资源描述
,三角形单元,00:02,2,引 言,杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进行自然的离散。,连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工的方法进行离散。,00:02,3,三节点平面三角形单元,三节点三角形单元的位移函数可假设为：,“位移函数”也称“位移模式”，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。有限元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情。有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果。这正是有限单元法具有的重要优势之一。,引入位移函数的概念：,00:02,4,平面三角形单元,显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上的水平位移方程为： u1=1+2 x1 +3 y1 u2=1+2 x2 +3 y2 u3=1+2 x3 +3 y3,解出,00:02,5,平面三角形单元,假设,求得,其中A是三角形的面积,00:02,6,平面三角形单元,式中N1，N2和N3是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形函数，数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值，也叫做插值函数。,三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单元上分布的形状，所以称它为形函数（shape function）。这里值得注意一下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解，而不能说是精确解。,为什么叫形函数?,同理,00:02,7,平面三角形单元,其中,i,j,k,i = 1, 2, 3,j = 2, 3, 1,k = 3, 1, 2,三角形的形函数可统一表示为：,00:02,8,形函数的性质,在单元任一点上三个形函数之和等于1(单位分解性),1. 三个形函数只有两个是独立的,2. 当三角形单元的三个结点的位移相等,第一列与它的代数余子式乘积之和,第一列与第二列的代数余子式乘积之和,第一列与第三列的代数余子式乘积之和,2A,0,0,00:02,9,形函数Ni 在节点i 上的值等于1，在其它节点上的值等于0。,形函数的性质,00:02,10,在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有:,形函数的性质,证,ij方程,00:02,11,形函数的性质,相邻单元的位移在公共边上是连续的,形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为,式中 为 边的长度。,00:02,12,形函数的性质,完备性包含常应变项和刚体位移项 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则选取的位移函数至少是m阶完全多项式。 协调性相邻单元公共边界保持位移连续 如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m-1)阶的连续导数，即Cm-1连续性。,如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变，这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去，有限元解就不可能收敛于真正解。,收敛单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真解,00:02,13,形函数的性质,当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（通常较容易满足）。当单元的位移函数满足协调性要求时，称单元是协调的。 当势能泛函中位移函数的导数是2阶时，要求位移函数在单元的交界面上具有C1或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往往比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要单元能够通过分片试验 (Patch test)，有限元分析的解答仍然可以收敛于正确的解。这种单元称为非协调单元。,分片试验由B.M.Irons首先提出，已经证明它给出了收敛性的充分条件。,00:02,14,单元应变和应力矩阵,应变矩阵,00:02,15,单元应变和应力矩阵,由于 与x、y无关，都是常量，因此B矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是B矩阵与单元节点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。,00:02,16,单元应变和应力矩阵,平面应力：,应力矩阵,平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。,00:02,17,单元应变和应力矩阵,由于同一单元中的D、B矩阵都是常数矩阵，所以S矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。 当然，相邻单元的E，A和bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小。,00:02,18,单元分析,几何关系位移函数,本构关系,平衡关系,单元刚度矩阵,00:02,19,单元应变能,单元应变能 U为：,注意到弹性矩阵D的对称性,00:02,20,刚度矩阵,引入刚度矩阵K：,则：,注意：hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得 Ke的一般式：,00:02,21,单元外力功,单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。,00:02,22,单元外力功,（1）体积力所做的外力功,00:02,23,单元外力功,（2）面力所做的外力功,qs,00:02,24,单元外力功,（3）集中力所做的外力功,当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力fc的势能Vc为,综合以上诸式，单元外力的总外力功V为,00:02,25,系统势能,扩充叠加,扩充叠加,系统势能,00:02,26,单元刚度矩阵的扩充叠加,m,i,j,m,i,j,单元编号 ijm,00:02,27,单元等效节点载荷列阵的扩充叠加,m,i,j,单元编号 ijm,00:02,28,能量原理和系统平衡方程,系统势能,根据弹性力学能量原理：结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值。