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第三章 恒定磁场,岳士弘 2008.5,1. 安培力定律 回顾一些常用的磁场力的情况. 例如两根平行导 线、电线旁边的指南针、螺线管等. 判断电荷受力: 左手法则; 判断磁场方向: 右手法则.,安培力如图所示,1) 单位正电荷在场中的某点以单位速度向与磁场垂直方向运动时(切割磁力线)所受的最大磁场力，为该点的磁感应强度。,1. 2. 磁感应强度 毕萨定律,单位：特斯拉 T.,2) 毕萨定律: 线电流在空间任意一点对于单位电流强度的电流元，沿着矢量积垂直方向产生的力为,对于磁场强度为B通过电流I 或者通过带 电量q点电荷, 则受到的磁场力为 (安培力定律); (洛仑磁力) 注意：1) 该定理的其他形式(3-4)(3-5); 2) B的计算不仅要得出大小还要注意方向. 3)磁场的分布可以用磁力线来描述.,电偶极子,磁偶极子,例题3-1 真空中载电流为I的2L长直细导线在导线外任一点P 所引起的磁感应强度. 解：选择柱坐标系, 直导线产生的磁场与 角无关， 当 时， 得,例3-2平面上有恒定电流 , 求其产生的磁感应强度. 解: 把电流片上宽度为的一条 ，看成无限长线电 流. 对于任意一点P，取y轴过该点利用上一题结论 且让Z=0, 则总的合成磁感应强度为,方向: 四条线在P点产生的磁感应强度方向都是垂直纸面向里(如图所示). 由例3-1,单个长度为2l的细导线在P点产生的磁感应强度为:,课本习题3-1-1及解答,2) 方向: 任意元电流在P点产生的磁感应强度的方 向是垂直纸面向里, 大小为 ，所以 3) 方向: 磁感应强度方向都是垂直纸面向里. P点磁 场是两个半无限长的直线和一个半圆周共 同产生,半圆周磁感应强度是整圆周的一半.,4)类似于1),得 5)是两个半无限的载流导线和一个半圆周，所以产生的磁感应强为： 习题 3-1-3 求两平行长的直线的单位长度的受力. 产生的磁感应强度为：,恒定电场与静电场一些典型几何图形的对比,共同特征:,(Y0),3-2 安培环路定律 注意到在距离导线为 处， 进一步地得: 注意: 1)与闭合曲线外部的电流无关； 2)电流的正负号按照右手法则取； 3)即使闭合曲面不在一个平面内公式也适用,例题 3-3 一根无限长同轴电缆的截面，芯线通有 均匀分布的电流I, 外皮通有量值相同但方向相反 的电流, 试求各部分的磁感应强度. 解: 当 时，取一圆周(粉红色)为积分回路， 则穿过圆周的电流 根据安培定律得,当 ,穿过半径为 的圆面积的电流是 当 时, 以 为半径取一圆周为积分路径 当 时, 注意: 1）要分为四个区域计算，因为相应的穿过电流量 的表达式不同； 2）电流强度有正负号；,例 3-4 求具有恒定电流线密度K0的无限长电流片 所产生的磁感应强度. 解:取如图所示的坐标系. 则磁场强度的方向在y0 和y0分别沿着 和 方向. 在图中取一个矩形回路,使它平行于x轴两条边, 则 从而 ,3.3 一般形式的安培环路定律,媒质的磁化 分子电流 分子磁矩 磁化强度M磁化电流Jm 总磁化电流Im 顺磁材料和逆磁材料 2. 磁场强度H 3. 安培环路定律,与静电场中的介质极化对比 介质的极化强度 媒质的磁化强度 安培定律使用时常常对应的条件： ; 环路上各点磁化强度相等,例题3-5 磁导率为 , 半径为 的无限长导磁媒质 圆柱,其中心有无限长的线电流 I，圆柱外是空气. 