静电场的基本规律

,2012级物理学专业,第一章 静电场的基本规律,前言（Preface),本章首先介绍电荷的基本概念，从实验事实出发，给出了库仑定律和叠加原理；从库仑定律和叠加原理出发，引入电场强度定义，证明了静电场的两个基本定理高斯定理和环路定理；举例说明了场强和电势的计算方法。,一、本章的基本内容及研究思路,本章讨论相对于观察者静止的电荷产生的场静电场。首先从静电现象的观察开始，认识电荷和物质的电结构，从实验得到二个基本的规律库仑定律和叠加原理。然后从库仑力是怎样作用的这一问题的讨论，引入电场，定义描述电场属性的两个物理量电场强度和电势，同时介绍描述电场的形象工具电场线和等势面。在理论体系方面，本章从库仑定律和叠加原理出发，导出静电场的两个定理高斯定理和环路定理，进而说明由已知电荷的分布求场强和电势的计算方法。,二、本章的基本要求,1.确切理解库仑定律和叠加原理； 2.正确理解电场强度和电势这二个基本概念，掌握计算场强分布和电势分布的几种方法； 3.掌握电通量的概念及电通量的计算方法； 4.掌握反映静电场性质的二条基本定理高斯定理和环路定理，正确理解电场的性质； 5.理解电场线的概念，掌握电场线的性质; 6.掌握场强的三种计算方法：叠加法，高斯定理法，电势梯度法和电势的两种计算方法： 场强积分法，电势叠加法,1 静电的基本现象和基本规律,电荷（electric charge)的种类:正、负电荷。自然界中只有两种电荷 原子内部质子带正电荷，电子带负电荷，中子不带电，由于正负电荷电量相等，所以整个原子对外不显电性。,自然界一切物质都是由原子（或分子）组成。原子是由带负电的电子和带正电的原子核组成。在正常情况下，两种电量相等，物体呈中性。当因某种原因（摩擦、加热、化学变化等）失去或获得一部分电子时，就成为具有吸引其他微小物体的性质的带电体。,允许电荷通过的物体叫导体，不允许电荷通过的物体叫绝缘体或电介质。导电性能介于导体和绝缘体之间的物体叫半导体。 物体具有不同的导电性，这可用物质的微观结构解释：,金属之所以导电，是因为内部存在许多自由电子，它们可以摆脱原子核的束缚而自由地在金属内部运动；酸、碱、盐的水溶液（电解液）之所以导电，是因为内部存在许多能作宏观运动的正、负离子；反之，在绝缘体内部，由于电子受到原子核的束缚，基本上没有自由电子，因而呈绝缘性质；在半导体中导电的粒子（叫做载流子），除带负电的电子外，还有带正电的“空穴”。,2、电荷守恒定律,实验表明：在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变。或者一个电孤立系统的总电荷是不变的。这个原理就是通常称之的电荷守恒定律。所谓“电孤立”系统，指的就是一个没有净电量出入其边界面的物质系统。例如光子不带电，故可以允许光线出、入该系统而不影响这个原理。,电荷守恒定律不管在宏观领域还是在微观领域都是成立的。在宏观过程中，物体电荷改变，往往是由于电子的转移而引起的，从一个物体转换到另一个物体（这就是摩擦起电现象）；从物体的一部分转移到另一部分（这就是静电感应现象）。在微观领域中，譬如在核反应和基本粒子的产生、湮没过程。,3、电荷的量子性,上述物质结构表明：在自然界中，任何带电体的电荷量值总是以某一基本单元的整数倍出现，这个基本单元就是一个质子或一个电子所带电量的绝对值“e”。 迄今我们所能测定的一切带电粒子的电荷，都准确地等于这个数值或其整数倍。 在基本粒子的夸克模型中，夸克被认为带有分数电荷，但未被实验发现。,这表明，量子现象不仅在微观领域存在，而且在宏观领域也存在。事实证明，在许多宏观领域都存在量子现象。