数列综合测试题及答案

高一数学数列综合测试题an = 2005，则序号n等于().1. an是首项a1= 1,公差为d = 3的等差数列，如果A. 667B. 668C. 669D. 6702.在各项都为正数的等比数列an中，首项 ai = 3,前三项和为21,则a3+ a4+ a5 =().A. 33B. 72C. 84D.1893. 如果a1, a2,，a8为各项都大于零的等差数列，公差D. a1a8= a4a5A. a1a8 a4a5B. a1a8V a4a5C. a + a8V a4 + a54. 已知方程(x2 2x+ m)(x2 2x+ n) = 0的四个根组成一个首项为；的等差数列,I等于().A. 1B.D. 35 .等比数列an 中,a2= 9,a5= 243,则an的前4项和为().A. 81B. 120C. 168D. 1926若数列an是等差数列，首项a1 0, a2003 + a2004 0, a2003 a2004 v 0,贝y使前 n项和sn 0成立的最大自然数n是().A. 4005B. 4006C. 4007D. 40087.已知等差数列an的公差为2, 若 a1, a3, a4成等比数列，则a2=().A. 4B. 6C. 8D. 108 .设Sn是等差数列an的前n项和，若=-，则害=().a39S5A. 1B. 1C. 2D.-2精心整理精心整理9. 已知数列一1, ai, a2, 4成等差数列，一1, bi, b2, b3, 4成等比数列, 则竺上的值是().b2A.1B.-C.1或D. 12222410.在等差数列an中，anMQ2an - 1 an+ an+1 = 0(n 2)若 Sen-1 = 38,则 n=().A.38B. 20C.10D. 9二、填空题11. 设f(x)= J .，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(2 V25) + f( 4) + + f(0) +f(5) + f(6)的值为.12. 已知等比数列an中，(1) 若 a3 a4 a5= 8,贝U a2 a3 a4 a5 a6=.(2) 若 a1 + a2 = 324, a3 + a4= 36,贝U a5+ a6 =.(3) 若 S = 2, S8 = 6,贝卩 a17 + a18 + ae + a20 =.13. 在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积3 2为.14. 在等差数列an中，3(a3 + a5)+ 2(a7 + a1o+ a13)= 24,则此数列前13项之和 为.15. 在等差数列an中，a5= 3, a6 = 2,贝卩 a4+ a5 + + a1o=.16. 设平面内有n条直线(n3)其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直 线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=;当n4时，f(n)=.三、解答题17. (1)已知数列an的前n项和S = 3n2 2n,求证数列an成等差数列. 精心整理精心整理(2)已知1, 1 , 1成等差数列，求证止,U ,心也成等差数列.a b cabc18. 设an是公比为q?的等比数列，且ai, a3, a2成等差数列.(1) 求 q的值；(2) 设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S,当n2时，比 较S与bn的大小，并说明理由.19. 数列an的前n项和记为S，已知ai = 1, an+1= - Sn(n= 1, 2, 3)n求证：数列Sn是等比数列.n20. 已知数列an是首项为a且公比不等于1的等比数列，S为其前n项和，a1,2a7, 3a4成等差数列，求证：129,S5 , S12 S3成等比数列.高一数学数列综合测试题参考答案一、选择题1. C解析：由题设，代入通项公式 an= a1 + (n 1)d,即卩2005= 1+ 3(n 1) , n=699.2. C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.设等比数列an的公比为q(q0)，由题意得a1 + a2+ a = 21,即 a*1 +q + q2) = 21,又 a1= 3,二 1 + q + q2 = 7.解得q= 2或q= 3(不合题意，舍去)，2 2 2-a3 + a4 + a5 = ag(1 + q + q) = 3x2 x 7 = 84.3. B.解析：由a1 + a8= a4 + a，二排除C.精心整理精心整理2又 ai a8= ag + 7d) = a + 7ad, a4 a5 = (ai + 3d)( ai + 4d) = aj + 7aid + 12d2a a&.4. C解析：解法 1：设 ai= - , a2= - + d, as= 1 + 2d, a4= - + 3d,而方程 x2 2x+ m= 04 444中两根之和为2, x2 2x +n= 0中两根之和也为2,ai + a2 + a3 + su = 1 + 6d = 4,d= 1 , ai= 1 , a4= 7是一个方程的两个根，ai= 3 , a3= 5是另一个方程的两24444个根. 7 , 15分别为m或 n,16 16 | m n | = 1，故选 C.2解法 2：设方程的四个根为 X1, x2 , X3, X4,且 X1+ X2= X3+ X4 = 2, X1 x2= m X3 X4=n.由等差数列的性质：若？+ s= p+q ,则a? + as = ap+ aq ,若设X1为第一项，X2必 为第四项，则X2= 7 ,于是可得等差数列为1 , 3 , 5 , 7 ,44 44 4. ir=, n =,16 16 I m n | = 1 .25. B解析：t a2= 9 , a5= 243 ,竺=q = 243 = 27 ,a?9 q= 3 , ag= 9 , a1 = 3 , S=上工=240 = 120.1 326. B解析: 精心整理精心整理解法 1：由 32003 + 32004 0 , 32003 32004 V 0,知 32003 和 32004 两项中有一正数一负数， 又3l 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故 32003 32004，即卩32003 0， 32004 V 0.Sl0_ 4 0043汁 34 006)06 =2=4 004 32 003+ 32 004)2 0,. 