求圆柱内外的磁感应强度，磁场强度和磁化强度. 解：利用安培定律求磁场强度如下： 当 时， 当 时, 当 时, 注意：对比该题的结果与例3-1的结果.,3-3 恒定磁场的基本方程 分界面的衔接条件 3.1 穿过任一面积S的B的通量(可以通过磁感应线的条数度量),称为磁通，记为 当S是闭合曲面时,得 称为磁通连续性定理(对比第二章电流连续性方程). 磁通性方程的直观说明： 1)电流产生的磁力线是无头无尾的闭合曲面, 所以穿入和穿出的数量相等; 2) 磁场是无源和无漏的(对比矢量场的通量概念). 进一步一些细节参看杨宪章书恒定磁场部分.,3）使用高斯散度公式得 ,所以恒定磁场是无源场. 和 上面两式是恒定磁场积分形式基本方程. 又因为 所以（恒定磁场是有旋场），方程 与 构成恒定磁场(微分形式)基本方程. 注意对比静电场方程：,3.2. 分界面的衔接条件,1) (或 ) 特别地 (K正方向:矢量乘或右手法则),3) 入射角与折射角满足：,注意: 1) 特殊地 (铁磁性材料/非铁磁性材料) , 所以, 磁感应强度基本垂直于铁磁材料表面. 2)公式形式与静电场相似,但切向与法向表达互换.,例题 3-6 设y=0是两种媒质的分界面, 在y0处媒质 的磁导率 ;在y0处媒质的磁导率 ; 设已 知分界面上无电流分布, 且 求 解1： 而分界面上K=0,解2: 使用恒等式 求解. 这里 余下参照书中答案(算矢量差乘时用行列式较好),思考：1) 若表面有面电流K=5A时，重新计算上题。,2) 若表达式是三维的形式，则只能用矢量式了,补充例题：(使用安培环路定律求分区均匀的问题) 同轴电缆的内导体半径为R1, 外导体的半径为R2, 外 导体的半径可以忽略不计. 内外导体之间对半填充 两种不同的导磁媒质，求磁感应强度和磁场强度. 解:在两种媒质分解面两侧中, 相同 不同, 且 当 时, 当 时,利用两种媒质分界面上的衔接条件:,联立，得,3.4.1 磁矢位 (与 磁位),复习矢量分析几个结论: 散度为零无源场; 旋度为零无旋场;都为零调和场 1)当 中 时由 称为磁矢位。根据矢量恒等式:,上面强加了关系:,(库仑规范条件),. 事实上由比萨定律得, 令 它是方程 的解. 注意: 1）这个方程其他形式参看课本(A与J方向相同)； 2）称上述方程为矢量形式的泊松方程； 3）有电流存在的区域,只能选择磁矢位； 4）对比毕萨定理表达式，形式已经简化。,2)当 中J=0,必然存在标量函数 使得 称为磁位. 磁位与电位有相似但也有不同,如两点间的磁压定义为： 必须选障碍面等办法使磁位唯一 (看课本P115). 注意: 1) 障碍面是保证各点为单值的割平面； 2) 磁位也相应有第一三类边值问题；,磁位函数的拉普拉斯方程。,因而在空间媒质的磁导率为常数情况下,磁场的拉普拉斯方程,在磁场的无电流区域，即 处,磁场的唯一性定理为：满足拉普拉斯方程，且满足一定边界条件的标量磁位函数是唯一的。以磁位函数所表示的媒质交界面处边界条件为,例 3-7 应用磁矢位分析真空中磁偶极子的电场. 解:注意到讨论的区域J=0,并且题中使用的是圆周 1) 磁矢位方向与同圆周上电流元电流方向一致； 2),例3-8: 空气中有一长度为l, 截面积为S, z轴上的短 铜线.电流密度J沿ez方向.设电流是均匀分布的,求 离铜线较远处( )的磁场其强度(这里不是线). 