临界转速的计算

临界转速分析的目的临界转速分析的主要目的在于确定转子支撑系统的临界转速，并按照经验或有关的技术规定，将这些临界 转速调整，使其适当的远离机械的工作转速，以得到可靠的设计。例如设计地面旋转机械时，如果工作转速低于其一阶临界转速Nel，应使N0.75Ncl, 如果工作转速高于一阶临界转速，应使1.4NckN0.7Nck+1，而对于航空涡轮发动机，习惯做法是使其最大 工作转速偏离转子一阶临界转速的 l020%。、选择临界转速计算方法要较为准确的确定出转子支撑系统的临界转速，必须注意以下两点1. 所选择的计算方法的数学模型和边界条件要尽可能的符合系统的实际情况。2. 原始数据的（系统支撑的刚度系数和阻尼系数）准确度，也是影响计算结果准确度的重要因素。3. 适当的考虑计算速度，随着转子支撑系统的日益复杂，临界转速的计算工作量越来越大，因此选择计 算方法的效率也是需要考虑的重要因素。三、常用的计算方法名称原理优点缺点矩阵迭代法（Stodola斯托多拉）1. 假定一阶振型挠曲弹性线并选择试算速度2. 计算转子涡动惯性载荷，并用此载荷计算挠性曲线3. 以计算得到的挠性曲线和适当调整的转速重新循环计算4. 当计算曲线和初始曲线吻合的时的转速即为一临转速5. 高阶临界转速方法同，但需利用正交条件消除低阶弹性线成分，否则计算错误收敛较快，一 阶临界转速结 果较为准确高阶临界转速精 度差，计算复杂逐段推算法（传递矩阵法）（Prohl-Myklestad）1. 划分转轴为若干等截面段，选择试算转速2. 从转轴的一端算起，计算另一端的四个状态参数（挠度、转角、弯矩、剪 力）3. 根据与其相邻轴段在该截面处的约束条件，得到下个轴段的状态参数4. 换个转速重复计算，直到计算得到的状态参数满足边界条件，此时的转速 即为临界转速将四个状态参 数写成矩阵的 形式，计算方 便，在各类旋 转机械制造业 中是最为通 用、发展最为 完善的方法根据经验或有关 的计术资料选择 计算转速，比较 盲目能量法(Rayleigh-Ritz)1.以能量守恒原理为理论基础，根据轴系中的最大应变能等于最大的动能，建立微分方程，据动能是转速的函数计算转速原理简单，易于理解如果假设的振型不准确会带来误差特征方程法将通用的指数解带入微分方程，得到以临界转速为解的多项式方程难以求解，应用不多数值积分法（前进法）以数值积分的方法求解支撑系统的运动微分方程，从初始条件开始，以步长很 小的时间增量时域积分，逐步推算出轴系的运动唯一能模拟非 线性系统的计 算方法，在校 核其他方法及 研究非线性对 临界转速的影 响方面很有价 值计算量较大，必须有足够的积分步数注：l.Stodola斯托多拉法2.Prohl-Myklestad 莫克来斯塔德法传递矩阵法基本原理：传递矩阵法的基本原理是，去不同的转速值，从转子支撑系统的一端开始，循环进行各轴段截面状 态参数的逐段推算，直到满足另一端的边界条件。优点：对于多支撑多元盘的转子系统，通过其特征值问题或通过建立运动微分方程的方法求解系统的临界转速 和不平衡响应，矩阵的维数随着系统的自由度的增加而增加，计算量往往较大：采用传递矩阵法的优点是矩阵 的维数不随系统的自由度的增加而增大，且各阶临界转速计算方法相同，便于程序实现，所需存储单元少，这 就使得传递矩阵法成为解决转子动力学问题的一个快速而有效的方法。缺点：求解高速大型转子的动力学问题时，有可能出现数值不稳定现象。今年来提出的 Riccati 传递矩阵法，保 留传递矩阵的所有优点，而且在数值上比较稳定，计算精度高，是一种比较理想的方法，但目前还没有普遍推 广。轴段划分：首先根据支撑系统中刚性支撑（轴承）的个数划分跨度。在整个轴段内，凡是轴承、集中质量、轮 盘、联轴器等所在位置，以及截面尺寸、材料有变化的地方都要划分为轴段截面。若存在变截面轴，应简化为 等截面轴段，这是因为除了个别具有特殊规律的变截面轴段外，其他的变截面轴段的传递矩阵特别复杂。 传递矩阵：4. 