,2 库仑定律 (Coulombs law),（一）库仑定律的建立,富兰克林(Franklin) 首先发现金属小杯内的软木小球完全不受杯上电荷的影响; 在Franklin的建议下，Priestel做了实验 提出问题,猜测答案,现象与万有引力有相同规律 由牛顿力学可知：球壳对放置在壳外的物体有引力，而放置在球壳内任何位置的物体受力为零。 类比：电力与距离平方成反比,设计实验,1769年罗比逊(Robison)首先用直接测量方法确定电力定律，得到两个同号电荷的斥力,两个异号电荷的引力比平方反比的方次要小些。（研究结果直到1801年发表才为世人所知）,卡文迪西（Cavendish）实验,1772年Cavendish遵循Priestel的思想设计了实验验证电力平方反比律，如果实验测定带电的空腔导体的内表面确实没有电荷，就可以确定电力定律是遵从平方反比律的即,他测出不大于 0.02（未发表，100年以 后Maxwell整理他的大量手稿，才将此结果公诸于世。,1785年库仑(Coulomb)测出结果,精度与十三年前Cavendish的实验精度相当 库仑是扭称专家; 电斥力扭称实验，数据只有几个，且不准确（由于漏电）不是大量精确的实验；,与万有引力类比得:,（二）库仑定律的表述,在真空中，两个静止的点电荷q1和q2之间的相互作用力大小和q1 与q2的乘积成正比，和它们之间的距离r平方成反比；作用力的方向沿着他们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。,讨论,k是引进单位制后引入的常数。,注意,上述公式并非都是大量实验的结果，是在事实基础上理性思维的结果。 如力的方向：分析点电荷受力：只能沿联线，否则空间旋转180就不对称了,（三）成立条件、适用范围、精度,条件：静止 真空 点电荷,点电荷：,静止：点电荷相对静止，且相对于观察者也静止,理想模型（已学过的） 质点 刚体 平衡态（热学）,点电荷：忽略了带电体形状、大小以及电荷分布情况的电荷。,真空条件,作用：为了除去其他电荷的影响，使两个点电荷只受对方作用。 如果真空条件破坏会如何？不仅只有两个电荷；总作用力比真空时复杂些，但由于力的独立作用原理，两个点电荷之间的力仍遵循库仑定律 因此可以推广到介质、导体,适用范围和精度,原子核尺度地球物理尺度 天体物理、空间物理,精度：Coulomb时代 1971年,3.补充电力叠加原理，利用库仑定律原则上可解决静电学中所有问题。,1.库仑定律只讨论两个静止（相对观察者和实验室参考系）的点电荷间的作用力。,2.库仑定律指出，两静止电荷间的作用力是有心力，它的大小与两电荷间的距离服从平方反比律。,说明,（4）原来库仑定律是 从两个静止点电荷得到的实验定律，后来大量实验事实表明，只要施力电荷静止，即使受力电荷运动，库仑定律仍然适用。因此库仑定律的适用条件可以放宽为：施力电荷必须是静止，受力电荷可以是静止的，也可以是运动的； （5）库仑定律和万有引力定律在数学形式上极为相似，不同的是，万有引力总是引力，库仑力可以是引力，也可以是斥力。注意这种相似和区别（是否有质的统一性是一个谜？）；,理论地位和现代含义,库仑定律是静电学的基础，说明了 带电体的相互作用问题 原子结构，分子结构，固体、液体的结构 化学作用的微观本质,都与电磁力有关，其中主要部分是库仑力,物理定律建立的一般过程,观察现象； 提出问题； 猜测答案； 设计实验测量； 归纳寻找关系、发现规律； 形成定理、定律（常常需要引进新的物理量或模型，找出新的内容，正确表述）； 考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等 。