28.2.2应用举例

复习复习30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数304560sin acos atan a1222322212332331对于对于sinsin与与tantan，角度越大，函数值也越大；，角度越大，函数值也越大；对于对于coscos，角度越大，函数值越小。，角度越大，函数值越小。利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题复习回顾复习回顾1、解直角三角形指什么？、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？、解直角三角形主要依据什么？222(1);abc三边之间的关系(2)90;AB 两个锐角之间的关系在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素两个元素(至少有一个是边至少有一个是边)，就可以求出另三个，就可以求出另三个未知元素的过程。未知元素的过程。（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cbaABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：sinA=a/c=cosB sinB=b/c=cosAtanA=a/b=cotB tanB=b/a=cotA 新课讲授新课讲授 仰角、俯角仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角俯角.1：某飞机于空中：某飞机于空中A处探测到目标处探测到目标C，此时飞，此时飞行高度行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制米，从飞机上看地平面控制点点B的俯角的俯角=1631，求飞机，求飞机A到控制点到控制点B距离距离(精确到精确到1米米)分析：根据实际问题，通过抽象简化，画出图形。sin,12004221sinsin16314221Rt ABCBACBABACABBB解：在中，等于俯角米，因此，飞机到达 点上空还有米的距离。2在平地上一点在平地上一点C，测得山顶，测得山顶A的仰角为的仰角为30，向山沿直线前进，向山沿直线前进20米到米到D处，再测得山顶处，再测得山顶A的仰角为的仰角为45，求山高，求山高AB？解：根据题意，得解：根据题意，得ABBC，ABC90ADB45，ABBDBCCDBD20AB在在RtABC中，中，C30BCABC tan30tan3320ABAB10310ABAB10 3 10答：山高为米.经典例题赏析经典例题赏析1ABCD利用利用解直角三角形解直角三角形的知识的知识解决实际问题解决实际问题的的一般过程是一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形的问题转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.例例3：2012年年6月月18日日“神舟神舟”九号九号载人航天载人航天飞船与飞船与“天宫天宫”一号目标飞行一号目标飞行器成功实现交会对接。器成功实现交会对接。“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体一号的组合体在在离离地球表面地球表面343km的圆形轨道的圆形轨道上运行，如上运行，如图，图，当组合体运行当组合体运行到地球表面上到地球表面上P点的正上方点的正上方时时，从中能直接看到地球表面最远的，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置点在什么位置？最？最远点与远点与P点的距离是点的距离是多少？（地球半径约为多少？（地球半径约为6 400km，取取3.142结果取整数）结果取整数）分析分析：从组合体能直接从组合体能直接看到看到的地球表面的地球表面最远最远点，是点，是视线视线与地球相切时的切点与地球相切时的切点OQFPPQPQ 如图，如图，O表示地球，点表示地球，点F是是组合体组合体的位置的位置，FQ是是 O的切的切线，切点线，切点Q是从组合体中是从组合体中观测地观测地球时的最远球时的最远点点，的长就是地的长就是地球表面上球表面上P、Q两点间的距离，两点间的距离，为计算为计算 的长需先求出的长需先求出POQ （即（即a）的度数的度数解：解：设设POQ a,在在图中，图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直是直角三角形角三角形9491.034364006400cosOFOQa36.18a PQ的长为的长为km20516400180142.336.18640018036.18 由此可知，当飞组合体在由此可知，当飞组合体在P点正上方时点正上方时，从中观测地球表面时，从中观测地球表面时的最的最远点距离远点距离P点点约约2051kmOQFP 例例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球与高楼的水平距，热气球与高楼的水平距离为离为120m，这栋高楼有多高（，这栋高楼有多高（结果取整数）？结果取整数）？分析分析：我们知道，在视线与水平线所成：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，中，a=30,=60 RtRtABCABC中，中，a a=30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角解解：如图，：如图，a=30,=60，AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC m2773160因此，这因此，这栋楼高约栋楼高约为为277mABCD1.如图，建筑物如图，建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，从与，从与BC相距相距40m的的D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部A的仰角的仰角54，观察底部，观察底部B的仰角的仰角为为45，求旗杆的高度，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）（结果保留小数点后一位）ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形解：在等腰三角形BCD中中ACD=90BC=DC=40m在在RtACD中中tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2所以所以AB=ACBC=55.240=15.2因此，棋因此，棋杆的高度为杆的高度为15.2m.练习练习 2.如图，沿如图，沿AC方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从施工，从AC上的一点上的一点B取取ABD=140，BD=520m，D=50，那么开，那么开挖点挖点E离离D多远正好能使多远正好能使A，C，E成一直线成一直线（结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位）50140520mABCEDBED=ABDD=90cosDEBDEBDcosDEBDE BDcos505200.64 520332.8因此，开挖因此，开挖点点E离离点点D 332.8m正好能使正好能使A，C，E成一直线成一直线.解：要使解：要使A、C、E在同一直线上，在同一直线上，则则 ABD是是 BDE 的一个外角的一个外角课堂小结课堂小结1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题；才能恰当地把实际问题转化为数学问题；2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；形；3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单；4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注、根据题目中的对精确度的要求保留，并注 明单位。