轴段传递矩阵当考虑轴段的分布质量时:起始和终端的转换方程是均质等截面杆的振动弹性方程 不考虑转轴的分布质量时建立的传递矩阵每段起始状态参数和终端状态参数的转换方程，根据是否考虑转轴的分布质量，可以建立两种轴段传递矩 阵X11Laa L -a1212 11901aa L -a2222 21M001L Q丿0001IQ 丿 0i其中，all,al2,a21,a22为该轴段的影响系数，根据材料力学:L3a =ii3EJL2, all和a12是终端的剪力和弯矩在终端引起的挠度，a21和a22是终端的剪力和12212 EJLa =22 EJ弯矩在终端引起的转角4. 各轴段间的传递矩阵 从前一轴段的终端到下一轴段的始端，如果中间没有独立的结构单元，则状态参数不发生变化，传递矩阵 是单位矩阵；两者之间有独立的结构单元时，用前一轴段的终端矩阵乘以此单元的矩阵，即的下一单元的 始端矩阵。独立的结构单元大概可以分为以下四种:a. 通过点质量时为:1000其中， mi 为点质量， p 为系统的固有频率01000010m p 2001ib. 通过转动盘时为10000100匚wI )0-1 -*pI P 210I pId Jdm P 2001其中， mi 盘的质量， Ip 盘的极转动惯量， Id 盘的直i径转动惯量，w盘的转动角速度c. 通过弹性铰链时为1 0 0 0，其中， ch 为铰链的力矩刚性系数0 1丄0 ch0 0 1h 00 0 0 1d. 通过具有弹性约束的弹性支座时为100001c000h10，其中，co弹性支座的刚性系数，如果没有弹性约束则ch=0.-c00014. 各跨度间的传递矩阵a. 通过刚性支座的传递 刚性支座是一个跨度的结束，在支座处的横向位移为 0，所以：X= X = 00(i+1)kig _ g M0(i+1)_ M其中，Ri为支座的反作用力，在以后整个跨度的计算中，此反作用力代替前0( k+1)kiQ _ Q - R0(i+1)ki i一跨度中被消除的参数(挠度)，而未知参数的个数不变。b. 通过球头联轴器的传递球头联轴器也是一个跨度的结束，在此处的弯矩为 0.所以： X _X0( i+1)kig _ g + a0B2时为正涡动；B1B2时为反涡动。由以上讨论可知，圆盘或转轴的中心的进动或涡动属于自然振动，他的频率就是圆盘没有 转动时，转轴弯曲振动的自然频率。1.2 圆盘的偏心质量引起的振动、临界转速假设转盘的质量为m,偏心距为，角速度为w,设离心力的初始相位a为0， 则在某一时刻t,离心力矢量和x轴的夹角为wt,此时离心力在X和Y向的投 影为：Fx和Fy分别是各自方向上的周期性变化的力，频率和转盘的频率相同，在这种 交变力的作用下，转子在X和Y方向也将做周期性运动，假设两个方向上阻尼 和刚度相同，则转子的运动微分方程：其解为：x(t) = Z cos( wt 一申)y (t) = Z sin( wt 一申)F2I11-+（2gw / w）2寇胜利n2gw / w申=arctan fn-1 - vw / w T2代入(L.13)式后，可求得振幅1(M-O圆盘或转轴中心出对于不平衡质最的响应为i叫钟一谔结论：1. 只考虑强迫振动时，轴心的响应频率和偏心质量的激振频率相同，在转速小于临界转速时 且不考虑阻尼时，相位也相同，轴心和质心在一条直线上；当转速大于临界转速时且不考 虑阻尼时，相位相差 180。2. 当考虑转子的涡动时，运动比较复杂；3. 不平衡矢量所在的位置成为重点，振动矢量所在的位置成为高点，高点比重点滞后的角度 成为滞后角，当令阻尼比为0时，0为0,说明滞后角是由阻尼引起的；4. 转子存在偏心，运行的过程中又出现动挠度，当转速小于临界转速时，挠度和 F 即偏心方 向相同，使终偏心增大；当转速等于临界转速时，出现共振；当转速大于临界转速时，挠 度方向和偏心方向相反，使终偏心减小，转子振动趋于平稳，这种现象成为自动对心；1.3 等截面转子的振动并不是所有的转子系统都可以简化为具有刚性支撑的单轮盘转子系统模型，对于均质、等 截面转子，如果按照集中质量处理，将不能反映真实振动特性。均质、等截面转子系统的运动 规律可以用一个偏微分方程表示，该偏微分方程含有时间和轴向位置两个自变量，因此可以确 定任意轴线位置在任意时刻的位置，利用均质、等截面转子模型研究得出的结论对一般转子也 是适用的。