第二部分一维随机变量

第二章第二章 一维随机变量一维随机变量1.随机变量的定义及其分布函数随机变量的定义及其分布函数2.离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数一、随机变量一、随机变量随随机机试试验验的的结结果果数量化随随机机变变量量。10 ,()正正反反即即例例1 抛一枚硬币，观察出现的正反面抛一枚硬币，观察出现的正反面0 t|t ()t,t随随机机变变量量的的优优点点：可可以以用用数数学学分分析析（微微积积分分）的的方方法法来来研研究究随随机机试试验验。随随机机变变量量的的分分类类：3)奇异型随机变量奇异型随机变量注注1.随机变量具有两重性（取值，概率随机变量具有两重性（取值，概率 ）注注2.随机变量的自变量为随机变量的自变量为 ,值域为值域为R的子集的子集 2.1.1 定义在(概率空间下，若对任意 有则实值函数 （）,称为随机变量。又称为可测的的随机变量（记为,A,P)xR,A|()x F,()Fr.v.),F 111nnr.v.P|()x,xR|()x lim|()xn|()xFnP|()x,xR 由由的的定定义义可可知知，都都存存在在。又又也也都都存存在在2.1.2 定义设 定义在（上的称为 的分布函数，简记为或,F,P)r.v.,xR,F(x)P|()x Px F(x)F(x).F(x),r.v.F(x)F(x)注注：但但反反之之不不然然，即即同同一一分分布布函函数数可可对对应应不不同同的的随随机机变变量量若若的的分分布布函函数数为为，记记为为2 1)2)注注、分分布布函函数数的的实实质质：分分布布函函数数是是一一个个概概率率，是是随随机机变变量量在在区区间间的的概概率率虽虽然然是是一一个个点点函函数数，实实际际上上是是一一个个区区间间的的函函数数11)()2)P aba 注注、分分布布与与分分布布函函数数的的区区别别：分分布布：落落在在某某个个区区间间的的概概率率分分布布函函数数：落落在在区区间间(-,(-,上上的的概概率率以上三条性质是随机变量分布函数的特征性质。以上三条性质是随机变量分布函数的特征性质。说说明明：若若Xa b,，则则当当ax时时，xX 是是不不可可能能事事件件，这这时时，0)(xXPxF；当当bx 时时，xX 是是必必然然事事件件，这这时时，1)(xXPxF。121122 (),(),01,()()()例3是两个分布函数，为两个大于 的常数，试证明也是分布函数.F x F xa babF xc F xc F x12(),()0()F x F xabF x 分分别别对对应应离离散散型型，连连续续型型随随机机变变量量且且时时，则则为为非非离离散散非非连连续续型型的的分分布布函函数数.21().1 (2)0(3)0例4是否可以作为某一的分布函数.(1)-F xr vxxxx (1)()0()10F xxF xx 不不单单调调(2)(2)单单调调下下降降(3)(3)若若定定义义 sin()30,(2)0,(3)0,22例5在以下区间是否为分布函数.(1)x 1216 121例求：的分布函数()(2)若令求 的分布函数()P(),()F x,F x 1111100121 11212311111110111 1211x,P(x)P(),F(x);()x,),P(x)P(F(x)()x,),P(x)P()P()P()P()F(x),x(,),F(x),x,),x,).解解：(1)(1)当当当当），；当当121112P()P()F(x)F(x)注注1 1：与与 的的分分布布函函数数虽虽然然相相同同，但但它它们们是是不不同同的的随随机机变变量量。2 iixxF(x)Px)P(x)注注：离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布函函数数P(ab)F(b)F(a)1P(b)F()F(b)F(b).110nnP(a)limP(a)limF(a)F(a)nn 0P(a)P(a)P(a)F(a)F(a)00P(ab)F(b)F(a)；。分布函数可以计算各个区间的概率分布函数可以计算各个区间的概率二、离散型随机变量二、离散型随机变量 及其概率分布列及其概率分布列定义定义2.1.3 阶梯型的分布函数对应的随机变量阶梯型的分布函数对应的随机变量 称为离散型随机变量。称为离散型随机变量。1 2iiiiiF(x)c(,xa,b)(i,.)a,b)R 阶阶梯梯型型函函数数,若若满满足足 常常数数）且且即即在在可可列列个个区区间间上上取取常常数数值值的的函函数数1210 1 21inniiiixxP(a)F(a)F(a).x,x,.x,.,P(x)p(i,.),p 又又当当时时，离离散散型型随随机机变变量量的的一一个个等等价价定定义义：的的可可能能取取值值为为对对应应的的概概率率可可用用概概率率分分布布列列或或分分布布律律来来表表示示：1 2 30,只只有有在在点点处处的的概概率率不不为为对对离离散散型型随随机机变变量量，若若已已知知分分布布律律，就就可可求求出出它它的的分分布布函函数数。