解:选择坐标系原点在铜线中心, 根据对称性，有 由A泊松方程的积分解得,由磁矢位的定义可知:,磁矢位与磁位表示的边界衔接条件 1)磁矢位: 特别对平行平面磁场,得:,2)磁位：,注意: 1)由形如 和 导出的分别是n和t方向. 2)当电流只有一个方向时, 磁矢位也只有一个方向,在这种情况下, 使用磁矢位较为简单.,例 3-9 一半径为a的长直圆柱导体通有电流,电流密 度 . 求导体内外的磁矢位(内外磁导率均为 ) 解:由对称性可知 ，Az仅仅为 的函数且满足 方程 (是平行平面矢量场). 边值问题为,方程积分后得 使用前面的四个条件确定四个参数后得,补充例题 1 两根无限长细直导线，相距为2a, 导线 通有相反的电流I, 求空间任意一点的磁矢位. 解:电流仅 z方向,是平行平面矢量场(仿照例3-1). 同理 当 时,习题 3-5-1 题目请阅读书, 如图所示. 解: 在 内有恒定电流,不能使用磁位函数, 而在其他区域建立磁位函数如下： 边界条件: 四个条件可以确定四个系数，最后得 注: 零磁位的选择比零电位宽松.,补充例题2 有一个载电流I的无限长直导线, 求图中 A, P两点磁压. 解: 注意到 , 并且磁压计算中的积分 与路径无关, 因此选择 如图所示便于计算的 积分路径，得 P109 利用磁矢位可以计算通过任意曲面S磁通量： 磁场与静电场也有比拟关系如下:,无电流区域恒定磁场 无自由电荷区域静电场 所以对应关系为： 在边界条件相似情况下, 我们求得某一静电场结果之后, 把 相应的结果按照上述关系转换，就得到恒定问题的结果. 注意: 请大家再结合恒定电场比拟关系及其对应量归纳.,3-6 恒定磁场中的镜像法 有两种媒质，磁导率分别为 和 , 在媒质1内置 有电流为I的无限长直导线, 且平行于分界面, 如图. 求两种导磁媒质中的磁场. 利用比拟关系并参照静电场两种 不同介质中点电荷引起电场的计 算公式, 得 两种特别情况: 1)如果第一种媒质是空气, 第二种媒 质是铁磁性物质,载流导线置于空气中,则 I=I I”=0 2)反之，位置对调后得： I=I I”=2I,课本p144 习题312，求图中的镜像电荷,求解时注意有效区域，以及具体的方向,第四节 自感与互感 3.1. 磁链(全磁通)及其计算 穿过导线回路所围成面积的磁通量称磁链,用 表示. 对于密绕线圈,N=3:当穿过单线圈磁通是 时,它的磁链是 N=1:当穿过单线圈磁通是 时,它的磁链是 N=I/I, 当穿过单线圈磁通是 时,它的磁链 磁通是用使用面积定义的,而磁链是在磁通的基础 上根据线圈的匝数定义的. 磁链的计算是根据计算 感应电动势引入的规定. 最后一个也称为分数匝. 由于在一个导线回路中电流 I 产生的磁链为 所以 与I成正比, 即 称为自感系数或自感,补充例题 1:矩形截面环形螺线管, 共有N匝，设线 圈中通有电流 I, 求穿过整个螺线管的磁链. 分析：由于线圈是密绕的,所以磁场都集中在螺环 内,又由于磁场的对称性,则磁感应线必然是以O点 为中心的同心圆族.在环内任选一条半径为 的 B 线作为积分路径,由安培定律得,补充例题 2: 设有一根半径为 a 的无限长导体圆柱, 如图所示. 圆柱中通有电流 I, 求穿过圆柱内的沿轴 向单位长度的磁链. 解: 圆柱内任一点磁感应强度为 穿过宽度为 , 沿轴向长度为l1 矩形面积元磁通是 注意到所交链电流,说明： 1)上面分别计算内磁链和外磁链( ).按照内外磁链分别获得内自感和外自感( ),即 . 2) 计算外磁链别忘了匝数,内磁链别忘是部分电流. 