2021上海春考数学

2 2021 年上海市春季高考数学试卷2021.01一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1. 已知等差数列 a n的首项为 3，公差为 2，则 a =102. 已知 z =1 -3i ，则 | z -i | =3. 已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为4. 不等式2 x +5x -20)的最小值为 5，则 a =9. 在无穷等比数列 a 中， lim( a -a ) =4 ，则 a 的取值范围是n 1 n 2n 10. 某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式 组合A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7 点 -8 点8 点 -9 点9 点 -10 点10 点 -11 点11 点 -12 点30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟11. 已知椭圆 x +yb22=1（ 0 b 0，存在实数 j ，使得对任意 n N* ， cos( nq+j)-1,x R ， B = x | x2-x -2 0, x R，则下列关系中，正确的是（ ）A.A BB.RA RBC.A B =D.A B =R15. 已知函数 y = f ( x )的定义域为 R ，下列是 f ( x )无最大值的充分条件是（ ）A.C.f ( x )f ( x )为偶函数且关于点 (1,1)对称为奇函数且关于点 (1,1)对称B.D.f ( x )f ( x )为偶函数且关于直线 x =1为奇函数且关于直线 x =1对称对称16. 在 ABC 中， D 为 BC 中点， E 为 AD 中点，则以下结论： 存 ABC ，使得 AB CE =0；存在三角形 ABC ，使得 CE (CB +CA ) A. 成立，成立C. 不成立，成立；它们的成立情况是（ ） B. 成立，不成立D. 不成立，不成立为等边三角形，求四棱锥 P -ABCD 的体积；三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 四棱锥 P -ABCD ，底面为正方形 ABCD ，边长为 4， E （1）若 PAB为 AB中点， PE 平面 ABCD .（2）若 CD 的中点为 F， PF与平面 ABCD 所成角为 45，求 PC 与 AD 所成角的大小.18. 已知 A、 B、 C 为 ABC的三个内角， a、 b、 c是其三条边， a =2， cos C =-14.（1）若 sin A =2sin B ，求 b、 c；（2）若 cos( A -p4) =45，求 c.19.（1）团队在 O 点西侧、东侧 20 千米处设有 A 、 B 两站点，测量距离发现一点 P 满足 | PA | -| PB |=20千米，可知 P在 A、 B为焦点的双曲线上，以 O 点为原点，东侧为 x轴正半轴，北侧为 y轴正半轴，建立平面直角坐标系， P 在北偏东 60处，求双曲线标准方程和 P 点坐标.（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 C 、 D两站点，测量距离发现 | QA | -| QB |=30千米，| QC | -| QD |=10千米，求 | OQ |（精确到 1 米）和 Q点位置（精确到 1 米，1）20. 已知函数 f ( x ) = | x +a | -a -x.（1）若 a =1，求函数的定义域；（2）若 a 0，若 f ( ax) =a有 2 个不同实数根，求 a的取值范围；（3）是否存在实数 a，使得函数 f ( x )在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范围.21. 已知数列 a 满足 a 0 ，对任意 n 2 ， a 和 an n nn +1中存在一项使其为另一项与 an -1的等差中项（1）已知 a =5 ， a =3 ， a =2 ，求 a 的所有可能取值；1 2 4 3（2）已知 a =a =a =0 ， a 、 a 、 a 为正数，求证： a 、 a 、 a 成等比数列， 1 4 7 2 5 8 2 5 8并求出公比 q；（3）已知数列中恰有 3 项为 0，即 a =a =a =0r s t， 2 r s t，且 a =1 1， a =22，求 ar +1+as +1+at +1的最大值.x 2021 年上海市春季高考数学试卷2021.01一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1. 已知等差数列 a n的首项为 3，公差为 2，则 a =10【解析】21， a =a +9 d =2110 12. 已知 z =1 -3i，则 | z -i | =【解析】 5， z -i =1 +3i -i =1 +2i， | z -i | = 53. 已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为【解析】 4p， S =2prh =4p4. 不等式2 x +5x -21的解集为【解析】 ( -7,2)，2 x +5 2 x +5 x +71 -1 0 0 -7 x C 2 ，且 C 3 C 4n n n n， n =6，令 x =1，系数和为 2 6 =648. 