明单位。布置作业布置作业教材P78，习题28.2，第1.2.3题。复习巩固复习巩固1、解直角三角形指什么？222(1);abc三边之间的关系2、解直角三角形主要依据什么？(2)90;AB 两个锐角之间的关系在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个未知元素。(3)sin;cos;tan.AaAcAbAcAaAb边角之间的关系的对边斜边的邻边斜边的对边邻边新课讲授新课讲授在航海、野外作业时，经常要观察自己的位置，一般在观察地图或位置时，采取上北下南左西右东的方式，如图所示。指南或指北的方向线与目标方向线构成小于指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30 点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角例例5 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80n mine的的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方方向上的向上的B处，这时，海轮所在的处，这时，海轮所在的B处距离灯塔处距离灯塔P有多远有多远（结果取整数）（结果取整数）？解：如图解：如图，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91 72.505在在RtBPC中，中，B34PBPCB sinmilen 13034sin505.72sinBPCPB因此，当因此，当海轮到达位于灯塔海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它距离灯塔方向时，它距离灯塔P大约大约130n mine6534PBCA利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案）得到实际问题的答案 1.如图，海如图，海中有一个小岛中有一个小岛A，它的，它的周围周围8n mine内内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在到航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，方向上，航行航行12n mine到达到达D点，这时测点，这时测得小岛得小岛A在北偏到在北偏到30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？的危险？BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为，垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF=x,AD=2x则在则在RtADF中，根据勾股定理中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在在RtABF中，中，tanAFABFBF3tan3012xx解得解得x=666 310.4AFx10.4 8没有触礁危险没有触礁危险练习练习3060 如图，坡面的铅垂高度（如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（）和水平长度（l）的比叫做的比叫做坡面坡度坡面坡度（或（或坡比坡比）.记作记作i，即，即i=.19.4.5 坡度通常写成坡度通常写成1 m的形式，的形式，如如i=1 6.坡面与水平面的夹角叫做坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角，记作，记作a，即即i =tan a显然，显然，坡度越大，坡角坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡就越大，坡面就越陡.lhlh 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度要注明斜坡的倾斜程度.练习:(1)一段坡面的坡角为60，则坡度i=_；(2)32 3,(),()i已知一个坡面上，铅垂高度为，坡面长为则坡度 坡角 为 。30思考：坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？思考：坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系?tanBCABBC如图，水平宽度不变，将随着铅垂高度的增大而增大，也随之增大。例例6.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度，斜面坡度i=1:1.5是指坡面是指坡面的铅直高度的铅直高度AF与水平宽度与水平宽度BF的比的比,斜面坡度斜面坡度 i=1:3是指是指DE与与CE的比。的比。根根据图中数据求据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和的度数的度数;（2）斜坡）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位的长（结果保留小数点后一位）BADFEC6mi=1:3i=1:1.5解解：（：（1）在）在RtAFB中，中，AFB=90tan11.5AFiBF ：33.7 在在RtCDE中，中，CED=90tan1:3DEiCE 18.4练习：练习：1 如图：是一海堤的横断面为梯形如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤已知堤顶宽顶宽BC为为6m，堤高为堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。有关数据在图上已注明）。(1)(1)求加高后的堤底求加高后的堤底HDHD的长。的长。(2)(2)求增加部分的横断面积求增加部分的横断面积 (3)(3)设大堤长为设大堤长为10001000米，需多少方土加上去？米，需多少方土加上去？(4)(4)若每方土若每方土300300元，计划准备多少资金付给民工？元，计划准备多少资金付给民工？6mMEHBACD6m3.2m2m6mMNEFDH5.2m5.2mBAGHCD3.2m6m3.2m6mMEHBACD6m3.2m2m图图图(1):从图从图中中,你能求得这个横断面哪些量你能求得这个横断面哪些量?图图呢呢?求堤底求堤底HD的长与图的长与图 有有关吗关吗?从图中如何求出从图中如何求出HD的长的长.解解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m)答答:加高后的堤底加高后的堤底HD的长是的长是29.4米米(2):如何求增加部分的面积如何求增加部分的面积?直接能求图直接能求图中阴影部分的面中阴影部分的面积吗积吗?那么增加部分的面积与什么图形的面积有关那么增加部分的面积与什么图形的面积有关?ABCDHMEDSSS梯形梯形增加部分解：)(36.5268.3904.922.328.1862.524.2962m 答答:增加部分的横断面积增加部分的横断面积52.362m(3):解解:)(52360100036.523m答答:需需52360方土加上去。方土加上去。(4):解解:52360300=15708000（元）（元）=1570.8(万万元元)答答:计划准备计划准备1570.8万元资金付给民工万元资金付给民工.10010037OAOBO例：如 图，海 平 面 上 灯 塔方 圆千 米范 围 内 布 满 暗 礁。