传感器与传感器技术课后答案

传感器与传感器技术计算题答案第1章 传感器的一般特性15某传感器给定精度为2%FS,满度值为50mV，零位值为 10mV，求可能出现的最大误差5(以mV计)。当传感器使用在满量程 的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能 得出什么结论？解：满量程(F S)为 50 - 10=40(mV)可能出现的最大误差为：A =40x2%=0.8(mV)m当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：0 8=x 100% = 4%40 x 120 8=x 100% = 16%40 x $16有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个 微分方程描述，试求这两个系统的时间常数T和静态灵敏度K。/、30 dy + 3y 二 1. 5 x 10-5 T(1) dt式中，y输出电压，V； T输入温度，C。/ 、1.4dy + 4.2y 二 9.6x(2) dt式中，y输出电压，yV； x输入压力，Pa。解：根据题给传感器微分方程，得(1)t=30/3=10(s)，K=1.5x10-5/3=0.5x10-5(V/C)；(2)t=1.4/4.2=1/3(s)，K=9.6/4.2=2.29V/Pa)。17已知一热电偶的时间常数t=10s，如果用它来测量一台炉 子的温度，炉内温度在540C至500C之间接近正弦曲线波动，周期 为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以 及输入与输出之间的相位差和滞后时间。解:依题意，炉内温度变化规律可表示为 x(t) =520+20sin(t) C 由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 0=2兀f=2兀/80二兀/40；温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应y( t)为 y(t)=520+Bsin(ot+q) C1= 0.786兀|1 + x 10I 140 丿热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为乙)_旦-1 A 20 - V1 + 肿-，(因此，热电偶输出信号波动幅值为y(t) y(t)B=20 x A()=20 x 0.786=15.7C由此可得输出温度的最大值和最小值分别为max=520+B=520+15.7=535.7Ci =520 - B=520T5.7=504.3C mm输出信号的相位差9为申(3)= -arctan(3i )= 一arctan(2兀/80xl0)= -38.2 相应的时间滞后为竺 x 38.2 二 8.4(s) t 二 36018一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即输入加速度，m/s2。试求其固有如 + 3.0 x 103 dy + 2.25 x 1010 y 二 11.0 x 1010 x dt 2dt式中，y输出电荷量，pC；x 振荡频率o和阻尼比n解：由题给微分方程可得、3.0 x 103二 jC.25 x 10101 二 1.5 x 105 (rad / s)= 0.012 x & 2.25 x 1Oio x 119某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端 点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误 差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。校准数据表压力(MPa)输出值(mV)第一次循环第二次循环第三次循环正行程反行程正行程反行程正行程反行程0-2.73-2.71-2.71-2.68-2.68-2.690.020.560.660.610.680.640.690.043.964.063.994.094.034.110.067.407.497.437.537.457.520.0810.8810.9510.8910.9310.9410.990.1014.4214.4214.4714.4714.4614.46解 校验数据处理(求校验平均值)：压 力 (MPa) (设为x)输出值(mV)第一次循环第二次循环第三次循环校验平 均值 (设为 y)正行 程反行 程正行 程反行 程正行 程反行 程0-2.73-2.71-2.71-2.68-2.68-2.69-2.700.020.560.660.610.680.640.690.640.043.964.063.994.094.034.114.040.067.407.497.437.537.457.527.470.0810.8810.9510.8910.9310.9410.9910.930.1014.4214.4214.4714.4714.4614.4614.45(1)端点连线法设直线方程为y=a +kx，取端点(X , y ) = (0, -2.70 )和仗,y )= (0.10, 14.45)。1 1 6 6则a由x=0时的y值确定，即00a =y -kx=y =-2.70 (mV)14.45 - (-2.70)0.10 - 0mV/MPa )k由直线的斜率确定，即1y - y k =6 ix - x61拟合直线方程为y=-2.70+171.5x求非线性误差：压力(MPa)校验平均 值 (mV)直线拟合 值 (mV)非线性误 差 (mV)最大非线 性误差(mV)0-2.70-2.700-0.120.020.640.73-0.090.044.044.16-0.120.067.477.59-0.120.0810.9311.02-0.090.1014.4514.450所以,压力传感器的非线性误差为5 = 土x 100% = 0.7%L14.45 (2.70)求重复性误差：压 力 (MPa)输出值(mV)正行程反行程123不重 复误 差123不重 复误 