已知函数 f ( x ) =3x+3xa+1( a 0)的最小值为 5，则 a =【解析】9， f ( x) =3 +1 +3xa+1-1 2 a -1 =5， a =9，经检验， 3x =2时等号成立9. 在无穷等比数列 a n中， lim( a -a ) =4 1 nn ，则 a2的取值范围是【解析】 ( -4,0)(0,4)，由题意， q ( -1,0) (0,1)， lim a =0 nn ， lim( a -a ) =a =4 1 n 1n ， a =a q =4 q ( -4,0) (0,4) 2 110. 某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式 组合A 运动B 运动C 运动D 运动E 运动7 点 -8 点8 点 -9 点9 点 -10 点10 点 -11 点11 点 -12 点 * 30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟【解析】 23 ，由题意，至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，AB、DB、EB 的组 合是不符题意的， C 5 +C 4 +C 3 +C 2 -3 =235 5 5 511. 已知椭圆 x2+yb22=1 （ 0 b 0 ，存在实数 j ，使得对任意 n N ， cos( nq+j)AOB =6 3，对任意 n N * 要成立，2pqN *，即q=2p p 2p ， k N* ，同时 q ， q的最小值为k 3 5二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）A.f ( x ) =x2B.f ( x) =sin xC.f ( x ) =2xD.f ( x ) =1【解析】选 C，由题意，作平行于 x 轴的任意直线，与函数最多只有一个交点14. 已知集合 A = x | x -1,x R 的是（ ）， B = x | x 2 -x -2 0, x R，则下列关系中，正确A.A BB.RA RBC.A B =D.A B =R【解析】选 D， A =( -1,+)， B =( -,-1 2, +)， A B =R，其余选项均错误15. 已知函数 y = f ( x)的定义域为 R，下列是 f ( x )无最大值的充分条件是（ ）A.f ( x )为偶函数且关于点 (1,1)对称B.f ( x )为偶函数且关于直线 x =1 对称C.f ( x )为奇函数且关于点 (1,1)对称D.f ( x )为奇函数且关于直线 x =1 对称【解析】选 C，A、B、D 反例如图所示. 选项 C，如图由对称关系易得 f ( n ) =n， n Z16. 在 ABC中， D 为 BC 中点， E为 AD 中点，则以下结论： 存在 ABC，使得 AB CE =0； 存在三角形 ABC，使得 CE (CB +CA )；它们的成立情况是（ ）A. 成立，成立B. 成立，不成立 C. 不成立，成立D. 不成立，不成立【解析】选 B，不妨设 A(2 x ,2 y )， B ( -1,0)， C (1,0)， D (0,0)， E ( x , y)， AB =( -1-2 x, -2y ) ， CE =( x -1, y ) ，若 AB CE =0 ， -(2 x +1)(x -1) -2 y2=0， -(2 x +1)(x -1) =2 y2，满足条件的 ( x, y )明显存在，成立； F 为 AB 中点， (CB +CA) =2CF ， CF 与 AD 交点即重心 G ， G 为 AD 三等分点，E为 AD 中点， CE与 CG不共线，即不成立；故选 B三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 四棱锥 P -ABCD，底面为正方形 ABCD，边长为 4， E为 AB中点， PE 平面 ABCD.（1）若 PAB为等边三角形，求四棱锥 P -ABCD的体积；（2）若 CD 的中点为 F， PF与平面 ABCD所成角为 45，求 PC与 AD 所成角的大小.【解析】（1）正方形 ABCD 边长为 4， PAB为等边三角形， E 为 AB 中点， PE =2 3，VP -ABCD1 32 3 = 4 2 2 3 =3 3；2 2 （2） AD BC ， PCB 即所求角，PB =2 5， BC =4， tan PCB =52， PC 与 AD 所成角的大小为 arctan52法二：如图建系， P (0,0,4)， C (2,4,0)， A( -2,0,0)，D ( -2,4,0)， PC =(2,4, -4)， AD =(0,4,0)， cosq=PC AD | PC | |AD |16 2= =6 4 3，即 PC 与 AD 所成角的大小为 arccos2318. 已知 A、 B、 C 为 ABC的三个内角， a、 b、 c是其三条边， a =2， cos C =-14.（1）若 sin A =2sin B，求 b、 c；（2） cos( A -p44) = ，求 c . 52 2 +12 -c 2 1【解析】（1） sin A =2sin B a =2b ， b =1 ， cos C = =- c = 62 2 1 4；（2） cos( A -p4) =4 7 2 2 cos A = ， sin A =5 10 101 15， cos C =- sin C =4 4，由正弦定理，2 c 5 30= c =sin A sin C 219.