一 艘 轮 船 自 西 向 东 方 向航 行，在 点处 测 量 得 灯 塔在 北 偏 东 60 方 向，继 续 航 行千 米 后，在 点处 测 量 得 灯 塔在北 偏 东方 向。请 你 作 出 判 断，为 了 避 免 暗 礁,这 艘 轮 船 是 否 要 改 变 航 向？100OOAB分析：关键点就是，假设按照原来方向航行，求出船到 的最短距离，即求出 到直线的距离；然后，比较与的大小，若大于100，则不用改变航线；若小于100，则必须改变航线。2,3,tantan30OCAB CRt OACOCtan OACACOCOCACOCOAC解：作，为 垂 足，在中，,0.7536,tantan5310030.7536100102.2,3 0.7536100,Rt OBCOCtan OBCBCOCOCBCOCOBCAB AC BCOCOCOCOC在中，又因此，船不必改变航线。22012ABC例：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围一定范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，在沿海某城市 的正南方向千米 处有一台风中心，其中心最大风力为 级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在正以15千米/小时的速度沿北偏东30方向往 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受到台风影响。(1)(2)(3)该城市是否会受到这次台风影响？请说明理由；若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？该城市受到台风影响的最大风力是几级？3分析：首先，根据题意，画出图形，便于分析问题。AABCA分析：在台风的行进过程中，求出台风中心到城市的最短距离，即 到直线的距离，用于判断城市是否受到台风影响的依据；(1),sin,sin220sin30110,ADBC DRt ABDADABDADABABDABkmA解：作为垂足，在中，由题意可知，台风影响的半径为160因此，城市 受到台风影响；(3)(1)A由得，并根据上图可知，城市最大的风为6.5级；(2),160,AEAEEA作令台风到达 点时，城市 刚好受到影响，222216011030 15,22 30 154 1515.5,1515Rt AEDEDAEADED在中，台风影响的时间为15.5A因此，城市受到台风影响的时间为小时。4.去年去年“云娜云娜”台风中心从我市（看成一个点台风中心从我市（看成一个点A）的的正东方向正东方向300km的的B岛以每时岛以每时25km的速度正面袭击我的速度正面袭击我市，距台风中心市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响的范围内均受台风的影响.我市我市遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？台风经过我市的路程台风经过我市的路程-刚好是一个半径为刚好是一个半径为250km的圆的直径的圆的直径小时）(20252250t解解:答：受台风影响的时间答：受台风影响的时间为为20小时。小时。t=vr2r表示台风形成区域圆的半径表示台风形成区域圆的半径V表示风速表示风速 今年今年“卡努卡努”台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？响的时间又多长？今年今年“卡努卡努”台风中心从我市的正东方向台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？长？如图，若如图，若AD250km，则受台风影响；则受台风影响；若若AD250km，则不会受台风影响则不会受台风影响。EF解：会受到影响。解：会受到影响。以以A为圆心，为圆心，250km长为半径画圆交直线长为半径画圆交直线BC于于E、F，则则DF=DE=200km，1625400t （小时）小时）答：影响时间为答：影响时间为16小时。小时。250连结连结AF，AE，DNBA600C则则ADB=900，AB=300km，ABD=300，AD=150km，作作ADBC于于D，150a cos）NBACaEFrDbt=vr2r表示台风形成区域圆的半径表示台风形成区域圆的半径V表示风速表示风速课堂小结课堂小结 1、弄清俯角、仰角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题。2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题。3、选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错。4、按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位。1、解直角三角形的解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线作辅助线构筑直角三角形构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。关系。2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在所以在复习时要形成知识结构复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。解直角解直角三角形三角形A B90a2+b2=c2三角函数三角函数关系式关系式计算器计算器 由锐角求三角函数值由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角由三角函数值求锐角sin,sinabABcccos,cosbaAAcctan,tanabABba 归纳小结归纳小结解直角三角形：解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，直角三角形中，ABA的对边的对边aCA的邻边的邻边b斜边斜边c 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰时，只要测出仰角角a和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度l，就能算出，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所，但是，当我们要测量如图所示的山高示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度和山坡长度l化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直直”的，而山坡是的，而山坡是“曲曲”的，怎样解决这样的问题呢？的，怎样解决这样的问题呢？hhll山坡的高度山坡的高度 我们设法我们设法“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”我们可以把山坡我们可以把山坡“化整化整为零为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是时，注意使每一小段上的山坡近似是“直直”的，可以量出这段的，可以量出这段坡长坡长l1，测出相应的仰角，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再然后我们再“积零为整积零为整”，把，把h1,h2,hn相加，于是得到山高相加，于是得到山高h.hl 以上解决问题中所用的以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整化整为零，积零为整”“”“化曲为直，以直代曲化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容