,1,0)(21321211npppppppppxFnxxxxxxxxxxxxx4332211xxiixXPxXPxF)(nipxXPii,2,1,例如例如:图图形形特特点点：右右连连续续，台台阶阶形形 F x()1 pkki1 pp12 p1 x1 0 x2 x3 xi xi1 xn x解解：X的的分分布布函函数数为为F x(),.,.,00 250 751 332211xxxxP XP X.,1210 25PXP X.,32522059 例 设 是离散型随机变量，分布列为：2q;求求：(1)(1)（）的的分分布布函函数数解：解：3111iiipp,由由，及及0 0可可得得22211121221012102111qqqqqqq 2212010 51 00 5121 00 5121iixxqF(x)P(x),x.,x,)F(x).q,x,).qq,x,)取取，再再利利用用，得得010 51 020 50 111,x.,x,)F(x).,x,),x,)例例10 一汽车沿街道行驶，需经过三个设红一汽车沿街道行驶，需经过三个设红绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿绿灯的道口，若每个道口信号灯显示红绿灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立，灯的时间相等，且各信号灯工作相互独立，以以 记该车首次遇到红灯前已通过的道口记该车首次遇到红灯前已通过的道口数，求的概率分布。数，求的概率分布。0 1 2 30 5 iiii,AiAP(A)P(A).解解：的的取取值值范范围围为为，“在在第第 个个路路口口遇遇红红灯灯”则则相相互互独独立立，100 5P()P(A).2121210 5P()P(A A)P(A)P(A).312312320 5P()P(A A A)P(A)P(A)P(A).312312330 5P()P(A A A)P(A)P(A)P(A).，三三.连续型随机变量连续型随机变量 及其密度函数及其密度函数则称为则称为 连续型随机变量，连续型随机变量，称为的概称为的概率密度函数，简称为密度函数。率密度函数，简称为密度函数。定义定义2.1.4 设随机变量设随机变量 的分布函数的分布函数为为 ，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数 ，使，使得对得对 ，有，有)(xFp(x)xR xF(x)p(t)dt p(x)，密度函数的性质，密度函数的性质，(1)非负性：非负性：(2)规范性：规范性：0p(x)1p(x)dx 例例11（均匀分布）已知随机变量（均匀分布）已知随机变量 的密度的密度函数为：函数为：,(,)()0,cxa bp x 其其它它试求常数试求常数c及其分布函数。及其分布函数。解：利用规范性解：利用规范性1()()bap x dxcdxc ba 1cba 1,(,)()0,xa bp xba 其其它它(,)(,)a bU a b称称 服服从从上上的的均均匀匀分分布布，记记为为利用分布函数是密度函数积分的定义得利用分布函数是密度函数积分的定义得 ,)()()()()()10()01.xabxabbbaaxbF xp t dtp t dtp t dtp t dtp t dtdtba 当当时时，()00 xxaF xdt 当当时时，,)()()()()110();xaxaxaxa bF xp t dtp t dtp t dtdtxababa 当当时时，0,(,)1()(),)1,)xaF xxaxa bbaxb 00 ()()(0)()lim()0()xxxxPxF xF xp t dtp t dtF x 是是连连续续函函数数注注3:连续型随机变量在计算概率时可不区分连续型随机变量在计算概率时可不区分 开、闭区间开、闭区间 注注1：连续型随机变量的分布函数是连续的：连续型随机变量的分布函数是连续的注注2：连续型随机变量在单点的概率为：连续型随机变量在单点的概率为0112233123 关于分布函数的一些结论：(1)分布函数至多只有可列个不连续点(2)分布函数有分解：离散型连续型（连续且可表示成积分的形式）奇异型（连续但不可表示成积分的形式）F(x)c F(x)c F(x)c F(x)F(x)F(x)F(x)1 11115 8P X(,)P(X)P(X)11 11 112P X(,)|X(,)k 由由，可可得得1 1155711181616Xx(,)xF(x)P XP X,x(x)当当时时，（,(,)(,()()()baPa bPa bPa bF aF bp t dt|()()x x Ix x IPIp x dtdF x