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3数学归纳法与贝努利不等式 31数学归纳法 32数学归纳法的应用,1理解数学归纳法原理 2能运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，掌握数学归纳法的步骤 3会用数学归纳法证明贝努利不等式 4了解贝努利不等式的应用条件.,学习目标,1.应用数学归纳法证明不等式(重点) 2贝努利不等式的应用(难点),学法指要,预 习 学 案,1已知某个命题与正整数有关，如果当nk(kN)时该命题成立，那么可以推得nk1时该命题也成立现已知n5时该命题不成立，则n4时该命题_,不成立,1数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立； (2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*)时命题成立，证明当 n_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 2对任何实数x1和任何正整数n，有_，称为贝努利不等式,n0,nk,k1,(1x)n1nx,解析：左端1aa2an1 共n2项，当n1时an1a2 左端1aa2. 答案：C,答案：B,3设凸k边形内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_. 解析：由凸多边形性质知多加了一条边内角和比原来多了. 答案：,课 堂 讲 义,思路点拨要证明的等式左边有2n项，右边有n项，f(k)与f(k1)相比，左边增加二项，右边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此，由nk到nk1时要注意项的合并,用数学归纳法证等式,思路点拨用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关 从nk到nk1，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项,思路点拨用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧，变换出要证明的目标不等式,数学归纳法证明不等式,数学归纳法解决探索型不等式问题,思路点拨利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察归纳猜想证明即先通过观察部分项的特点进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明,(1)数学归纳法的概念： 先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法 (2)数学归纳法适用范围： 数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明,数学归纳法,在用数学归纳法证明不等式问题中，从“nk”到“nk1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“nk”到“nk1”，只用拼凑的方法，有时行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“nk”到“nk1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构,用数学归纳法证明不等式,如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，那么有(1x)n1nx. 证明：(1)当n2时，由x0得(1x)212xx212x，不等式成立 (2)假设当nk(k2)时不等式成立即有(1x)k1kx. 当nk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x. 所以当nk1时不等式成立,贝努利不等式,由(1)(2)可知，贝努利不等式成立 把贝努利不等式中的正整数n改为实数a时，仍有类似不等式成立，它们是贝努利不等式的更一般的形式： 当a是实数，并且满足a1或者a1)； 当a是实数，并且满足01),这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了.,观察、归纳、猜想、证明的方法,
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