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2019 版 教 学 精 品 3 简单的轴对称图形（第3课时）ADBCEADCBAOBC（对折）（对折）C结论：结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线线所在的直线.ABO有一个简易平分角的仪器（如有一个简易平分角的仪器（如图），其中图），其中AB=AD,BC=DC,将将A点放角的顶点，点放角的顶点，AB和和AD沿沿AC画一条射线画一条射线AE,AE就是就是BAD的平分线，为什么？的平分线，为什么？对这种可以折叠的角可以用折叠方对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？样得到其角平分线？证明证明：在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知）DC=BCDC=BC（已知）（已知）CA=CACA=CA（公共边）（公共边）ACD ACD ACBACB（SSSSSS）CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）对应边相等）ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样用尺根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角器）OABCENOMCENM分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长为的长为半径作弧两弧在半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 将将AOBAOB对折，再折出一个对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)(2)猜想猜想:可以看一看可以看一看,第一条折痕是第一条折痕是AOBAOB的平分线的平分线OC,OC,第二次折叠第二次折叠形成的两条折痕形成的两条折痕PD,PEPD,PE是角的平分线上一点到是角的平分线上一点到AOBAOB两边的距两边的距离离,这两个距离相等这两个距离相等.角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，已知：如图，OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别是，垂足分别是D，E。求证：求证：PD=PE证明：证明：PDOA，PEOB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）PDO=PEO AOC=BOC OP=OP PDO PEO（AAS）DP PEAOBC(3)验证猜想验证猜想角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.(4)得到角得到角平分线的平分线的性质：性质：利用此性质怎样书写推理过程利用此性质怎样书写推理过程?定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12 1=21=2 PD OA PD OA，PE OBPE OBPD=PEPD=PE(角角的的平分线上的点到角的两边平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等)推理的理由有推理的理由有三个三个，必须写完全，不能必须写完全，不能少了任何一个。少了任何一个。角平分线的性质角平分线的性质BADOPEC定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1 1）角的平分线；）角的平分线；（2 2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3 3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。OABCEDP辨一辨辨一辨如图，如图，OCOC平分平分AOBAOB，PDPD与与PEPE相等吗？相等吗？（1）如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）（2）如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）（3）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等1、如图，、如图，OC是是AOB的平分线，的平分线，又又 _PD=PE ()PDOA，PEOBBOACDPE 角的平分线上的点角的平分线上的点 到角的两边的距离相等到角的两边的距离相等练一练练一练2 2、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？相等吗？为什么？为什么？ABCDE 3 3、如 图、如 图,O C,O C 是是 A O BA O B 的 平 分 线的 平 分 线,点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC44、已知、已知ABC中中,C=900,AD平分平分 CAB,且且 BC=8,BD=5,求点求点D到到AB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE你会吗？你会吗？思考：思考：这节课我们学习了哪些知识？这节课我们学习了哪些知识？1、“作已知角的平分线作已知角的平分线”的尺规作图法；的尺规作图法；2、角的平分线的性质：、角的平分线的性质：111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。OC是是AOB的平分线的平分线,又又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点角的平分线上的点到角的两边距离相等到角的两边距离相等).EDOABPC几何语言几何语言:小结小结 拓展拓展
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