p(x)P已已知知求求已知分布函数，求密度函数已知分布函数，求密度函数1)()()()()2)()()在的可导点处（即在的连续点处）有在的不可导点处，可任意取值F xp xdF xp xdxF xp x 20 02()01 例13 ，求概率密度函数xxF xxRRxR 2,()()0)xRRF xxRp R(当当时时，左左导导数数为为右右导导数数为为0,0,在在时时不不可可导导，可可规规定定为为220 ()0 xxRp xR 解解：其其他他000,()()()lim()=lim()()()xxxF xxF xp xxP xxxxxP xxxp xxp xx 若若当当较较小小时时，即即反反映映了了 取取 邻邻近近值值的的概概率率大大小小p(x)的的含含义义：(1)()()(2)()0,1(3)0.kip x dxpp x dxpp x 注注1 1：，不不一一定定要要连连续续，也也不不局局限限于于在在处处，为为200.(3)0 1注注：(1)(1)连连续续型型单单点点处处的的概概率率为为.(2)(2)离离散散型型单单点点处处的的概概率率不不一一定定为为一一个个事事件件的的概概率率为为，不不一一定定是是不不可可能能事事件件；一一个个事事件件的的概概率率为为，不不一一定定是是必必然然事事件件。解解：(1)()x dx 1，kedxx301，kex13130，k3，即即 (),xexxx30003(2)P Xx dxedxx(.)().01330 10 1 ex30 10 7408.(3)当当x 0时时，F xdxx()00一一般般，随随机机变变量量X的的分分布布密密度度为为(),xexxx000，0，则则称称X为为指指数数分分布布，记记为为e()。（常常用用在在产产品品的的寿寿命命）当当x 0时时，F xdxedxxx()03030 eexxx3031F xexxx(),10003四、四、常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布()1,()单点分布记为PCI xC01,xcF(x),xc 分分布布函函数数为为：两点分布两点分布特例：特例：0-1分布分布a.随随机机变变量量X的的取取值值范范围围：0，1.(即即样样本本空空间间只只含含有有两两个个基基本本事事件件.)b.分分布布律律：P Xmp qmpqmm(),;1011或者：或者：二项分布（二项分布（Binomial Distribution）(,)B n p(),0,1,2,kn knPkp qknk (,)B n p 记记为为B(n,p),B(n,p),注注：若若不不能能推推出出nAk（次次伯伯努努利利试试验验中中 成成功功 次次的的概概率率）xp(x)0B(20,0.25)B(20,0.5)B(20,0.75)10.523二二项项分分布布的的图图形形：）p=0.5p=0.5时时是是对对称称的的，p p离离越越远远，分分布布越越 不不对对称称，但但n n越越大大，不不对对称称性性越越不不明明显显。）图图像像是是先先升升后后降降的的，有有极极大大值值点点。）当当(n+1)p(n+1)p是是整整数数时时，（n+1)p-1n+1)p-1和和（n+1)pn+1)p 同同时时取取得得最最大大值值；当当（n+1)pn+1)p不不是是整整数数时时，(n+1)p(n+1)p取取得得最最大大值值解解：分分析析：找找一一个个m，使使P XmP Xm()()1，且且P XmP Xm()()1。当当()np m 10，即即mnp()1时时，P X mP X m()()1当当()np m 10，即即mnp()1时时，P X mP X m()()1这这时时，P XmP Xm()()0011，P XmP XmC p qCpqn mmpqnp mmpnmmn mnmmn m()()()()111111111)当当()np 1是是 整整 数数 时时，取取mnp01()，则则P XmP Xm()()001都都是是最最大大值值。2)当当()np1不不是是整整数数时时，取取mnpnp011()()，这这时时有有P XmP Xm()()001，而而mnp011()，所所以以，P XmP Xm()()001。最最后后得得：P Xm()0是是最最大大值值。事件事件A发生的次数发生的次数不到不到k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数多于多于k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数不少于不少于k次的概率：次的概率：事件事件A发生的次数发生的次数不多于不多于k次的概率：次的概率：)()1()(nPkPkPnnn)()1()0(kPPPnnn)1()1()0(kPPPnnn)()2()1(nPkPkPnnn二项分布常用公式二项分布常用公式:14142500003500(15)(,2500,0.002)0.0020.998kkkkPB kk 10250001200 250020000010000001025000.0020.998(10,2500,0.002,)0.986395kkkPPkBINOMDIDSTTRUE 单位时间内，电话呼唤次数，公共汽车站单位时间内，电话呼唤次数，公共汽车站的乘客人数，机场降落的飞机数等；的乘客人数，机场降落的飞机数等；0tP(t),Poisson 若若不不是是单单位位时时间间，而而是是 到到 这这段段时时间间，则则为为称称为为“流流”。