例 3-12 计算如图所示长为 l 的同轴电缆的自感. 解: 注意到 , 分三部分计算： 1) 2) 3) 由补充例题2结论得 2),3)由例题3-3， 例题3-13 求二线传输线的自感. 解:在距离做导线x处,磁场强度 .穿过 元面积磁通为 得到外自感为 两导线的内自感为,3.7.2 互 感 对于回路1和2(课本图),定义： 可以证明： 例题3-14 求如图所示的传输线的互感，这里AB表 示一对输电线, CD表示一对输电线, 设AB上电流 方向如图中. 解:导线A的产生的磁场穿 过CD回路的磁链是 同理, 总的互感磁通,3.7.3 聂以曼公式 利用磁矢位计算互感和自感的一般公式,如图所示 所以互感的计算为： 自感的计算为,例题 3-13 使用聂以曼公式求解 解: 在矩形回路上分为四段计算：在ab和cd上的矢 量磁位分别是： 于是外磁链可以表示为 而内自感直接得到，所以， 作课本思考题 3-23-6.,3-8 磁场的能量和力,电流回路系统的能量是建立电流过程中由 电源供给的. 法拉第定律(假设没有其它能量损耗)： 闭合回路中感应电动势等于回路中磁链对 于时间的变化率,基本思想: 磁场的能量等于建立该磁场所耗的功。,1)对于单个回路流入电流时, 所以 该式表明, 磁场的能量仅仅与电流的最终状态有关, 与建立过程无关. 2)对于两个回路 ,它们的电流分别为 ， 对于任何时刻m: 对于整个空间,3)对于n个回路, 从 3.8.2 磁场的能量分布及其密度 由于 ，代入上式 得 换算成体电流得公式:,由于 因此 定义磁场能量密度:,例3-15 求长度为l，内外导体半径分别为R1和R2 得同轴电缆, 通有电流I 时, 电缆所具有磁场能量 解: 根据定义： 当 时, 当 时, 当 时,注意:利用磁场能量可算自感系数 补充例题：半径为a的长直实心圆柱导体均匀分布 的电流I,另有一个半径为b的长直薄导电圆柱,筒壁 厚度趋于零, 并且通有均匀分布的电流I,电流的流 向均沿圆柱轴线方向,若要使两种情况下,单位长 度储能相等,试求这两个圆柱体的半径之比.,解:要计算能量, 先要求出两个圆柱体内外的磁场分 布. 根据安培定律, , 得 实心导体： 空心圆柱：,3.8.3 磁场力 回忆几个能够直接计算的问题,如图所示： 共轴圆环 平行汇流线 载流导线的线圈 磁场力的主要计算公式： 原则上,上式解决了载流导体在磁场中的受力问题. 但是从数学的可解性而言，只有少数的情况下能够求解.例如,在上述几种图形中, , 是沿着位移的垂直分量(通常必须保持点乘的定角),才有可能求解. 因此更一般的方法是虚位移法.,实现虚功原理的功能转换关系为: 回忆广义力和广义坐标: 电源提供的能量等于磁场 的能量的增量加上磁场力所作的功. 这里 分两种情况讨论： 1)假定各个回路中的电流保持不变,即Ik=常量,得,2) 假定与各个回路相交的磁链保持不变, 常量， =0, 即外源提供的能量为零, 例题 3-16 求载流平面线圈在均匀的外磁场中受到 的力矩. 设线圈中的电流为I1, 线圈的面积为S, 其法 线方向与外磁场B的夹角为 . 解：该系统的相互作用能为 选 为广义坐标，对应的广义力是力矩，得,例题 3-17 求如图所示的电磁铁的起重力 解: 磁场能量为 法拉第的观点： 磁场中的矢量管满足侧面与 正面的单位面积的受力相等， 具体应用见课本公式：,
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