007 4 0072(3l + 34007)4 0072 232004 V 0 ,V 0,同解法1的距离小,故4006为S0的最大自然数.选B.解法2:由3i0, 32003 + 32004 0 , 32003 32004的分析得 32003 0 , 32004 V 0 , S03为S中的最大值. S是关于n的二次函数，如草图所示， 2003到对称轴的距离比2004到对称轴7在对称轴的右侧.2根据已知条件及图象的对称性可得 4006在图象中右侧零点B的左侧，4007,4008都在其右侧，Sn 0的最大自然数是4006.7. B解析：. 3n是等差数列， 33 3i + 4, 34 3i + 6, 又由3i, 33, 34成等比数列，- ( 3i + 4) 3i ( 3i + 6)，解得 3i 8,- 32 8 + 2 6.8. A9( 3i39 )解析：/2 9 35 9 5 1 ,选 A.S55(3i 35)5 335929. A精心整理解析：设d和q分别为公差和公比，则4= 1 + 3d且4= ( 1)q4, d= 1, q=2,.a2 a1 d 1=2 =-b2q 210. C解析：t an为等差数列，a： = an-1 + an+1,2an = an2an,又anM0,二an = 2, an为常数数列,而 an= S2n 1，即 2n 12n 1=38 =19,n= 10.二、填空题解析：T f(X)= 12X . 2，X2罷 2 屈歹 罷2X，1 cX彳121二 f(X) +f(1 - X) = ,12x + ； 2X = ,222-f (1 x)=121 x2X设 S= f ( 5) + f( 4) + f(0) + f(5) + f(6),则 S= f (6) + f (5) + f(0) + f ( 4) + f ( 5), 2S= f(6) + f( 5) + f(5) + f( 4) + f ( 5) + f (6) = 62 , S= f( 5) + f( 4) + f(0) + f(5) + f(6) = 3 212. (1) 32; (2)4; (3) 32.解析:(1)由 a a5 = a4，彳得 a4= 2,a2 a3 a4 as a6= a4 = 32.(2)a a23242佝 a2)q36精心整理4-a5 + a6 = (ai + a2)q = 4.(3)4 Qq =2S4a + a? + 83 + 玄4 2S8= ai+ a2+ a8= S4+ S4q4ai7 + ai8+ ai9+ 820= Sq16=32.13. 216.解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中272间数必与3，227同号，由等比中项的中间数为幕=6,插入的三个数之积为专XX 6= 216.14. 26.解析：t a3 + a5= 2a4, a? + 莎=2a1。,-6( a4 + a1o) = 24, a4 + a10=4, S3 = 13a1+ 63) = 13( a4+ 術)=134 = 26215. 49.解析：t d = a a5= 5,-a4 + a5 + + a10=7( a4+ 勺0)2 7f a5 d + a5+5d)2=7( a5 + 2d)=49.16. 5,寸(n+ 1)( n 2).解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前 面已有的每条直线都相交， f(k) = f(k 1) + (k 1).由 f(3) = 2,精心整理精心整理f (4) = f (3) + 3= 2+ 3 = 5,f (5) = f (4) + 4= 2+3 + 4= 9,f(n)= f(n 1) + (n 1), 相加得 f(n) = 2+3 + 4+ (n 1) = (n+ 1)( n 2).2三、解答题17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与 其前一项差为常数.证明：(1) n= 1 时，a1= Si= 3 2= 1,2 2当 n2 时，an = Sn Sn-1= 3n 2n 3( n 1) 2(n 1) = 6n 5,n= 1 时，亦满足，an= 6n5(n N*).首项 a1 = 1, an an1 = 6n 5 6( n 1) 5 = 6(常数)(n N*),数列an成等差数列且a1= 1,公差为6.(2)v 111成等差数列，a b c2 = 1 + 1 化简得 2ac= b( a+ c).b a cb + c + a+ b _ bc+ c2+ a2 + ab _ b( a + c)+ a2 + c2 (a + c)2 = (a+ c)2 _ 2 . a+ cacacacacb( a+ c)b 2二b + c , c+ a , a+ b也成等差数列.abc218. 解：(1)由题设 2a3= a1 + a2,即 2ag = a + aq2-a1 工 0 , 2q q 1 = 0, q= 1 或一丄.22(2)若 q= 1,则 S=2n+.2 2当 n2 时，S bn= S1= (n1)( n+2) 0,故 Sbn.2精心整理2若 q= 1，则 S=2n+ ”nt)( !) = -n +9n.2224当 n2 时，S bn= S1= (n 1)(1n),4故对于 nN+,当 2bn；当 n = 10 时，S = bn；当 n11 时，SnVbn.19.证明：t an+1 _S+1 Sn, an+1 _ 吐2 S,n(n+ 2)S= n(S+1 S)，整理得 nS+1 = 2(n+ 1)S,所以 Sn +1 _ 2Sn .n+1n故 Sn是以2为公比的等比数列. n20.证明：由 a1, 2a7, 3a4成等差数列，得 4a?_a1 + 3a4, 即卩 4 a 1q6_ a1 + 3ag3,33变形得(4q + 1)( q 1) _ 0,1 或 q3_ 1(舍).4a1(1 q6)由 1S3 _3-12a1(1 q3)1 q 1 q3 _ 丄.12 16 ad12 一 1 _ 1S6ad1 q )q12)q6) 一 1_1+q6- r ；得 1；S _ T 12S3, S6,S2 s成等比数列.