差02.732.712.680.052.712.682.690.030.020.560.610.640.080.660.680.690.030.043.963.994.030.074.064.094.110.050.067.407.437.450.057.497.537.520.040.0810.8810.8910.940.0610.9510.9310.990.040.1014.4214.4714.460.0514.4214.4714.460.05最大不重复误差为 0.08 mV ，则重复性误差为5 = 008x 100% = 0.47%R14.45 (2.70)求迟滞误差：压力(MPa)输出值(mV)第一次循环第二次循环第三次循环正行程O3反行程O10.020.560.660.043.964.060.067.407.490.080.1010.88210.952迟滞0.0207!00T!00.090.07正行程O1反行程2T680.613.997.4310.8970.684.097.5310.937迟滞3 口70040.0正行程2.68反行程2T690.640.694.037.4510.944.117.5210.99迟滞150.087514.414.46最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为5=H2)最小二乘法0.1014.45 (2.70)x 100% = 0.58%设直线方程为y=a0+kx0.76626 0.88260.042=2.77(mV)序号123456工x00.020.040.060.080.100.3y2.700.644.047.4710.9314.4534.83X200.00040.00160.00360.00640.010.022xy00.01280.16160.44820.87441.4452.942数据处理如下表所示。根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：工x2占y Zx工xy =正 x2 x )0.022 x 34.83 0.3 x 2.9426 x 0.022 0.326 x 2.942 0.3 x 34.836 x 0.022 0.32=171.5(mV/MPa)n工xy 工x 工yk =工 x 2x =所以，最小二乘法线性回归方程为y=2.77+171.5x求非线性误差：压力(MPa)校验平均 值 (mV)直线拟合 值 (mV)非线性误 差 (mV)最大非线 性误差(mV)0-2.70-2.770.07-0.070.020.640.66-0.020.044.044.09-0.050.067.477.52-0.050.0810.9310.95-0.020.1014.4514.380.07所以，压力传感器的非线性误差为5 =007 x 100% = 0.41%L14.38 - (-2.77)可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误 差小，所以最小二乘法拟合更合理。重复性误差 5 和迟滞误差 5 是一致的。RH110用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如 幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少？若用该系统测 试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？解：根据题意1丫二 -1 -5%v1 +也力(取等号计算)1 + (odt )2 = 1.05261 - 5%0.95解出3t =0.32870 3287/、t = 0.3287 / = =0.523 x 10 -3 (s)2k x 100=0.523ms当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为1 一 1所以-1 = 1.32%丫二 -1 = (J1 +J1 + 匕 x 50 x 0.523 x 10i相位差为甲二-arctan(T)二-arctan(2nX50X0.523 X 10-3)=-9.3111 一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f =800Hz ,阻 尼比匚=0.14,现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试 时，其幅值比A()和相位角甲()各为多少；若该传感器的阻尼 比:=0.7时，其Ad)和甲(o)又将如何变化?皀=匹= =型=0.5/trr 所以，当2=0.14时A(n)=o2Kf f 800n00-6 oi + 4 匚 2 6 o1nn二 1.31一 0.52 龙 + 4 x 0.142 x 0.5260o)= - arctan 1 -当2=0.7时A Co )=:2血）=一耐肿；囂0.5 一。1845）=-10-6。=0.975 一 0.52 Z + 4x 0.72 x 0.52血)一 arctan2|一7x05 = 一075也)一43。112用一只时间常数t=0.318s的一阶传感器去测量周期 分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少？ 解：由一阶传感器的动态误差公式y =1 1& +（t）2T=0338b,C)T = 1s t f = 1Hz to = 2兀(rad)Ty =-1 = -55.2%1 J1 + (2kx 0.318(2) T =2s t f = 0.5Hz t o = k (rad)ty = -29.3%2(3) T = 3s t f = Hz to = 2兀Cad)ty = -16.8%f0=10kHz,阻尼比试确定该传感器的333113已知某二阶传感器系统的固有频率 匚=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%， 工作频率范围。解：由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有 1.032 = 1.069-1 R( = 5.1kQ)“ U ACU AdU i二i02 C2 500从而得K 二二-U 二 60 二 120V/mm 二 0.12V/ “mu Ad 252 X 0.25(2)U = K Ad=0.12V/pmX10pm=1.2V44有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d =0.3mm。