LinearAlgebra7.1坐标变换和过渡矩阵PPT课件

线性代数线性代数坐标变换和过渡矩阵坐标变换和过渡矩阵一、线性空间一、线性空间线性空间线性空间=集合集合+线性运算，线性运算，且集合关于线性运算封闭。且集合关于线性运算封闭。数学空间数学空间=集合集合+运算，运算，且集合关于运算封闭。且集合关于运算封闭。nnR维维实实向向量量空空间间即即为为线线性性空空间间。则称则称x x1 1,x,x2 2,x,x n n是线性空间是线性空间V V 的的一组基一组基。称称n n是线性空间是线性空间V V 的的维数维数，记作，记作dimVdimV。或称线性空间或称线性空间V V 是是n n维线性空间。维线性空间。即：即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。线性空间的维数是其基中所含向量的个数。二、线性空间的基与向量在基下的坐标二、线性空间的基与向量在基下的坐标,(1),(2),12n12n12nx,xxVx,xxVVxx,xx设设是是线线性性空空间间 的的向向量量组组 如如果果是是 的的线线性性无无关关组组；的的任任一一向向量量 可可由由线线性性表表示示；例例1 1 证明：在三维向量空间证明：在三维向量空间R R3 3中中 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3 与与y y1 1，y y2 2,y,y3 3都是线性空间都是线性空间R R3 3的一组基的一组基说明说明1 1：线性空间的基不唯一：线性空间的基不唯一1231000,1,0001xxx1231110,1,1001yyy这是因为：这是因为：从而它们各自都线性无关，从而它们各自都线性无关，而对于任意向量而对于任意向量分别有：分别有：10001010,001 11101110,001 3123(,),xTR 112233xxxx12233()123xyyy（）说明说明2 2：向量由同一基的线性表示是唯一的：向量由同一基的线性表示是唯一的设设x x1 1,x,x2 2,x,xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，则对于的一组基，则对于V V的任一元的任一元x x，x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x,xn n唯一线性表示。唯一线性表示。证明证明 ：设：设x x可由可由x x1 1,x,x2 2,x,xn n有两种线性表示：有两种线性表示：x x1 1,x,x2 2,x,xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，它们的一组基，它们线性无关，线性无关，11221122xxxxxxxnnnn111222()()()0 xxxnnn0ii,1,2,iiin三、坐标三、坐标 设设x x1 1,x,x2 2,x,xn n是线性空间是线性空间V V 的一组基，的一组基，则称则称x x由由x x1 1,x,x2 2,x,xn n唯一线性表示的系数为唯一线性表示的系数为向量向量x x在基在基x x1 1,x,x2 2,x,xn n下的下的坐标坐标，记为，记为X.X.即设即设则则1212nxxxxn1212nx xxn 12TnX说明说明：在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标一般在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标一般是不同的。是不同的。例例4 4 在在R R3 3中，中，x x1 1,x,x2 2,x,x3 3是与是与y y1 1,y,y2 2,y,y3 3都是线性空间都是线性空间 R R3 3的一组基的一组基向量向量在这两组基下的坐标分别为在这两组基下的坐标分别为1231000,1,0001xxx 1231110,1,1001yyy 3123(,)TxR 123(,),T12233(,)T 四、基变换与过渡矩阵四、基变换与过渡矩阵 x x1 1,x,x2 2,x,xn n（I I）与）与y y1 1,y,y2 2,y,yn n（IIII）是）是n n维线性空间维线性空间V V的两组不同基。则由基的定义，有的两组不同基。则由基的定义，有 称称P P是由基是由基x x1 1,x,x2 2,x,xn n到基到基y y1 1,y,y2 2,y,yn n的的过渡矩阵过渡矩阵。其中。其中P P的第的第j j列是在基列是在基y yj j（I I）下的坐标。）下的坐标。记作：记作：其中其中1111211212222122n12n12nyxxxyxxxyxxxnnnnnnnppppppppp 12n12nyyyxxx P()ijn nPp过渡矩阵结论过渡矩阵结论(1)(1)过渡矩阵过渡矩阵P P是可逆矩阵；是可逆矩阵；同一向量在不同基下的坐标是不同的。设同一向量在不同基下的坐标是不同的。设得坐标变换公式得坐标变换公式(2)(2)设设P P是由基是由基x x1 1,x,x2 2,x,xn n到基到基y y1 1,y,y2 2,y,yn n的过渡的过渡矩阵，则矩阵，则P P-1-1是由基是由基y y1 1,y,y2 2,y,yn n到基到基x x1 1,x,x2 2,x,xn n的的过渡矩阵。过渡矩阵。由于基向量线性无关，则由于基向量线性无关，则12n1,2nxx,x,xy y,yXY12nx,x,xPY,XPY1YP X例例5 5 求向量求向量 在基在基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3下的坐标下的坐标解法解法1 1：由向量坐标的定义，可设：由向量坐标的定义，可设：得方程组得方程组解方程组即可解方程组即可123111 ，12311110,1,1,20011XXX 112233XXX123233121由自然基到基由自然基到基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的过渡矩阵为的过渡矩阵为解法解法2 2：求得求得利用坐标变换公式，则基利用坐标变换公式，则基x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的坐标为的坐标为111011,001P111 0011001P1110110112100111YP X 部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！