《振动和波动》PPT课件

第5章 振动和波动,振动是指某一物理量（如位移、电压、电场强度、气压等）在一个定值附近随时间反复变化的现象。,位移随时间反复变化是机械振动,电量随时间变化反复变化是电磁振动,任何周期振动都可以看作是不同频率的简谐振动的合成。简谐振动是一种最简单、最基本的振动。,物体振动时，决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化，这样的振动称为简谐振动。简谐振动是理想化模型，许多实际的小振幅振动都可以看成简谐振动。,5.1 简谐振动,以弹簧振子为例（弹簧质量不计，不计摩擦）,o点选在弹簧平衡位置，物体受力：,由牛二定律，上式写为：,令,有：,上式微分方程的解为：,5.1.1 简谐运动的描述,1. 简谐振动的运动学判据,判据1：物体所受回复力与位移成正比且反向,判据2：物理量对时间的二阶导数与本身成正比且反向,判据3：物理量是时间的余弦（正弦）函数,简谐振动的三个判据,弹簧振子的速度与加速度是否作谐振动？,2 谐振动的特征量,（1）圆频率 ,弹簧振子的圆频率,（2）振幅 A、初相位,圆频率由振子的本身特性决定,(设t=0 时，x=x0，v=v0 ),由,有,得到,由,可知：当振动的角频率和振幅已知时，由相位可唯一地确定质点的运动状态。,（3）相位= t+,用位相来描述质点的运动状态有两个显著的优点,频率：1秒内物体完成全振动的次数,（1）可以直观地体现简谐振动具有周期的特点,由,周期,（2）可以方便地比较两个同频率振动的步调,有两个同频率振动,二者同相,二者反相,x2 振动较 x1 振动超前,x2 振动较 x1 振动落后,【例1】 求单摆振动方程（质量集中于小球上）。,【解】取逆时针为 张角正向，以悬点为轴，只有重力产生力矩。,则有,由转动定律：,令,单摆作谐振动,当 5o 时,得到,有,例2 底面积 S 的长方形木块，浮于水面，水下部分高度为 a，用手按下 x 后释放，证明木块运动为谐振动。,证明 平衡时,任意位置x处，合力,为回复力，作谐振动。,例3 假设沿地球直径打一孔，物体从孔中落下。证明：物体作谐振动。,证明 物体受万有引力与内层质量有关。,为回复力，作谐振动。,将物理模型转变成数学模型,初始角坐标为 的矢量 A 以角速度 逆时针作匀速圆周运动，端点 M 在 x 轴上投影点的运动描述为：,M点运动在 x 轴上的投影点的运动，可用谐振动的运动方程来描述。,5.1.2 简谐振动的旋转矢量法,例4已知质点的振动方程为,求质点从 t=0 开始到 x=-2cm 且沿 x 方向运动所需要的最短时间。,解 旋转矢量在由0 t 时间内转过的角度为,所需最短时间为：,例5 根据下图写出振动方程,例6 根据下图写出振动方程,简谐振动过程中谐振子只受保守力的作用，振子系统能量守恒。这种振动系统为孤立谐振动系统。,以弹簧振子为例，其动能和势能为,总能量守恒,5.1.3 简谐振动的能量,例7 竖直悬挂的弹簧振子如图所示，设平衡时弹簧伸长为 x0, 振幅为A，计算其机械能：（1）以平衡位置为坐标原点，以弹簧原长处为重力势能和弹性势能零点；（2）以平衡位置为坐标原点及势能零点。,解：（1）,由,得,（2）以平衡位置为势能零点,设,在题给势能零点条件下,平衡位置为势能零点，Ep=kx2/2 即包括弹性势能又包括重力势能，称之为准弹性势能。,例8一质点的谐振方程为x =6.010-2cos(t /3 -/4)(SI) （1）周期、频率各为多少？ （2）当 x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （3）质点从平衡位置移到此位置所需最短时间为多少？,解,如果,例9 一轻弹簧的劲度系数为k，其下悬有质量为m的盘子，现有一个质量为M的物体从离盘h处下落到盘中并和盘粘在一起，于是盘开始振动求其振幅多大。,解 以轻弹簧和（m+M）系统的平衡位置为坐标原点，取向下为正。初始位置为,由,再由,解得,利用旋转矢量法求合振动,1. 