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,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,4.3 泰勒 ( Taylor )公式,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 求 n 次近似多项式,要求:,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,2. 余项估计,令,(称为余项) ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,定理4.2.3. 泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒 目录 上页 下页 返回 结束,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,泰勒多项式逼近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4 函数的单调性与极值,4.1.1 函数单调性的判定法,若,定理 4.1.1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,例4.1.1. 确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.4.2. 证明,时, 成立不等式,证: 令,从而,因此,且,证,证明 目录 上页 下页 返回 结束,* 证明,令,则,从而,即,4.2.2 函数的极值,定义4.4.1,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 4.4.1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,点击图中任意处动画播放暂停,例4. 4.3求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大点，,其极大值为,是极小点，,其极小值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.4.2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.4.4 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义4.5.1 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,4.5 函数曲线的凸性与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4.5.1.,(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上可,导,证毕,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例4.5.1. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 5.2 求曲线,的拐点.,解:,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.5.3求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,2.曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.6 函数的最值及其在经济分析中的应用4.6.1函数的最值,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.6.1.求函数,在闭区间,上的最大值和最小值 .,解: 显然,且,故函数在,取最小值 0 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( k 为某一常数 ),例4.6.2 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20,AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货,D 点应如何选取?,解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的,极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,物从B 运到工厂C 的运费最省,从而为最小点 ,问,Km ,公路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.6.2 函数的最值在经济分析中的应用,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.6.4 某商品每月销售q件时，总收入函数为,问第月销售多少件商品时，总收入最大？总收入是多少？,解 该问题归结为q在(0，+)内取何值时，函数R(q) 的值最大.,令 ，解得q=100.函数 R(q) 仅有一个驻点.又由实际问题可断定， R(q)有最大值.故当q=1000时，,的值最大，即每月销售100件商品时，,可使总收入最大，约为36788元.,例4.6.5 某企业第月生产q吨产品的成本为,求其最低成本.,解 平均成本函数为,现在问题归结为求q(0,+)，使 函数的值最小.,令 ，解得q=300.因此 在(0,+)内仅有一个驻点q=300.又由实际问题本身可知 有最小值，则 为最小值，即该企业每月生产300t产品时，平均成本最低为36元/t.,内容小结,1. 连续函数的极值,(1) 极值可疑点 :,使导数为0 或不存在的点,(2) 第一充分条件,过,由正变负,为极大值,过,由负变正,为极小值,(3) 第二充分条件,为极大值,为极小值,(4) 判别法的推广 ( Th.3),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,最值点应在极值点和边界点上找 ;,应用题可根据问题的实际意义判别 .,思考与练习,(L. P500 题4),2. 连续函数的最值,1. 设,则在点 a 处( ).,的导数存在 ,取得极大值 ;,取得极小值;,的导数不存在.,B,提示: 利用极限的保号性 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,是方程,的一个解,若,且,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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