《微积分发展简史》PPT课件.ppt

微积分的创立是人类精神的最高胜利。 恩格斯自然辩证法,目录,主要内容,微积分学是微分学(Differential Calculs)和积分学(Integral Calculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。,微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。,主要内容,微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。 微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，该方法并不真正进行极限运算而是通过发现不定积分。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。,主要内容,微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。 微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。,主要内容,极限 微积分中最重要的概念是“极限”。微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。 从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了200 多年。现在使用的定义是维斯特拉斯于 19 世纪中叶给出的。 数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。,数列极限的表示方法 其中L就是极限的值。例如当 时，它的极限为L= 0。就是说 n 越大(越往前延伸)，这个值越趋近于0。,主要内容,导数 我们知道在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间，同样在一小段间隔的时间内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间内的速度，但当这一小段间隔的时间趋于零时，这时的速度为瞬时速度，无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数。得用求导的方法计算。,主要内容,导数 也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化，当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。 导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。,主要内容,微分学 微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分) 。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。,主要内容,积分学 积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数。又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。根据以上认识，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。 而不定积分，用途较少，主要用于微分方程的解。,主要内容,主要内容,微积分的符号 微分学中的符号“dx”、“dy”等，系由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语中“差”（Differentia ）的第一个字母。积分符号“”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语“总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长(和有相同的意义)。,微积分的发展,微积分的建立,微积分发展史,微积分的严格化,微积分的萌芽,圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）,中国数学家的极限、积分思想,“割圆术”（魏晋刘徽）,一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）,刘徽 “割圆术”,庄子.天下篇,微积分的萌芽,外国数学家的极限、积分思想,公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。,欧几里得(公元前330年前275年)是古希腊数学家，以其所著的几何原本闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。,微积分的发展,近代微积分的酝酿，主要是在17世纪上半叶这半个世纪。 为了理解这一酝酿的背景，我们首先来赂微回顾一下这一时期自然科学的一般形势和天文、力学等领域发生的重大事件。 首先是1608年，荷兰眼镜制造商里帕席发明了望远镜，不久伽利略将他制成的第一架天文望远镜对准星空而作出了令世人惊奇不已的天文发现。望远镜的发明不仅引起了天文学的新高涨，而且推动了光学的研究。,微积分的发展,1619年，开普勒公布了他的最后一条行星运动定律。开普勒行星运动三大定律要意是： 1、行星运动的轨道是椭圆，太阳位于该椭圆的一个焦点； 2、由太阳到行星的矢径在相等的时间内扫过的面积相等； 3、行星绕太阳公转周期的平方，与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。 开普勒主要是通过观测归纳出这三条定律从数学上推证开普勒的经验定律，成为当时自然科学的中心课题之一。,微积分的发展,1638年，伽利略的关于两门新科学的对话出版。伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45度时达到，等等。伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。 凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点。,微积分的发展,当时，人们主要集中的焦点有：非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题也亟待解决。 与此同时，行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题面积、体积、曲线长、重心和引力计算的兴趣被重新激发起来。,微积分的发展,第一类是研究物体运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。,第二类问题是求曲线的切线的问题。,即提出的四种亟待解决的数学问题：,第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。,第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。,微积分的发展,在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时期内，取得了迅速的进展。 代表性的工作有： 1、开普勒与旋转体体积； 开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一。,2、卡瓦列里不可分量原理 他在用新方法促进的连续不可分量的几何学中发展了系统的不可分量方法。认为线是由无限多个点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成。他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”。 卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：,微积分的发展,微积分的发展,3、笛卡儿的“圆法” 笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“朗德法则”。朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。