立体几何线面垂直的证明

立体几何证明【知识梳理】1. 直线与平面平行判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（“线线平行 _线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行 线线平行”）2.直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直_线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于 这个平面.性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。（线面垂直 线线垂直）性质2 :如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .三。平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行.1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理:如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直 _面面垂直”）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直 _线面垂直）知识点一【例题精讲】1. 在棱长为2的正方体ABCD ABiCiDi中，E、F分别为DD,、DB的中点。(1) 求证：EF/ 平面 ABCi Di ； ( 2)求证：平面 BDiCi BiC EFBC ；(3)求三棱锥Bi EFC的体积V.2. 如图所示,四棱锥P ABCD底面是直角梯形,BA AD, CD AD, CD 2AB, PA 中点，PA= AD= A吐 i.(1) 证明：EB/平面PAD ;(2) 证明：BE 平面PDC ;(3) 求三棱锥B PDC的体积V.底面ABCD E为PC的3、如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD，/ ABC=60 , PA=AB=BC , E 是 PC 的中点，证明：1, / BAA 1=60 (I)证明：AB 丄A1C;1、如图，菱形ABCD与等边 PAD所在的平面相互垂直，AD=2 , / DAB=60 .)求三棱锥C- PAB的高.2. 如图1-4所示， ABC和厶BCD所在平面互相垂直，且AB= BC= BD = 2, Z ABC =/ DBC = 120, E, F，G分别为AC，DC，AD的中点.求证：EF丄平面BCG;3. 如图1-1所示，三棱柱 ABC -A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC 上，Z ACB = 90, BC= 1, AC = CC= 2.(1)证明：AC1 丄A1B;4、如图，在三棱台 ABC - DEF 中，平面 BCFE 丄平面 ABC , Z ACB=90 , BE=EF=FC=1 ,BC=2 , AC=3 . (I)求证：BF丄平面ACFD ; (H )求直线 BD与平面ACFD所成角的余弦 值.5、三棱锥 P- ABC 中，/ BAC=90 , PA=PB=PC=BC=2AB=2 , (1)求证：面 PBC 丄面 ABC6. 已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面 PDCL底面 ABCD,E为PC的中点. 求证:PA/平面EDB;求证：平面EDBL平面PBC;(1)求证：AP /平面BDE ;2.求证BE垂直平面PAC7、如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB丄平面ABCD ,PA丄PB , BP=BC , E为PC的中点.8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥 M - ABCD (如图二)， 若在四棱锥 M - ABCD中有MA= . ；( 1)求证：AC丄MD ; (2)求四棱锥 M -ABCD的体积.e图二Ri.ySlIII2、如图，在斜三棱柱 ABC - AiBiCi中，O是AC的中点，AiO丄平面ABC，/ BCA=90,AAi=AC=BC .(I)求证： AiB 丄 ACi ;3、如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是/ ABC=60的菱形，M为PC的中点，PC=.(I)求证：PC丄AD ;作业i、如图i,菱形ABCD的边长为i2，Z BAD=60，AC交BD于点O.将菱形 ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B - ACD，点M， N分别是棱BC，AD 的中点，且DM=6 :.(I)求证：OD丄平面ABC ;1 P 11 S-14、如图，四棱锥 P-ABCD 中，AP 丄平面 PCD , AD / BC , AB=BC= AD , E,F分别为线段(I)求证:(U)求证:中，AB / CD , BC丄CD，侧面SAB为等边三角形.AB=BC=2 ,5、如图，四棱锥S- ABCDCD=1 , SD= ：（ 1）证明：CD 丄 SD;6如图，四棱锥 S-ABCD中， ABD是正三角形，CB=CD , SC丄BD .(I)求证：SB=SD ; (H)若/ BCD=120 , M为棱SA的中点，求证： DM /平面 SBC.7、如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，2AB AE AD 4,现将 ABE沿BE边折至 PBE位置，且平面 PBE 平面3BCDE(1)求证：平面PBE 平面PEF ；PFDBC8、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形 且/ DAB=60 ，PA PD 2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1) 证明：AD 平面DEF;9、在如图所示的多面体 ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB/CD ,DAB 90，四边形ADEF为等腰梯形，EF/AD，已知AE EC，AB AF EF 2，AD CD 4.(I)求证：平面 ABCD 平面ADEF10. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD中，AB AC，PA 平面 ABCD，且PA AB，点E是PD的中点.(U)求证：PB/平面AEC ;11. 棱长为2的正方体 ABCD - AiBiCiDi中，M是棱AAi的中点，过 C、M、Di 作正方体的截面，则截面的面积是