运动方程：如图上图所示的两端简支的等截面转子，设其密度为P,截面面积为A,弯曲刚方程组成：度为EI,分布干扰力在xoz和yoz平面分别为Fx(z,t) Fy(z,t)，则转子的振动可以用以下一组微分令分布干扰力为0，即可得到转子的自由振动微分方程：pA。2XG ：)+ EI 4x(Z，t)= f (z, t)0024xpA 泌* + EI 竺少=f (z, t)t 2z4y其解为：由上式可知转子的自由振动是一系列简谐振动的合成，这些简谐振动有以下特点： . 固有频率和振型函数是一一对应的；.n兀z .振型函数sin 反映了转子轴线上各点位移的相对比例关系，无论振幅Dn如何变化 ，这种比例关系不会变化； . 振型是由转子-支撑系统自身的特点决定的，所以又称为固有振型，不同类型的转子系统的振型函数不同，上述的是均质等截面转子的振型函数。有关振型的基本概念：a) 节点：轴线上某一点的振型函数值称为该点的振型值，振型值为 0 的点成为节 点，阶数越高节点越多，N阶振型的节点数为N-1；b) 对称性：对于两端简支的等截面转子，奇数阶振型是对称的，而偶数阶振型是反 对称的。因此。在两支座间，奇数阶振型相位相同而偶数阶振型相位相反；c) 正交性：转子的不同阶振型间具有正交性，即第m阶振型和第n阶振型的乘积在 轴长上的积分为 0。d) 理论上，转子的 1、2、3阶固有频率的比值是 1： 4： 9，实际1、2阶固有频率间 的比值为 1 ： 3 左右；e) 理论上，转子 -支撑系统经过临界点时，相位变化 180，实际上由于阻尼的存 在，在临界转速处相位一般变化 90，即振动矢量和不平衡矢量间的滞后角为 90。f) 如下图所示，由于阻尼的存在，转子中心对不平衡质量的响应在w=Wn处不仅不 是无限大值，而且不是最大值，最大值发生在 w 略微大于 Wn 时。对于实际的转 子系统，有时通过在升速或降速的过程中测量响应的办法来确定转子的临界转 速，常常把这个过程中的最大值即峰值的转速作为临界转速。有图可知，通过测 量所获得的临界转速在升速上略大于实际的临界转速，而在降速时这略小于实际 的临界转速。1.3 陀螺力矩基本概念：1. 对质点的动量距：质点 Q 的动量对于点 O 的距定义为质点对于点 O 的动量 距，其值为点O到质点Q的矢量差乘以动量：Mo(mv)=Rxmv，方向按照右手 定则判定。2. 对轴的动量距：质点Q的动量在xoy面内的投影mv(xy)对与O点的距定义为 质点Q对Z轴的动量距；3. 刚体对轴的转动惯量：刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它等于刚 体内各质点的质量与该质点到轴的垂直距离平方的乘机的和。4. 赖柴定理：质点系对固定点的动量距矢量断点的速度等于外力系对同一点的 主距。当圆盘不在两支撑的中点而偏于一边时，转轴变形后，圆盘的轴线和两指点的连线 AB 有 一夹角3。设圆盘的自转角速度为w,极转动惯量为Jp,则圆盘对质心的动量距为：H=Jpw, 根据右手定则，它与AB连线的夹角也为3。设转轴涡动的频率为Wn,则圆盘中心o与轴线 AB所构成的平面绕AB轴有进动角速度。由于进动，圆盘的动量距H将不断变化，因此动量距 矢量的终点将具有速度U,根据赖柴定理(质点系对固定点的动量距矢量断点的速度等于外力系 对同一点的主距)，而圆盘重力距等于 0，显然和动量距矢量终点的速度相等的外力距只可能是 轴承的动反力Fl、F2产生的力矩；力矩-M (根据作用和反作用)称为陀螺力矩，它是圆盘施加与转轴的力矩，相当于弹性力 矩。在正进动(03 n /2)时，它是转轴的变形减小，从而提高了转轴的弹性刚度，即提高了 转子的临界转速；在反进动(n /23 n )时，它是转轴的变形增大，从而降低了转轴的弹性刚 度，即降低了转子的临界转速。当机械中的高速转动部件的对称轴被迫在空间中改变方位时，即对称轴被迫进动时，转动 部件必须对约束作用一个附加力偶，这种现象称为陀螺效应。当陀螺效应严重时，可能使机械 产生故障，尤其是轴承。