P(x)x0=2.5=5=10注注意意：泊泊松松分分布布是是非非对对称称的的，但但是是，越越大大，非非对对称称性性越越不不明明显显。H(n,N,M)记记为为H(5,10,100)H(10,10,100)H(20,10,100)p(x)x13570001rrkkMNMknkP(k)Nn 需需验验证证规规范范性性，即即0rkMNMNknkn 上上式式等等价价于于0011NNNN kkkkkNN(x)xxkk 000011MNMMNMksksM NMk sksMNM(x)(x)xxksMNMxks nx上上面面两两式式上上含含的的系系数数相相等等00rNMrkk s nkNMNMMNMnksknk 例20 箱子里有个白球和个黑球，从中依次随机取球，每次取一个，取出看过颜色后立即放回，这样不停地取下去，直到取出白球为止，设 为取到白球为止所需要的取球次数，求；（）的概率分布；（）至少需要 次才能取到白球的概率。n 巴巴斯斯卡卡分分布布（第第r r次次成成功功发发生生在在第第n n次次）1(1,1,)1(),(,1,.)1rk rnb rnpkPkpqp kr rr 第第 次次成成功功前前面面的的二二项项分分布布,)rt st问问题题：甲甲乙乙按按某某种种方方式式下下注注，先先胜胜t t局局者者赢赢，但但进进行行到到甲甲胜胜r,r,乙乙胜胜s s局局（时时，因因故故停停止止，问问：如如何何分分配配赌赌注注？五、连续型随机变量五、连续型随机变量1、均匀分布、均匀分布、指数分布、指数分布、正态分布、正态分布abF x()0 x1意义：意义：01530102501530520108118105pP()dx 指数分布指数分布（Exponential Distribution）密度函数和分布函数的图形：密度函数和分布函数的图形：()x F x()1 0 x 0 xb.应应用用：寿寿命命、某某种种服服务务的的等等待待时时间间（如如银银行行取取款款，售售票票处处买买票票等等）。Poisson分分布布与与指指数数分分布布的的关关系系()E（）两两架架飞飞机机到到来来的的时时间间间间隔隔0例23 在（内飞机来到的架数要求两架飞机到来的“等待时间”的分布函数。,t)P(t),0t,F(t)Pt 解解：设设前前一一架架飞飞机机到到来来的的时时刻刻为为要要求求000,tP(t)时时，000t,t(,t)而而在在内内无无飞飞机机来来到到11tPt P(t e 1000te,tF(t),t 即即 111ssP(s)P(s)(e)e st s 又又0TtN(t)解解：利利用用1101tTF(t)P(Tt)P(Tt)P(N(t)e 222212(x)p(x)e,x N(,)若若连连续续型型随随机机变变量量的的概概率率密密度度函函数数为为：则则称称 服服从从正正态态分分布布，记记为为0 x()x xx关于参数的说明：关于参数的说明：密度函数图形特点：密度函数图形特点：关关于于x 对对称称；极极大大值值：极大()12；拐拐点点：在在x 处处；渐渐近近线线：x轴轴。位位置置参参数数（在在x轴轴上上平平移移）比比例例参参数数：大大，图图形形平平坦坦；小小，图图形形呈呈尖尖塔塔形形。0 x()x21xx分分 布布 函函 数数 的的 图图 形形：xF x()0 x()x-xx)(x)(1x()x的的性性质质：(1)().005,(2)()1,(3)()()xx1.分分布布函函数数记记为为()x，即即()xedttx1222。()x的的图图形形：()x0 x0.50 30 5(.)(.)0 310 5(.)(.)0 617910 69150 3094.1 610122.()()22(27,5)(30,2)例26 某人到机场有两条路可走，路，穿过市区，路程较短，但道路拥挤，所需时间服从正态分布；路线，上高架，路程长，但交通畅通，所需时间服从。若（）有30min，（）有34min，应选择哪条路好？NN111)1)1()PP 解解：坐坐车车时时间间3027:30)1()1(0.6)0.27435A（）路路303030)1()2 路路：=0.5=0.53427:34)1()1(1.4)0.08085A（）路路3430:34)1()1(2)0.02282B 路路选选择择路路线线A A选选择择路路线线B B3准则|3(3)(3)2(3)10.9974Px|(1)(1)2(1)10.6824Px|2(2)(2)2(2)10.9544Px