,（四）电量单位 MKSA制,1库仑：当导线中通过1安培稳恒电流时，一秒钟内通过导线某一给定截面的电量为 1C=1As 若F=1N, q1=q2=1C, r=1m 则 k=8.9880109Nm2/C2 9.00109Nm2/C2,库仑定律表示为：,（五）库仑定律的矢量形式,式中 表示点电荷1对2的作用力， 表示点电荷2对1的作用力； 代表点电荷1指向2的单位矢量， 代表点电荷2指向1的单位矢量， 显然 = ；点电荷1、2同性，F0，为斥力，否则为吸力。,（六） 静电力的叠加原理,库仑定理解决了两个点电荷之间的作用力问题，如果空间有两个以上的点电荷，或者体积不是很小的带电体，电荷之间的作用力又是怎样呢？这就必须补充另一实验事实实验证明，有多个点电荷存在时，任意两个点电荷之间的作用是独立的，不受其他电荷存在的影响，仍由库仑定律决定。即：作用在每一个点电荷上的总静电力等于其他各点电荷单独存在时作用于该点电荷静电力的矢量和，这就是静电力的叠加原理，也叫独立作用原理。,对于连续的带电体，有,注意理解：无限细分无限求和，体会求和与积分的区别与关系,库仑定律及静电力的叠加原理是整个静电学的基础。 （1）利用库仑定律的平方反比性质及静电力的叠加原理可以导出描述静电场的重要定理之高斯定理； （2）利用库仑定律的有心性及静电力的叠加原理可以导出描述静电场的另一个重要定理安培环路定理。 两个定理合在一起完整的描述了静电场。,作业,P39: 1.2.1、1.2.2、1.2.3。,3 静电场（electrostatic field),1. 场的概念,库仑定律加上叠加原理，原则上可以求解任意带电体之间的静电力。然而，电荷之间的作用是怎样进行的，库仑定律没有回答这个问题，正是对这个问题的不同解释以及由此而引起的长期争论，导致了场概念的建立和场理论的产生和发展，从此把人们引入一个新的极为重要的物质世界领域，电荷之间的相互作用是怎样进行的？我们知道，当我们推桌子时，通过手和桌子直接接触，把力作用在桌子上。马拉车时，通过绳子和车直接接触，把力作用到车上。,在这里，力都是存在于直接接触的物体之间的，这种力的作用，叫接触作用或近距作用。但是，电力（电荷之间的相互作用力）、磁力（如磁铁对磁块的吸引力）和重力等，都可以发生在两个相隔一定距离的物体之间，而在两个物体之间并不需要有任何由原子、分子组成的物质作媒介。围绕着这个问题，在历史上曾有过长期的争论，一种观点认为这类力不需要任何媒介，也不需要时间，就能够由一个物体立即作用到相隔一定距离的另一个物体上，这种观点叫超距作用观点。另一种观点认为这类力也是近距作用的，电力和磁力是通过一种充满在空间的弹性媒介“以太”来传递的。,近代物理学的发展证明，“超距作用”的观点是错误的，电力和磁力的传递虽然很快（3108m.s-1），但并非不需要时间，而历史上持“近距作用”的观点的人所假定的那种“弹性以太”也是不存在。实际上，电力和磁力是通过电场和磁场来作用的。上述两种观点可图解为：,相对于观察者静止的电荷产生的场叫做静电场，电荷是电场的源，所以叫做场源，也叫源电荷。,场是一种特殊的物质，他不像实物那样由电子、质子和中子构成，他一般不能凭人们的感官直接感觉到它的存在，因此它的物质性初学者往往难以理解。 我们可以从它间接表现出来的物质属性而感觉到它的真实存在，因物质的任何一种属性，总是通过它和其他物质的相互作用表现出来的，电场的属性也是通过它和其他物质的作用表现出来的。把电荷q0放在电场中，就会受到电场力的作用，由此可见，电场对置于其中的电荷有“施力的本领”，有“力的属性”。如果说电荷q0在电场力作用下从静止开始运动，电场力就会对电荷q0做功，如果不存在其他作用力，这个电荷的速度就会越来越大，这就说明，电场还有做功的本领，有“能的属性”（电场具有能量）。