（1）团队在 O 点西侧、东侧 20 千米处设有 A 、 B 两站点，测量距离发现一点 P 满足 | PA | -| PB |=20千米，可知 P在 A、 B为焦点的双曲线上，以 O 点为原点，东侧为 x轴正半轴，北侧为 y轴正半轴，建立平面直角坐标系， P在北偏东 60处，求双曲线标准方程和 P点坐标.（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 C、 D 两站点，测量距离发现 | QA | -| QB |=30千米，| QC | -| QD |=10 千米，求 | OQ | （精确到 1 米）和 Q 点位置（精确到 1 米，1）【解析】（1） a =10 ， c =20 ， b =300 ，双曲线为x 2 y 2- =1100 300；直线 OP : y =33x15 2 5 6，联立双曲线，得 P ( , )2 2；（2） | QA | -| QB |=30 ， a =15 ， c =20 ， b =175 ，双曲线为x 2 y 2- =1225 175； | QC | -| QD |=10， a =5， c =15， b2=200，双曲线为y 2 x 2- =125 200；联立双曲线，得 Q (14400 2975, ) ， OQ 19 米， Q 点位置北偏东 66 47 4720. 已知函数 f ( x ) = | x +a | -a -x.1 4 73 23 3 5 5 35 6 4 6 8 8 68 4 （1）若 a =1 ，求函数的定义域；（2）若 a 0，若 f ( ax) =a有 2 个不同实数根，求 a的取值范围；（3）是否存在实数 a，使得函数 f ( x )在定义域内具有单调性？若存在，求出 a的取值范围.【解析】（1） f ( x ) = | x +1| -1-x ， | x +1| -1 0 ，解得 x ( -,-2 0, +)；（2） f ( ax ) = | ax +a | -a -ax ， f ( ax) =a | ax +a | -a =ax +a，设 ax +a =t 0 ， t -a =t1同时 a 0， a (0, ) ；4有 2 个不同实数根，整理得 a =t -t2， t 0，（3）当 x -a， f ( x) = | x +a | -a -x =1 1 1x -x =-( x - ) 2 + ，在 , +)2 4 4递减，此时需满足 -a 14，即 a -14时，函数 f ( x )在 -a, +)上递减；当 x -a， f ( x ) = | x +a | -a -x = -x -2a -x，在 ( -,-2a上递减， a -14-a0，即当 a -14时，函数 f ( x)在 ( -,-a)上递减；综上，当 a -14时，函数 f ( x )在定义域 R 上连续，且单调递减21. 已知数列 a 满足 a 0 ，对任意 n 2 ， a 和 an n nn +1中存在一项使其为另一项与 an -1的等差中项（1）已知 a =5 ， a =3 ， a =2 ，求 a 的所有可能取值； 1 2 4 3（2）已知 a =a =a =0 1 4 7， a2、 a5、 a8为正数，求证： a2、 a5、 a8成等比数列，并求出公比 q；（3）已知数列中恰有 3 项为 0，即 a =a =a =0r s t， 2 r s t，且 a =1 1， a =22，求 ar +1+as +1+at +1的最大值.【解析】（1）由题意， 2a =ann +1+an -1或 2an +1=a +ann -1， 2 a =a +a a =1 ， 2 a =a +a a =42 3 1 3 3 2 1 3，经检验， a =13a a（2） a =a =a =0 ， a =2a ，或 a = 2 ，经检验， a = 22 2；a a a a a = 3 = 2 ，或 a =-a =- 2 （舍）， a = 22 4 2 4；a a a = 5 = 22 8a，或 a =-a =- 26 5a（舍）， a = 28；a a a a a = 6 = 2 ，或 a =-a =- 2 （舍）， a = 22 16 8 161综上， a 、 a 、 a 成等比数列，公比为 ；2 5 8；（3）由 2 a =a +a 或 2 a =a +a n n +1 n -1 n +1 n n -1，可知a -a a -a 1 n +2 n +1 =1 或 n +2 n +1 =- a -a a -a 2n +1 n n +1 n，r -1r -1 r -22 1s +1r +1 由第（2）问可知， a =0 arr -2=2 ar -1 ar -1-ar -2=-ar -1， a =0 a = r r +11 1 1 1 1 1 a =- ( a -a ) =- (- ) i 1r-3-i(a -a ) =- (- )2 2 2 2 2 2i， i N*，1， ( a ) =r +1 max41 1 1 1 1同理， a =- (- ) j 1s-2-r-j(a -a ) =- (- ) j 2 2 2 2 4， j N *， ( a ) =s +1 max116，同理， ( a ) t +1 max=164， a +a +a r +1 s +1 t +1的最大值为2164