高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算空间向量求二面角的方法素材北师大版选修2-1

高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算空间向量求二面角的方法素材北师大版选修2-1空间向量求二面角的方法方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设AOB是二面角的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小例1正四面体ABCD中，求相邻两个面所成的二面角解析：如图1，取BC边的中点，连结AE、DE，则AEBC，DEBC，所以AED就是正四面体的两个相邻面ABC与DBC所成二面角的平面角，且BC平面ADE，BCAD，设正四面体棱长为1又在ABC与BCD中，可求得，故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为则两个平面的二面角为例2如图4，ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SA=BC=2，AB=4，D、N分别是BC、AB的中点求二面角S-ND-A的余弦值解析：平面ABC的法向量是，设平面SND的法向量为SA平面ABC，SABC，SAAB， 又ABBC，由。又，。又，。记为所求二面角，则。4