,2、电场强度矢量（描述电场性质或特征的量）,电场的描述：电荷产生电场，电场在空间要有分布，电场要有自身的性质，我们自然想到要找一个合适的物理量来描述电场，这个物理量要能体现电场本身的性质及场的空间分布情况。怎样寻找这个物理量呢？我们可以通过电场对处在其中的电荷有作用力的性质来测量电场，从而找到描述电场自身特点的物理量-电场强度矢量。 在数学上，电场强度是一个空间矢量点函数。,下面，我们首先研究静电场的“力的属性”。将引出电场强度概念来描述电场的这种属性。 为了定量地描述电场，必须在电场中引入一电荷以测量电场对它的作用力。为了使测量精确，这电荷必须满足以下一些要求。首先，要求这电荷的电量 充分小，因为引入这电荷是为了研究空间原来存在的电场的性质，如果这电荷的电量 太大，它自己的影响就会显著地改变原有的电荷分布，从而改变了原来的电场分布情况。其次，电荷的几何线度也要充分小，即可以把它看做是点电荷，这样才可以用它来确定空间各点的电场性质。今后把满足这样条件的电荷 叫做试探电荷。,实验指出：检验电荷q0放入电场不同地点时，q0 所受力的大小和方向逐点不同，但在电场中每一给定点处，q0 所受力的大小和方向都是完全一致的，如果在电场中某给定点处我们改变 q0 的量值，就发现，q0 所受力的方向仍然不变，但力的大小却和 q0 成正比地改变，即F/ q0是一个与q0大小、正负无关的恒量。这说明比值定义为该点的电场强度，简称为场强，用 表示:,可见，电场强度是描述电场性质的物理量，某点的电场强度是这样一个矢量，它的大小等于单位检验电荷在该点所受电场力的大小，它的方向就是正检验电荷在该点所受电场力的方向。但应注意，某点的电场强度与该点是否存在电荷无关，因为该点电荷仅起检验作用！ 在国际单位制中，力的单位是N，电荷量的单位是C，所以场强的单位是N/C，场强的单位也可以写成v/m，这两种表示法是一样的，在电工计算中常采用后一个单位。,是矢量点函数，矢量的总体称为矢量场，它是一种空间分布！“求某一带电体激发的电场(的分布)”就是指求出场强与坐标的函数关系 。 从场的观点来说，一个电荷对另一个电荷的作用包含两个同时发生的过程，点电荷q1在周围产生电场，这个电场对置于其中的另一点电荷q2施加电场力，由此可见，库仑定律实质上就是电荷间作用的两个过程的综合描述。,3、电场强度的计算,(1)点电荷Q 激发的场强,以点电荷Q 所在处为坐标原点O，取任意距O为r的点(任意一点)P为场点，设想把一个试探电荷q放在P点，根据库仑定律，q 所受的力为:,根据场强的定义式，得到P点的场强为:,(2) 场强迭加原理,若电场是由点电荷系 共同激发的，由电场力叠加原理，检验电荷 在场点 p 所受电场力等于各个场源点电荷单独存在时作用于 的电场力的矢量和。即,由电场强度定义， P点场强,上式表明，点电荷系电场中任一点的场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。这个结论称为场强叠加原理。,(3)电荷连续分布情况,图例:,如果电荷的分布是连续的，即不能认为是点电荷，根据不同的情况，把电荷看成在一定体积内连续分布、在一定曲面上连续分布、在一定曲线上连续分布。在这些情况下，首先将电荷的分布看成由许多较小的电荷元dQ 所产生的场强为:(点电荷的场强公式,但微元对微元,体现无限细分思想),由此连续分布总的电荷在P点的场强为 （积分体现无限求和）:,要注意矢量积分的复杂性!,为了方便讨论，对于连续分布的电荷，需要引入电荷的体密度、面密度、线密度概念。,电荷体分布：,电荷面分布：,电荷线分布：,(4) 连续分布的电荷的电场计算,例1 在真空中，一均匀带电直导线MN，其长度为l，带电量为q，求在导线一旁距离为a的P点的场强。,Solution:,a).