同方向、同频率的简谐振动的合成,合振动,5.2. 振动的合成,5.2.1 同方向的简谐振动的合成,例10同一直线上有n 个频率相同的谐振动，它们振幅相等且初相依次相差一个恒量，求合振动。,解 设这 n 个谐振动的频率为 ，初相依次相差，由旋转矢量法，得到,得到,这种振动的合成一般比较复杂，这里只讨论,两谐振动的频率1、2比较大；,两谐振动的频率相差比较小： 12,设,合成,合振动是一个振幅被调制的振动，是非周期性的,2. 同方向、不同频率的简谐振动的合成,振幅时而加强时而减弱的现象叫做拍,单位时间内合振动加强或减弱的次数称为拍频,所以拍频：,设分振动,1 互相垂直的频率相同的两个谐振动的合成,消去时间 t ，得到合振动的轨道方程：,合振动轨道方程是个椭圆方程,5.2.2 相互垂直简谐振动的合成,上式变为：,质点作直线运动,(1),方程为：,(2),质点作直线运动,(3),质点轨迹为椭圆,方程为：,(4),方程仍为,质点轨迹为椭圆,(5),轨道形状与分振动的振幅、频率比和相位差有关,2.相互垂直的频率成整数比的两个谐振动的合成,这种轨道图形称为李萨如图形。,轨道形状与分振动的振幅、频率比和相位差有关。,1. 振动在空间的传播过程叫做波动。,2. 常见的波有两大类:,(3) 在微观领域中还有物质波。,3. 各种波的本质不同, 但其基本传播规律有许多相同之处。,5.4 平面简谐波,波动是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点本身的传播。,1. 产生机械波的条件,产生波的条件存在弹性介质和波源,波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力， 将振动传播开去，从而形成机械波。,5.4.1 机械波的产生与描述,1）横波,各质点振动方向与波的传播方向垂直的波。,根据介质质元的振动方向与波的传播方向间的关系，可以将机械波分为两类：横波和纵波。,2. 波的分类,各质点振动方向与波的传播方向平行的波。,纵波是靠介质疏密部变化传播的。,任一波,如水波、地表波，都能分解为横波与纵波来进行研究。,2）纵波,横轴 x 表示波的传播方向,坐标 x 表示质点的平衡位置,纵轴 y 表示质点的振动方向,坐标 y 表示质点偏离平衡位置的位移,表示某一时刻波中各质点位移的图,横波的波形图与实际的波形是相同的，但是对于纵波，波形图表示的是各质点位移的分布情况。,3. 波形图,4. 描述波特性的几个物理量,周期T : 传播一个完整的波形所用的时间，或一个完整的波通过波线上某一点所需要的时间。,频率 ：单位时间内传播完整波形的个数。,波长 ：两相邻波峰或波谷或相位相同点间的距离，或振动在一个周期中传播的距离。,周期、频率与介质无关，波在不同介质中频率不变。,波速u: 单位时间某种振动状态（或振动相位）所传播的距离称为波速u ，也称之相速 。,机械波的波速决定于介质的惯性和弹性，因此，不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。,在各向同性均匀固体中,横波,纵波,G 切变弹性模量， E 杨氏模量， 密度。,T、 、 、u 的关系,若波源作简谐振动, 在波传到的区域, 媒质中的质元 均作简谐振动，这种波称为简谐波。,5.4.2 平面简谐波的波函数,人们用波函数描述波，波函数应能描述质点在空间任一点、 任一时刻的位移。,这个函数表达式也叫做波动方程,【例1】设原点（非振源，是参考点）处的简谐振动为 。假设u为波速, 媒质无吸收即质元振幅均为A，沿 x 正方向传播的简谐波的波函数是什么？,【答】,波从原点传到任一点P (坐标为 x ）所需的时间是 x / u , 所以任一时刻 t ,任一点 P 的位移（即波函数）为,或：沿波的传播方向, 各质元的相位依次落后。, 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。,如何写出平面（一维）简谐波的波函数？