l.4 弹性支撑对转子临界转速的影响Jeffcott 转子：这种转子模型是对真实转子的简化，刚性支承的单盘转子，单 盘位于支承的中间，分析临界转速和陀螺力矩等，是转子动力学的基础。 假设盘在平面内运动，不考虑轮盘的偏转，轴是无重轴。临界转速计算：1.基本参数：截面惯性矩：J=4.91E-10 ,弹性模量E=2E11、右端质量 m3=O.O96g=O.lkg，两个盘的质量 ml=m2=0.8kg, I = m 2 + r 22=5.73E-4,p 1 1 2Id=Ip/2=2.86E-4。2. 各轴段的传递矩阵：第一段： l=0.045m， J=9.82E-10， a11=1.55E-7， a12=a21=5.16E-6， a22=2.29E-4 1 0.045 5.16x10-67.73x10 -8_012.29x10-45.16x10-60010.045000 1第二段： l=0.11m， J=9.82E-10， a11=2.26E-6， a12=a21=3.08E-5， a22=5.6E-4 ，10.113.08x10-51.128x10-6015.6x10-43.08x10-50010.110001第三段： l=0.15m， J=9.82E-10， a11=5.73E-6， a12=a21=5.73E-5， a22=7.64E-4，10.155.73x10-52.865x10-6017.64x10-45.73x10 -50010.150001第 四 段 ： l=0.11m， J=9.82E-10， a11=2.26E-6a12=a21=3.08E-5 ， a22=5.6E-410.113.08x10-51.128 x10 -6_015.6x10-43.08x10-50010.110001第五段：l=0.01，J=9.82E-10 ，a11=1.70E-9 ，a12=a21=2.55E-710.012.55x10-78.5x10-10 -0 15.09 x10-52.54x10-7a22=5.09E-50 010.010 001X 一019初始参数列阵为：01 ，令X01=l,选取P=2050r/s，用第一段的矩阵乘此矩阵，即可得此段的终端参数：X = 1 + 0.0450 = 0k1 010 =0 =22.22k101M =0k1Q =0k1第二段的始端参数列阵为：X = 0020 = 22.2202M = 002Q = -R02 AX =2.4442 1.128x10-6 Rk2A0= 22.22 3.08x10-5 R数： k 2AM =0.11Rk 2AQ = Rk2A用第二段的传递矩阵乘此列阵，得终端参1000010001.2x103103.362x106001通过转盘的传递矩阵：用此矩阵乘以第二段的终端矩阵得第三段的起始参数：X = -30.854-2.789x10 -5 Rk 3A第三段的终端参数：0=513.62 4.18 x10 - 4 Rk3AM =1.26x106 0.8655Rk 3AQ = 8.22x106 4.79Rk3A1000010001.2x103103.362x106001通过转盘的传递矩阵：用此矩阵乘以第三段的终端矩阵得第四段的起始参数：第四段的终端参数：X =-219.47-2.27x10-4Rk4A0 =5013.784.219x10-3Rk4AM = 1.4196x107 7.72Rk4AQ = 1.12x108 12.21Rk4A零，从而可得RA=-9.668E5，第五段的起始矩阵为:第五段的终端矩阵：X = 3.71 8.5x1010Rk5B0= -548.81 - 2.54x10-7Rk5BM = 7.367x106 0.01Rk5BQ =8.27x107 Rk5B，该段末端为刚性支撑，估位移为，点质量的传递矩阵为:1004.2x1050010010000C，转子终端的传递矩阵为:X =3.71 - 8.5 x10-io RB9 = -548.81-2.54x10-7 RBM =-7.367x106 -0.01RBQ =-8.426x107 -RB段是一个悬臂，其右端没有外力和力矩，因此上式的后两式为零。系数行列式展开:=6.524E5.，最后一