建立坐标系，取xoy坐标系，电场 与z无关。,由图可见,从而,b).电荷元dq在P点的场,即:,解得:,例3 求均匀带电园盘轴线上一点的场强，已知园盘半径为R，电荷面密度为。,例4 求均匀带电球面内、外一点的电场强度（设面电荷密度为 ，半径为 ）,作业：P40 1.3.6、1.3.7、1.3.8,4 高斯定理 (Gauss theorem),已知:电场强度的定义，部分带电体的电场的分布的计算; 电场的性质? 一个侧面:高斯定理,基础:库仑定律和静电力的叠加原理; 一个通量定理,静电场的一个重要定理.,一、电通量,通量:描述矢量场性质 流体力学中的流量,如图，在流速场中（在流体中，速度v是一个矢量函数，整个流体是一个速度场） ，取一微小面元s,n为面元s的法线方向的单位矢量.,单位时间内流过S的流体体积叫做S的通量，S很小，认为其上各点的流速v处处相等。单位时间内通过S的流体体积，在数值上等于以S为底以v为母线的柱体体积，即,将上面通量的定义推广到任意矢量场 ，则,（称为矢量 对面元 的通量）,电场强度矢量的通量称为电通量。设电场中某一点p的场强为E，包含P点取一面元 ，n为面元法线方向的单位矢， 为E 和n 之间的夹角。定义：面元 上的电通量为,即场强 与面元 在场强方向的投影的乘积就是面元 上的电通量。,（2）电通量是场强 在曲面上的积分量，它不仅与场强有关，还与曲面的大小、方向有关，因此，它不是点函数，只能说某曲面的电通量，不能讲某点的电通量。,（3）对有限曲面S，则面上各点场强大小和方向一般是不同的，这时可以把此曲面分成无限多个面元ds,整个曲面S的电通量 就是所有面上的电通量的代数和，即面积分为,对封闭曲面，其电通量为,表示沿整个闭合曲面积分。注意一个曲面的法线式两有正、反两种取法，对于非闭合曲面来讲，法线矢量的正方向可任意选取；但对于闭合曲面来讲，它把空间划分为内外两部分，其法线矢量的两种取向就有了特定的意义，通常规定外法线矢量为正。,电通量比较抽象 功的定义也很难理解，但有了功能关系后，功原来就是机械能转移和转化的一种量度，定义为力和位移在力方向的投影的乘积，能够对机械能的转移和转化作出定量的描述。 电通量的概念也一样，学了高斯定理后就会明白，这样定义能够描述场和场源的某种关系，揭示静电场的一个重要规律。,关于立体角,平面角:一个园，其半径为r，弧长为 那么平面角为：,整个圆周所张的角：,对于两个同心圆，半径不同，弧长也不同，但可对应同一个平面角，即,（与半径r的选择无关）,注：立体角的概念：面元dS对一点(球心)所包围的一个范围,可以想像成为一个锥体的顶角,称为立体角,仿照度量平面角的方法,有,闭合面S对其内任一点所张的立体角等于以该点为球心的球面所张的立体角，即,= 2,二、 高斯定理,实际地计算电场中任一曲面，尤其是闭合曲面的电通量？1839年，德国科学家高斯在这方面作了重要工作.高斯定理：静电场中任意闭合曲面s的电通量e，等于该曲面所包围的电荷的代数和qi除以0，与闭合面外的电荷无关。这里s通常是一个假象的闭合曲面，习惯上叫高斯面。其数学形式为：,静电场的基本方程之一, = =1 0,定理的证明:根据库仑定律和场强叠加原理,从特殊到一般,(1) 点电荷在球面S的球心：,当点电荷q0时，球面上各点场强方向与该点所在面元法线方向相反，整个球面的电通量为负，上式仍然成立。 结果的重要性: 电通量e与球面半径r无关。,(2) 点电荷偏离球心:以点电荷为中心，取一个球面，根据点电荷的电场分布和立体角即可证明。,(3) 点电荷在任意闭合曲面内,(4)点电荷在闭合曲面外：正的通量等于负的通量，总通量为零。,(5)曲面内外均有多个电荷,证毕,高斯定理物理内容深刻，重要，逐渐体会。 