,上式是从能量原理导出的系统平衡方程。这个方程表达了节点力与节点位移之间的关系。,00:02,29,刚度矩阵,单元刚度矩阵：,1D:,2D:,系统刚度矩阵：,弹性矩阵D的对称性,Ke对称,K对称,00:02,30,刚度矩阵,刚度矩阵K的详细内容为：,i、j是行列号，Ns为系统自由度数。,00:02,31,刚度矩阵,(1) 刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义。例如，Kij表示当节点位移中第j个元素为1(dj=1)其余元素为零时，引起的单元力中的第i个节点力fi。,把平衡方程写开,主对角线上元素Kii(i=1, Ns)恒为正值：位移和作用力同向,00:02,32,刚度矩阵,(2) K的每一行或每一列元素之和为零,以上式中第i行为例:,当所有节点沿x向或y向都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也无应力，因而单元结点力为零（不含初应力）。 所以有,即，K的每一行元素之和为零。由于对称性，每一列元素之和也为零。,00:02,33,刚度矩阵,(3) 系统刚度矩阵是奇异矩阵（ 即K的行列式为零）,(4) 系统刚度矩阵是常量矩阵,系统的节点力和节点位移成线性关系是基于弹性理论的结果。,刚度矩阵是在系统处于平衡状态的前提下得出的。作用在它上面的外力必定是平衡力系。然而，研究系统平衡时没有引入约束。承受平衡力系作用的无约束系统，其变形是确定的，但位移不是确定的。所以出现性质（2）中的“平动问题”，即可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，系统平衡方程的解不是唯一的或不能确定的。由此，系统刚度矩阵一定是奇异的。单元刚度矩阵也一定是奇异的。,00:02,34,位移边界条件的处理,系统刚度矩阵是奇异矩阵，其物理原因是结构缺少刚性位移的约束，实际的工程结构都受有足够的支承约束，排除了发生任何刚体位移的可能性，因此，必须引入位移约束。,有限元中，位移约束都设置在节点处。这里，只讨论刚性约束情况，即被约束的位移分量为零。,设讨论的结构有Nn个节点，每个节点有ndf个自由度。则系统的总自由度为Ns，且,节点总位移列向量d中共包含Ns个分量,00:02,35,为了引入位移约束，把节点总位移列向量d分成两部分。一部分是不受约束的位移分量，记为df。另一部分是受刚性约束的位移分量，记为dr。,不失一般性，设1N号位移分量是不受约束的；N+1N+Nr共Nr个分量是受刚性约束的。 即：,位移边界条件的处理,00:02,36,位移边界条件的处理,显然,不受约束的节点位移的总数N为 N=Ns-Nr,对方程中的刚度矩阵K和节点荷载向量列阵f也作相应分割，则得到,式中，ff是已知力边界，fr是约束反力。,00:02,37,位移边界条件的处理,按矩阵乘法规则得,每个受刚性支承约束的位移分量都等于零，即,从而得到,00:02,38,位移边界条件的处理,Kff 引入约束后的约化的系统刚度矩阵。 这是一个非奇异 矩阵，它的逆矩阵Kff-1是存在的。,引入约束后的约化的系统平衡方程,在分析计算时，从无约束的系统刚度矩阵K中删去与受约束位移号对应的行和列，再将矩阵压缩排列成NN阶方阵，即为约化后的结构刚度矩阵。,00:02,39,位移边界条件的处理,置一法,显然,00:02,40,位移边界条件的处理,乘大数法,显然,00:02,41,节点位移和约束反力,通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：,约束反力,把解出的d代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力：,关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用高斯消元法等求解线性方程组的方法求解求解。,施加边界条件后，得到修改后的平衡方程,(未约化的),(约化的),或,节点位移,或,00:02,42,单元应变和应力,根据三角形节点的位移，求出单元应力应变为,如何求系统应变能和节点应力？,00:02,43,有限元解的收敛性,由于在有限元计算中引入了结构离散和位移模式，导致有限元计算结果和真实解的偏差。单元划分越小、位移模式取得越接近真实变形，解答越收敛于真实解。,当单元的位移模式采用解析的位移解时，有限元的计算结果和解析结果是相同的。然而，许多情况无真实的位移模式可以借用，只能寻求其近似函数，不可避免带来计算精度问题。实践证明：只要位移模式满足单元的完备性准则和协调性条件，就保证了有限元的解答收敛于真实解。,系统表现过刚,00:02,44,有限元计算过程框图,00:02,45,解综合方程 Kd=f 得结构节点位移d,从d中找单元位移de,用公式=Bde和 =D，计算应力应变,把单元刚度矩阵组装成系统刚度矩阵K,离散结构为若干单元,建立单元刚度矩阵Ke,形成等 价节点 荷载f,形成单元等价节点力,有限元计算流程图,00:02,46,关于三角形单元形函数的一点补充, 2-3-P:,同样, 3-1-P,A2, 1-2-P,A3,面积坐标,面积坐标的定义 在三角形内任意一点P定义,00:02,47,关于三角形单元形函数的一点补充,面积坐标与形函数的关系,面积坐标与直角坐标的关系,00:02,考虑一个平面应力问题如图所示，假设厚度h=1，材料为各项同性，杨氏模量为E=1，泊松比为=0，相关力和位移边界条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用两个三角形单元分析此问题，三角形单元的网格划分如图所示。试求问题各节点位移u、v和应力x，y和xy。,例题,00:02,对于三角形单元，其B矩阵的表达式为：,For e=1:,1, (2),3, (1),2, (3),1, (2),2, (3),3, (1),例题,00:02,For e=2:,1, (3),3, (1),2, (4),1, (3),2, (4),3, (1),对于三角形单元，其B矩阵的表达式为：,例题,00:02,组装刚度矩阵,1, (2),3+3, (1),2+1, (3),2, (4),3+3, (1),1, (2),2+1, (3),2, (4),例题,00:02,载荷向量,1, (2),3, (1),2, (3),1, (3),3, (1),2, (4),2+1, (3),2, (4),3+3, (1),1, (2),例题,00:02,系统方程可表示为：,例题,00:02,施加 BCs:,例题,00:02,55,例题,三角形单元为常应变单元，应力结果在一个单元内也为常数。 对于单元1，,00:02,56,例题,节点2仅在第1个单元内，其应力结果直接为,节点4仅在第2个单元内，其应力结果直接为,节点1和节点3为两个单元共有，其应力结果为两个单元内应力的平均，为,57,三角形单元的不足,3节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。 提高计算精度的其它措施 采用高精度三角形单元（2次单元、3次单元） 采用四边形单元（1次单元、2次单元）,
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