, 须知三个条件：,1. 某参考点的振动方程( A, , ) 2. 波长 (或 k,或 u),3. 波的传播方向,另外常用的几种写法：,对于,思考：波形曲线和振动曲线有什么不同？,任意 P点的振动表达式为,P点的振动比 a 点落后,【例2】设媒质无吸收，参考点 a 的振动表达式为,已知波长为 ，写出沿+x方向传播的简谐波？,【解】,问：沿 - x方向传播的简谐波表达式如何?,对于某一给定的相位,两边求导得,说明波的相位的传播速度就是波速 u ， 所以，波速 u也称为相速度。它可以超过光速。,相速度,-这就是某一给定的相位的 位置 x 与时间 t 的关系。,称为x 处t 时刻的相位或相， 它是最活跃的因素， 通常说：它决定了振动的状态。,【例3】下图是一平面简谐波在t=2秒时的波形图，由图中所给的数据求：（1）该波的周期；（2）传播介质O点处的振动方程；（3）该波的波动方程。,O点振动方程为,波动方程,【解】利用旋转矢量法求出,随着波的行进,能量在传播。,波的能量 = 振动动能 + 形变势能,考虑细长棒上一段 小质元 x，如图：, 动能密度,以沿 x 轴传播的平面简谐纵波为例：,波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动，,5.4.3 波的能量,1. 波动的能量,小质元动能,当有平面波传播时， x 处，纵向位移,动能密度为:, 势能密度,考虑细棒上小质元的弹性形变y,弹性拉力：,弹性势能 =弹性拉力作的功 （变力的功）,F= k y,因,势能密度又写为:,势能密度为:,对沿 x 轴传播的平面简谐波,y(x,t)=Acos(t-kx),wk、wp 均随 t 周期性变化,两者同相同大 。,怎么动能和势能之和不等于常数,也不相互转化 ？,E=u2,由于,w = wk+wp = 2A2sin2 (t-x/u), 能量密度,2. 波的强度,单位时间内通过垂直于波的传播方向的 单位面积的平均能量,称为平均能流密度, 又称为 波的强度 I 。,平均能流密度(波的强度)即,【解】,【例4】 一平面简谐波，波速为 340ms-1，频率为 300Hz在横截面积为 3.00 10-2m2的管内的空气中传播，若在10秒内通过截面的能量为 2.70 10-2J，求：（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。,5.6.1 惠更斯原理,“媒质中波传到的各点,都可看作开始发射 子波(次级波)的子波源(点波源)，,在以后的任一时刻,这些子波面的包络面 就是新的波前 ”。,研究波的传播方向：知道某时刻波前的位置， 能否知道下一时刻的波前位置？,若媒质均匀、各向同性 ,各子波都是 以波速 u 向外扩展的球面波。,5.6 波的叠加,例：已知 t 时刻的波面，得出 t + t 时刻的波面, 就可得出波的传播方向 .,实验说明了惠更斯原理的正确性。,5.6.2 波的叠加原理,媒质中同时有几列波时,每列波都将保持 自己原有的特性,不受其它波的影响 -波传播的独立性。,“在几列波相遇而互相交叠的区域中,某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成”-波的叠加原理.,当波的振幅、强度过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理就不再成立。,考虑频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时情况,设波源 S1 、 S2的振动方程为：,两列波在P点的振动方程为：,P点合振动振幅：,5.6.3 波的干涉,相遇点振动加强,当,相遇点振动减弱,当,频率相同、振动方向相同、有恒定的相位差的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，某些地方振动始终减弱的现象叫做波的干涉。