几点讨论： a) Gauss定理与库仑定律不是两个独立的物理定律，只是用不同的方式表达同一定律，Gauss定理取决于相互作用平方反比的性质，还取决于作用的迭加性质，它揭示了场与场源间的联系，是库仑定律的逆定律。 b) 高斯定理只告诉我们，闭合面的总通量仅由面内的电荷决定的，并没有说面上各点的场强仅由面内的电荷产生。场强仍应理解为所有电荷（包括闭合面外的电荷）的总场强，要注意区别 的通量和 本身。,c) 是代数和，当 时并不意味着闭合面内一定没有负电荷，也不意味着闭合面上一定没有负的通量，但是闭合面的总通量必然为正。反之，当 时，并不意味着闭合面内一定没有正电荷，也不意味着闭合面上一定没有正的通量，但是闭合面的总通量必然为负。所以要注意区别闭合面上的部分通量和总通量。 d) 当 时，并不说明闭合面内一定没有电荷，而可能是有等量异号的电荷，同时，它只能说明闭合面的总通量为零，而并非面上的场强处处为零。,高斯定理的微分形式（静电场的散度）：,利用数学中的高斯定理得，,式中微分算符 。 所以有，,上述微分方程表明：真空中某处电场强度的散度为该处电荷体密度除以0，电场为有源场。,高斯定理的应用举例：,定理具有普适性,但能够直接运用高斯定理求出场强的情形，电场的分布必须具有一定的对称性。,例1 求无限长均匀带电导线（电荷线密度为）的场强。 分析：场的分布有怎样的对称性？高斯面怎样作？(作题时必须说明,下同) 解：以导线为轴作高为l的圆柱面（高斯面），,l,通过Gauss面的通量为：,Use Gauss theorem,we yield,写成矢量形式为,例2 求无限大均匀带电平面的场强，电荷面密度为。,分析：场的分布具有怎样的对称性？高斯面怎样作？,通过Gauss面的通量为：,由Gauss theorem可得,写成矢量形式，即为,思考：两带等量异号电荷相互平行的无限大平面之间的场强为 ，外部场强为 。,0,例3 求均匀带电球面内外的场强分布，球面半径为R，所带电量为q。,类似分析：,可见，利用高斯定理的关键在于对称性分析，其次是高斯面的选取，一般做法：高斯面的各个部分或者与 平行，或者与 垂直；与 垂直的那部分高斯面上，各点的场强应相等。 利用高斯定理求场强， 只体现这个定理重要性的一个方面，更重要的意义在于它是静电场两个基本定理之一。,作业 P41 1.4.1、1.4.4、1.4.6、1.4.7、1.4.8,5. 电场线（line of electric field) 一、Line of electric field 电场线是为了形象地描绘电场而引进的，它是空间的一组曲线。为了使电场线既能表示场强的方向，又能表示场强的大小，我们规定： （1）曲线上各点的切线方向就是该点电场强度 的方向这样就把电场线与场强的方向联系起来了； （2）曲线的疏密程度跟该处的电场强度成正比，或者说通过垂直于场强的单位面积的电场线数目等于 这样又把电场线和场强的大小联系起来了。,二、电场线的性质,从各种带电体的电场线的共同特征，可以归纳出静电场的电场线有如下一些性质： 性质一:电场线发自正电荷（或无限远），终止负电荷（或无限远），在无电荷处不中断。 性质二:电场线不能构成闭合曲线。 性质三：任何两条电场线不相交。 注意:电场线是人们为了形象地表示出电场的强弱和方向而引入的，它不是电场中实际存在的线，更不要认为电场线是电荷在电场中的运动轨迹，这是因为电场线的切线方向是电荷受力的方向不是运动速度的方向。,电场线的第一个性质，实际上是高斯定理的必然 结果，也可以说是高斯定理的 几何表述，说明电荷是静电场的源；第二个性质实际上是静电场的另一个重要定理环路定理的必然结果，也可以说是环路定理的几何表述，说明静电场力做功和路径无关。