,微积分的发展,4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使f(a+e)与f(a)逼近,即： f(a+e)f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的“ ”,微积分的发展,5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当巴罗发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤，已成为科学史上的佳话。,微积分的发展,6、沃利斯的“无穷算术” 沃利斯另“一项重要的研究是计算四分之一单位圆的面积，并由此得到 的无穷乘积表达式。并有以下猜想：,微积分的建立,、由于生产实际的需要，力学和天文学的推动，在众多数学家的努力下，十七世纪后半叶，终于由伟大的英国数学家、物理学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼兹，在不同的国家，几乎在同时总结先贤研究成果的基础上，各自独立的创建了划时代的微积分。,、牛顿和莱布尼兹都是结合着力学和光学问题的研究，并且都是用几何学的方法达到微积分的。牛顿侧重于力学的研究，为寻求变速运动的瞬时速度，而建立了微积分的计算方法。莱布尼兹关于微积分的工作，则来自于几何学的研究，突出了切线的概念。,微积分的建立,牛顿的“流数术” 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿几何学，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小记号表示x的无限小且最终趋于零的增量,笛卡尔几何学首页,微积分的建立,1665年11月发明“正流数术”(微分法)，次年5月又建立了“反流数术”(积分法)1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以流数简论著称 ,是历史上第一篇系统的微积分文献 .,牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。,微积分的建立,莱布尼茨的微积分,莱布尼茨当时还没有微积分的符号，他用语言陈述他的特征三角形导出的第一个重要结果： “由一条曲线的法线形成的图形，即将这些法线(在圆的情形就是半径)按纵坐标方向置于轴上所形成的图形，其面积与曲线绕轴旋转而成的立体的面积成正比”。,在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉 莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这就将求积问题化成了反切线问题，即：为了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率为 如果是在区间a,b上，由0,b上的面积减去0,a上的面积,便得到,微积分的建立,微积分的严格化,自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然科学的各个方面，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法等等形成了数学的三大分支之一的“分析”。微积分应用于几何开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理学上，就有了分析力学；于天文上就有了天体力学等。但是微积分的基础是不牢固的，尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人们对他们的理论的怀疑与批评。,微积分的严格化,最有名的批评来自英国牧师伯克莱（Berkeley）.,1734年，他在分析学家，或致以为不信神的数学家中写道“这些小时的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”他对莱布尼兹的微积分也大家抨击，认为那些正确的结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而得到的。他的结论是：连牛顿的微积分、无穷小量那样模糊不清、逻辑混乱的东西都可以相信，为什么你们却不肯相信上帝呢？,微积分的严格化,18世纪的时候，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。,达朗贝尔,拉格朗日,微积分的严格化,达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限” ；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。,19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西.柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的分析教程，无穷小计算教程以及微分计算教程。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。,微积分的严格化,另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯。 魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义：自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到一定程度时,与数学函数的数值差为无穷小的数。 魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。,微积分的严格化,魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。戴德金、康托尔几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明实数系的完备性。这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。,微积分的严格化,牛 顿,艾萨克牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。,莱 布 尼 茨,戈特弗里德威廉莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年1716年），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿先后独立发明了微积分。,微积分发明优先权之争,1684 年莱布尼兹发表了他的微积分的论文。3年后，牛顿在1687年出版的原理书的初版中对莱布尼兹的贡献表示认同，但是却说：“和我的几乎没什么不同，只不过表达的用字和符号不一样。”这几句话，由于后来与莱布尼兹的矛盾，在第二版（1713年）时也被删掉了。,微积分发明优先权之争,牛顿的流数理论到莱布尼兹发表论文二十年后， 即1704年作为他的著作光学的附录中正式发表，附录的序言中，牛顿提到他1676年给莱布尼兹的信，并补充说“若干年前我曾出借过一份包含这些定 理(微积分)的原稿，之後就见到一些从那篇当中抄出来的东西，所以我现在公开发表这份原稿。”这话的意思就暗指他的手稿曾经被莱布尼兹看到过，而莱布尼兹 的论文就是从他的手稿中抄来的。,微积分发明优先权之争,现在公认的看法是：牛顿首先发明微积分，莱布尼兹后来也发明了微积分，但他早于牛顿向外公布出来。由于他曾看过牛顿的论文手稿，因此，争议的焦点在于，到底按莱布尼兹说的，是他独自发明了微积分，还是按牛顿说的，他借鉴抄袭了牛顿的成果？,微积分发明优先权之争,1711 年3月4日，伦敦皇家学会的秘书斯洛（ Hans Sloane）收到莱布尼兹寄来的一封信，信中抱怨其成员开尔（John Keill）指责莱布尼兹把牛顿的微积分改变了少量的符号，伪装为自己的原创发表，并且声明这不是事实，要求学会给以公正的裁决。,微积分发明优先权之争,倒牛顿者指出，这一状告正好告到了牛顿手上，恰好给了当时作为皇家学会主席的牛顿以售其奸的机会。后来，由于牛顿的导演和亲自出马、匿名运作，形成势不两立的两派。以英国为一派包括英国著名数学家泰勒和麦克劳林都认为莱布尼兹是抄袭者。另一派是欧洲大陆的 数学家，包括著名数学家约翰?伯努利等为一派认为牛顿是抄袭者。争论双方停止学了术交流，不仅影响了数学的正常发展，也波及整个自然科学领域，以致发展到 英德两国之间的政治摩擦。,微积分发明优先权之争,这场由牛顿导演捍卫牛顿的战斗，使英国人吃了大亏。莱布尼兹生命中的最后年，是在这场大争论中痛苦地度过的。,谢谢观赏,