证（1），令，因为在单调增加，则，在单调增加，所以，在内单调增加。（2）设，则在上单调增加，从而故（3）设，则在上连续，而由零点定理知在上至少有一个零点，即至少有一个实根。又，在上单调增加，在上至多有一个零点综合得：方程有且仅有一个实根。题型3计算题讨论函数的单调性，并求其极值。设在处取得极值，求的值，并判断是极大还是极小值。解（1）因为所以驻点为1100减少极小值增加极大值减少极小值为，极大值为（2）因，依题意联立解之，得，又，所以为极大值，为极小值。三、习题选解习题33解（1）令，得驻点极大值为（2）令，得驻点00减少极小值增加极小值为（3）令，得驻点，而为不可导点，01+不存在+0-不存在+增加增加极大值减少极小值增加极大值为，极小值为（4）令 得驻点当时，；当时，。函数的单调增加区间为，单调减少区间为，极大值为2解，则，又，为极大值。3证（1）设，则在上单调增加，即（2）设，则在上单调增加，从而3.4函数的最大值最小值及其应用一、主要内容回顾最大值与最小值设函数在数集上有定义，如果存在，使得对任意都有（或），则称为函数在上的最大值（或最小值）。注：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。如果函数的最大值或最小值在开区间内取得，则最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。求函数最大值最小值的步骤1由公式给出的在闭区间上连续的函数的最大值最小值：求出在上的所有驻点和不可导点；算出在上述点及区间端点处的函数值，比较它们的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。2实际问题：列出目标函数，并确定其定义域；求出目标函数在其定义域内的驻点（一般仅有一个）；驻点处的函数值就是所求实际问题的最大值或最小值。二、基本题型及例题题型1计算题求在上的最大值与最小值。解令得所以函数的最大值为，最小值为。题型2应用题一房产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去。当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需100元的维修费。问房租定为多少时可获得最大收入？从半径为的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大？解（1）设房租为元，总收入为元，此时租出公寓套，则驻点为即租出34套公寓，房租定为1800元时，总收入最大。（2）设余下部分的圆心角为时所卷成的漏斗容积最大，漏斗的底半径为，高为，则，此时即当余下的圆心角为时漏斗容积最大。三、习题选解习题34 1 解令得而，所以最大值为，最小值为。令得而，所以最大值为，最小值为。2解设油罐的表面积为，则，得，此时，即当，时表面积最小，此时。3 解设横梁强度为，矩形的宽为，高为，则。而，此时即4 解令得当日生产15单位时，日总利润最大。5 解依题意，则令，得。3.5曲线的凹凸性与拐点一、主要内容回顾曲线的凹凸性设在区间上连续，如果在区间上的曲线都位于它的每一点处的切线的上（下）方，则称曲线在区间上是凹（凸）的。或定义为：设在区间上连续，如果对于上任意两点恒有，则称曲线在区间上是凹（凸）的。拐点如果曲线在经过时，曲线的凹凸性改变了，就称点为这曲线的拐点。简单地说，曲线上凹弧与凸弧的分界点就是曲线的拐点。凹凸性的判定法设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则（1） 若在内，则在上是凹的；（2） 若在内，则在上是凸的。注：由拐点的定义及上述定理可知，若在的左右两侧附近，的符号不同，则为曲线的拐点。拐点可在二阶导数为零或二阶导数不存在的点处取得。二、基本题型及例题题型1判断题（1）若为曲线的拐点，则。（错）（2）若，则必为的拐点。（错）题型2选择题若二阶可导，且，时，则在内曲线（C）A单调下降，曲线是凹的；B单调下降，曲线是凸的；C单调上升，曲线是凹的；D单调上升，曲线是凸的题型3证明题证明：证设，则，函数在上是凹的。任取，有所以即题型4计算题求函数的凹凸区间及拐点。解函数的定义域为，令得，而在处不存在。0+不存在0凹拐点凸拐点凹，拐点为和。三、习题选解习题35 1 解（1），令得000凸拐点凹拐点凸，拐点为和（2），令得20凸拐点凹，拐点为（3），令得000凸拐点凹拐点凸拐点凹，拐点为2 解，因为为拐点，所以，解之得3 解令得000凸凹凸1凹曲线有三个拐点又，故三拐点在同一直线上。3.6函数图形的描绘一、主要内容回顾作函数图形的步骤确定函数的定义域、间断点、周期性、奇偶性；求出的一、二阶导数，及使它们为零和不存在的点；步骤中的点将定义域分成若干子区间，列表确定函数在各子区间上的单调性、凹凸性，求出函数的极值与拐点；求出曲线的水平、铅直渐近线；求出曲线上特殊点（极值、拐点、与坐标轴的交点）的坐标，补充一些点的坐标，用光滑曲线连接起来。二、基本题型及例题题型1填空题曲线水平渐近线为（），铅直渐近线为（）。题型2计算题讨论函数的单调性、凹凸性，并求极值与拐点及渐近线方程。解函数的定义域为。，在定义域内没有驻点，也没有导数不存在的点。得所以函数在内单调增加且为凸函数。三、习题选解习题361解定义域为，得驻点得00000增、凸拐点增、凹拐点增、凸极大减、凸极大值为，拐点为复习题三三解（1）（2）四解令得驻点令得012000增、凸极大减、凸拐点减、凹极小增、凹极大值为，极小值为，拐点为五证（2）设，它在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，存在使得而，所以六解设场地的长为m时所用材料费最少，此时场地的宽为m，材料费为令，得即当侧面长为15m，正面为10m时材料费最少。七解不妨设因为连续，由局部保号性知存在，当时，恒有故当时，由泰勒公式得由条件有因，所以当时，；当时，故不是极值点。当时，对应用拉格朗日中值定理，有即因，当时，；当时，故不是曲线的拐点。本章测试题一、判断题1函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，则利用拉格朗日中值中值公式求出的是惟一的。2若在内可导，且，则在内至多只有一个零点。3已知是函数的极值点，则必有二、填空题1函数在内单调增加，在内单调减少，极值为。2函数在-1,1上否满足罗尔定理条件。3曲线的水平渐近线是，铅直渐近线是。三、求下列极限1，2四、证明：当时，五、讨论函数的单调性、凹凸性，并求极值与拐点。测试题答案一、 错，对，错。二、 1（1,0），（0,1），大，0。2满足。3，三、 解12设，则，所以四、 证设，则当时设，则在内单调增加，所以，从而，在内单调增加，即。五、 解令，得驻点令，得-1(-1,1)1(1,3)3000增、凸极大减、凸拐点减、凹极小增、凹极大值为，极小值为，拐点为