理论上可以证明，静电场是由高斯定理和环路定理共同确定的，在一定的边界条件下，已知电荷分布产生的电场是唯一的。 因此，电场线的两个性质实际上是静电场性质和 规律的反映。现阶段用静电场两个基本定理作定量讨论存在一定困难，但我们可以用电场线，对某些问题作定性的讨论，得出定性的结果。,6 静电场的环路定理,前几节我们从库仑定律出发，研究电场对电荷的作用力，定义了电场强度这一重要概念，证明了高斯定理，本节开始，我们要从另一个角度，即从电荷在电场中移动时电场力作功的角度来研究静电场，将引出电位这一重要概念，并得到静电场的另一重要定理。其基础仍是库仑定律.,1、静电场力作功与路径无关 a) 单个点电荷产生的场 在点电荷Q的电场中,试探电荷q由a移到b,在此过程中，电场力要作功。,由于各点的场强不一样，所以是一个变力作功的问题，,需要对各段 的元功进行积分，,设由c到d这一段位移为 ,它与场强 的夹角为,这一段元功为,因为库仑力为径向力,所以元位移 在电场力方向的投影为,所以,这结果表明，当Q和q确定后, 电场力所作的功只取决于运动电荷的始末位置而与路径无关。,b)多个点电荷产生的场,根据场的叠加原理， .故总电场力为：,总功为:,展开后得到：,由此可见，当点电荷 q 在任意静电场中运动时，电场力所作的功只取决于运动的始末位置与路径无关。说明了静电场是“势场”（位场）。,c) 连续分布的带电体产生的场 可以把连续分布的带电体看成由无数多个点电荷组成，因而上述结论也是成立的。,当点电荷 q 在静电场中沿任意闭合路径L绕行一周，电场力做功的数值应该为 。,2、静电场的环路定理,在环路L上任取两点A和B把L分成两部分L1和L2，于是,A,B,L2,L1,由静电场力作功与路径无关这一性质可知：,所以总功,即：,该式表明：电场力沿闭合路径一周对单位正电荷所作的功为零，或者说场强沿任意一个闭合路径的线积分（环流）等于零。这个结论反映了静电场特性的又一重要性质，称之为静电场的环路定理。,静电场的环路定理是场力作功与路径无关的必然结果，其两者在物理意义上是等价的。,由 可得电场线的一条重要性质：“电场线不能构成闭合曲线”，为了证明之，假有一条电场线是闭合曲线，沿这条曲线计算场强的线积分 ，由于 的方向处处和 的方向一致，将得到 ， 这与环路定理矛盾，所以电场线不能闭合。,静电场的环路定理的微分形式（静电场的旋度）： 由数学中的斯托克斯公式得， 所以，,l,S,上述微分方程表明：静电场中电场强度的旋度为0，静电场是无旋场。,3、电势（位）和电势（位）差,我们以“电场力做功与路径无关”的性质为基础，以功能原理为依据，讨论电场力做功和电势能变化的关系，再此基础上定义电势的概念，说明电势的意义，最后介绍电势的计算方法。 （1） 电势能 电场力做功与路径无关，静电场与重力场相似，也是保守场，也可以引入电势能的概念。,分析：当检验电荷 从a点移到b点，电场力要做功，而功是能量转化的量度，这说明 从a点移到b点有能量变化。不管 从a点沿哪一条路径移到b点，电场力对电荷 做的功都是相同的，这说明电荷 在ab两点的能量差是一定的，其值由这两点的位置决定。这种由电荷在电场中的位置决定的能量，叫做电势（位）能。显然，电势能是电荷 和电场共同具有的。检验电荷在ab两点的电势能，分别用 表示。,当电场力要做正功时:,由功能原理：,当电场力要做负功时:,电势能和重力势能一样 ，也是一个相对量。只有先规定电荷在某一参考点的电势能为零，才能确定电荷在其他位置的电势能，如果选b为参考点，即,电势能可正、可负，电势能的单位为焦耳。 说明一点：电荷q在静电场中之所以有电势能，是因为q与场源电荷之间有电力作用的结果。故电势能并非属于电荷q，而是属于q与场源电荷所组成的系统。