试求：(1) 如果传感器与工件的间隙变化量Ad二土10刚，电容变化量为 多少？(2) 如果测量电路的灵敏度足K=100mV/pF,则在Ad二土1刚 时的输出电压为多少？解：由题意可求(1) 初始电容：X 10 -30.3 x 10-38 S 兀r28.85 x 10-12 x 兀 xC = = 00 d=1.48pF=1.48 x010 -12AC _ Ad由 C0 d0，则当 Ad二土 10um 时AC 二 C 乂 二 1.48 x 土10 X10-3 二 0.049pFo d0.3如果考虑d =0.3mm+10Am与d =0.3mm -10m之间的电容变化量 、 1 2AC,则应为AC/=2|AC|=2X0.049=0.098pF土 1pm(2)当 Ad= 土1Am 时AC = AdC = x 1.48pF = 0.0049pFd 00.3 x 103 pm由 K=100mV/pF二U/Ac，贝u0U=K AC=100mV/pFX( 0.0049pF)二 0.49mV45有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。 选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d =d =d =0.6mm；空气介质，即 = =8.85X10-12F/m。测量电路参数：1 2 0 0u =u= Usr = 3sin t (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) srx=0.05mm时，电桥输出端电压U ?sc习题图4-5解：由习题图4-5可求初始电容C =C =C =sS/d=s 兀口/d1 2 0 0 /=6.67 x 10-12 F = 6.67 pF0.6 x 10-38.85 x 10-12 x 兀 x、2 x 10-3变压器输出电压. Z. Z Z C C U =2 x 2U-U =21U =+2 Usc Z + ZZ + Z C + C其中Z ,Z分别为差动电容传感器C :C的阻抗.在AXd时,=C 12” 0 1 0 + AC, C = C-AC, 且 AC/C =Ad/d，由此可得0 0 0U =(沁竺百=005x3sin=0.25sinsc C d sr 0.6(V)00 v 丿46如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用 二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm, b=20mm, d =d =d =1mm；起始时动极板处于中间位置，C =C =C0,介质为空气， 120l 2传感器初始电容 = =8.85X10-12F/m。测量电路参数：D . D为理想二极管；及R=R =R=10KQ； R=1MQ，激励电压 U =36V,，变化频率 f =1MHz。试求Q 丁 c cl “40x 10-3 “ “8 x x b 8.85 x 10-12 xx 20 x 10-3C 4 =丄/ =L0 dd1 x 10-30 0=3.54X10-12 (F) =3.54pF当动极板向右移Ax=10mm时，单个电容变化量为AC 二空 CC = 1 x 3.54 = 1.77(pF)a/2 040/2 02(或8 b8.85 x 10-12 x 20 x 10-3 x 10 x 10-3Ac =Ax = 1.77 x 10-12(F) = 1.77 pFd1x 10 - 3)则C = C+AC, C = C - C,由双T二极管网络知其输出电压1 0 2 0U = 2 k U f ACSCi47达式(x=0时为对称位置)。习题图4-7见题解 4-7 图)，有R Q + 2 R )=2-ffR U fACR + R 戈 f /104 d 2 X 106 )X106 X 36 X106 X 1.77 X10-12104 + 2 X 106 沁 2.55(V)一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板 A、C 和 D 是固定极板；板 B 是活动极板，其 厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A 板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效 应，试推导活动极板刀从中间位置移动x二土a/2时电容C和C的表AC AD解：参见习题图 4-7 知C是C与C串联，C是C与C串联。当动极板向左位移a/2D时,完全与D C极板相对(见题解4-7图), 此时C =C =e ab/dAB BC 0则C =C /2=C /2=e ab/2d；AC ABBC0C =e ab/(2d+1)。AD 0左移血X题解4-7图同理，当动极板向右移 a/2 时，与上相仿C =e ab/(2d+1) ； C =e ab/2d4 8 已知平板电容传感器极板间介质0为空气，极板面积S二aXa=(2x2)cm2，间隙d =0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由 于装配关系， 使传感器极板一侧间 隙 d ， 而另一侧间 隙 为 d+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。解：初始电容eSe S 8.85 x10 -12 x2x 2x10-4OC =0 d d0.1 x 10-3=35.4 x 10-12(F) = 35.4pF当装配不平衡时(见题解4-8图(a)，可取其平均间隙计算(见 题解4-8图(b)d = (db2 = d 0 + 彳=0.1+0.01/2=0.105(mm)d0.105 x 10 -3(c)e S8.85 x 10 -12 x 2 x 2 x 10 -4C 二一二则其电容为ea2(0ln1+bk(0.01、ln1 + 5%壮昭