,S1 、 S2在P点引起振动的相位差为：,波程差为波长的整数倍时干涉加强。,当,时,加强条件,写为,减弱条件,写为,波程差为半波长的奇数倍时干涉减弱。,【例5】相干波源 A、B 位置如图所示，频率 =100Hz，波速 u =10 m/s，A-B=，求：P 点振动情况。,【解】,P点干涉减弱,【例6】两相干波源分别在 PQ 两点处，初相相同，它们相距 3 / 2，由 P、Q 发出频率为 ，波长为的两列相干波，R 为 PQ 连线上的一点。求：自P、Q 发出的两列波在 R 处的相位差。两波源在 R 处干涉时的合振幅。,【解】,合振幅最小,5.6.4 驻波,驻波是两列振幅、频率和传播速率都相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的。,设有向左传播的波和向右传播的波在原点处相位相同，它们的波动方程分别写作：,它们的合振动,驻波方程,1. 驻波,波节振幅始终为 0 的位置,波腹振幅始终最大的位置,振幅与位置 x 有关,波节两侧的振动相位相反，两波节间同步振动,驻波的波形、能量都不能传播,波节位置决定于,相邻波节距离,相邻波腹距离,波腹位置决定于,波节与波腹之间的距离为/4,绳上向某方向传播的波 与在固定点反射的波合成的结果形成驻波。在反射点处的绳固定不动，是波节。,反射波与入射波的相位在此正好相反，有“半波损失”。,2. 半波损失,当反射点处的绳是自由端时，反射波没有 “半波损失”，形成的驻波在此是波腹。,【例7】入图所示，为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图，当波从波疏介质入射到波密介质表面 BC，在 P 点反射时，反射波在 t 时刻波形图为,（D）,多普勒效应：当波源S和观察者R有相对运动时，接收器所测得的频率R不等于波源振动频率S的现象。, 介质中波速u。, 设 S 和 R的运动沿二者连线。, S 和 R 的速率分别为vS、vR。, 三个频率 :,S 波源振动频率, 波在介质中的频率,R 接收频率,5.7 多普勒效应,分几种情况讨论,S = ，但 R = ?,1 波源静止，接收器运动 (vS= 0，vR 0),设R 向着静止的S运动，,单位时间内 R 所接收的 波的个数为,因为S = ,R 靠近S时， 上式中u+vR ，RS , 声音变尖。,R 远离S时， 上式中u-vR ， RS , 声音变哑。,2. 接收器静止,波源运动 (vR= 0,vS 0),R = , 但 =?,S发出“波头”,前进vSTS后再发“波尾”，S波长缩短。,(vSu 时不适用),3. 接收器、波源都运动 (vS 0 、vR 0),S R,综合上面 1、2 两种情况，有,S、R相互靠近时，上式中u+vR、u-vS， 得到 RS , 声音变尖。,S、R相互靠近时，上式中u-vR、u+vS， 得到 RS , 声音变哑。,若波源速度超过波速(vSu),产生以S 为顶点的圆锥形的波,例： 超音速飞机会在空气中 激起冲击波。,例： 船速超过水波波速时 可以看到这种V形波。,上式失去意义，这时,多普勒效应的实际例子与应用,1.测速,测定汽车,飞机等的速度,光波也有多普勒效应。,相互接近时 R S 接收频率变高； 相互远离时 R S 接收频率变低（红移）。,光波的传播不依靠媒质， 要从相对论来讨论其 多普勒效应的原理（略）。,但是，定性的结论是一样的：,2. 星体光谱的红移,星体光谱都有红移现象- 宇宙在膨胀。,【解】（1）,【例8】一声源振动的频率为2040Hz，以速度 Vs向一反射面接近，观察者在A处测得拍音的频率 =3 Hz，如果声速为340m/s，求波源移动的速度？如果波源不动，反射面以速度V=0.20m/s向观察者接近，测得拍频 =4 Hz，求波源的频率？,观测者直接接收的频率：,观察者接收到的反射面反射的频率（也就是反射面接收到的频率）：,则：,得出：,（2）,观察者接收到的运动的反射面反射的频率：,反射面接收到的频率：,观测者直接接收的频率：,则：,得出：,