习惯上，说q在某点的电势能，这是因为在所讨论的问题中，场源电荷的位置不动，系统的能量有变化时，只是可动的试探电荷q的位置变化的结果。 电势能的概念属于带电体系。,它反映了电场本身在P点的性质，因此我们定义：电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量的比值，叫做该点的电势：,（2）电势,它是反映电场本身“能的属性”的物理量，与场中是否存在电荷无关。 要注意，电势和电势能是两个不同的概念，不能混为一谈。,由此可见，场中任一点总的电势等于各电荷在该点电势的总和（因为电势是标量，总和是代数和），这个结果就是电势的叠加原理总电势等于各个点电荷电势的代数和。,这里可见：因为“ ”没有意义，说明选择无限远为参考点是不行的。,b) 若选带电线上为参考点，即选r=0 处为参考点，则,在圆环上取小元段dl，把它看作点电荷，它在P点的电势为：,即有:,由电势叠加原理得到，P点总电势等于各元段电势的总和。,即:,方法二：用场强积分方法,因为P点的场强为 因此得到：,即：,(5) 均匀带电球面，其半径为R，电量为q,q,0,R,B,C,A,运用Gauss theorem 得到,球外一点A的电势：,球内一点B的电势：,如图所示，设A、B为两个靠的很近的等势面，电势分别为V和V+V，在两等势面之间沿法线方向取一线段ab，其长度为n.因为很短，其上各点场强可以认为相等。由电势差的定义，a、b两点电势差为：,上式表示，电场中某点的场强等于该点电势沿等势面法线方向（即场强方向）的方向导数的负值，负号表示场强方向沿电势降落方向。,从上式可以看出，对于一定的V，若n短，则场强大；若n长，则场强小。这说明等势面密处场强大，疏处场强小。,取极限得:,由上图所示，在两邻近等势面之间取任意方向的线段ac，其长度为l，与E的夹角为 ，由电势差的定义，a、c之间的电差为,由此得：,叫做电势沿l方向的方向导数.上式表示，电场中某点的场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的方向导数的负值。,如果我们把l方向分别取为直角坐标x,y,z轴方向，电场中任一点的场强E的三个分量：,这样，如果电势函数已知，通过对x,y,z求偏导，就可求出场强E的三个分量，从而求得E本身。 在上面三式两边分别加上x,y,z方向的单位矢量并相加得,式中，V称为V的梯度。可见，场强矢量等于负的电势梯度。,作业,P42 1.5.1、1.5.2、1.6.1、1.6.2、1.6.4,高斯 (1777-1855),高斯是德国数学家 ，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称,高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高理的数论研究 总结 在算术研究（1801）中，这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典着作之一。,库仑 (1736-1806),电学是物理学的一个重要分枝，在它的发展过程中，很多物理学巨匠都曾作出过杰出的贡献。法国物理学家查利奥古斯丁库仑就是其中影响力非常巨大的一员。,库仑在1736年6月14日生于法国昂古莱姆。库仑家里很有钱，在青少年时期，他就受到了良好的教育。他后来到巴黎军事工程学院学习，离开学校后，他进入西印度马提尼克皇家工程公司工作。工作了八年以后，他又在埃克斯岛瑟堡等地服役。这时库仑就已开始从事科学研究工作，他把主要精力放在研究工程力学和静力学问题上。 1806年8月23日，库仑因病在巴黎逝世，终年七十岁。 库仑是十八世纪最伟大的物理学家之一，他的杰出贡献是永远也不会磨灭的。,