函数与导数(梁志锋)

函数与导数高考中函数与导数的几个考点：(1)函数及其表示：函数的表示法、概念、三要素（定义域、对应法则、值域）、分段函数.(2)函数的基本性质单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质及综合考察，函数图像变换.(3)基本初等函数一次、二次、反比例、指、对、幂函数的基本性质及图像.(4)函数与方程函数零点、方程的根及其关系.(5)导数与积分导数的概念、几何意义、导数的运算、导数的应用、极值的概念定积分的概念，几何意义，微积分基本定理.(6)常见的数学方法和数学思想 换元法，配方法，参变分离等数学方法；数学结合、分类讨论，转化与化归等数学思想.考试要求章节（知识点）课标要求会考要求高考要求函数的概念与表示体会概念了解（A）掌握（C）表示理解（B）会求定义域、值域理解（B）了解分段函数理解（B）映射了解了解（A）了解（A）单调性与最大（小）值理解理解（B）掌握（C）奇偶性了解了解（A）理解（B）学会运用函数图象理解和研究函数的性质掌握（C）无函数与导数高考题 北京十二中 梁志锋【例1】2007北京理14已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为 满足的的值是【标准答案】【试题分析】:。【例2】2011北京理8设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为（A） （B）（C） （D）【标准答案】C【试题分析】:时，作出平行四边形，找到整点的个数，让增加，观察此时平行四边形的变化，看里面整点的个数变化情况，得到答案。【例3】2010陕西10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为(A) y= (B) y= (C) y= (D) y=【标准答案】：B【试题分析】: 代值验证【例4】08天津理14设，若仅有一个常数c使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为 .【试题分析】:由已知得，单调递减，所以当时，所以，因为有且只有一个常数符合题意，所以，解得，所以的取值的集合为.【例5】08北京理13已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是_【标准答案】: 【试题分析】: 函数显然是偶函数，其导数y=2x+sinx在0xf(-a)得：，即，即，解得；当时，由f(a)f(-a)得：，即，即，解得，故选C。 法二，作出函数的图象，根据图象得到函数的性质，解不等式。【例7】2004江苏理科设函数区间,集合,则使成立的实数对有 （ ） A0 个 B1个 C2个 D. 无数多个【标准答案】: A【试题分析】: 问题是已知函数自变量的取值范围求对应函数值的范围，进而求函数的单调性， 分类讨论，利用图象变换可作出出函数的图象，求函数的单调区间，结合图象 列出的方程，无解。【例8】10江苏11已知函数,则满足不等式的的取值范围是_【标准答案】【试题分析】考查分段函数的单调性。【例9】08北京理14某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为_；第2008棵树种植点的坐标应为_【标准答案】: (1,2) (3, 402)【试题分析】: T组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1(k=1,2,3,4)。一一带入计算得：数列为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。【高考考点】: 数列的通项【例10】2010年高考全国卷I理科15直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .y=1xyaO【标准答案】:.(1,【试题分析】:如图，在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知，a的取值必须满足解得.【例11】2010湖南理科8用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为A B2 C D1【标准答案】C【试题分析】作出的图象，与的图象对比，利用条件得到答案【例12】09山东理10定义在R上的函数满足= ，则的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【标准答案】C【试题分析】：由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【例13】07天津理9 设均为正数，且， 则 （ ） 【标准答案】A【试题分析】作出相应函数的图象，找到对应点的具体位置，比大小。【例14】09山东14.若函数有两个零点，则实数的取值范围是 .例题：设函数的定义域为,如果对于任意的存在唯一使 (为常数)成立，则称在上的均值为,给出下列四个函数： 则满足在其定义域上均值为2的所有函数序号是_【标准答案】【试题分析】法一：可根据题目中的等式进行计算，判断是否满足 法二：作出函数的图象，利用代数式对应的几何意义，对于给点的,看能否寻找到唯一的【例15】2008理科8如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO【标准答案】: B【试题分析】: 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。【例16】2010北京理科（8)如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=，DQ=，D（大于零），则四面体的体积A.与都有关B.与有关，与、无关C.与有关，与，无关D.与有关，与，无关【标准答案】D【试题分析】:：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。【例17】2010北京理科（14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 【标准答案】4; 【试题分析】不难想象，从某一个顶点（比如A）落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90，然后以C为圆心，再旋转90，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下：P A B C PPP因此不难算出这块的面积为【例18】（2009江西卷理）设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A B C D不能确定21世纪教育网 【标准答案】：B【试题分析】，选B【例19】已知直线与曲线相切，则的值为【试题分析】 设切点为,由题意知： 解得【例20】08北京理科18已知函数，求导函数，并确定的单调区间解：令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在 上单调递减【例21】09北京理科18 设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）, 曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是【例22】2010北京理科已知函数()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：（I）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 即 （II），. 当时，. 所以，在区间上，；在区间上，. 故得单调递增区间是，单调递减区间是. 当时，由，得， 所以，在区间和上，；在区间上， 故得单调递增区间是和，单调递减区间是. 当时， 故得单调递增区间是.当时，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【例23】2011北京理科（18）已知函数。（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围。解：（）令，得.当k0时，的情况如下x()(,k)k+00+0所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k0时，因为，所以不会有当k0时，由（）知在（0，+）上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是【例24】2008全国理科19已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围法一：法二：参变分离法三：解含有根式的方程【例25】2010崇文理设函数（）（）当时，求的极值；（）当时，求的单调区间. 解：（）依题意，知的定义域为.当时，令，解得.当变化时，与的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减由上表知：当时，；当时，.故当时， 取得极大值为.-5分（）若，令，解得：；令，解得：.若，当时， 令，解得：；令，解得：或. 当时， 当时， 令，解得：； 令，解得：或.综上，当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为，减区间为，； 当时，的减区间为,无增区间；当时，的增区间为，减区间为，.【例26】2010年高考辽宁卷理科21已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。【例27】已知函数()当时，求函数的单调增区间；()求函数区间上的最小值； ()设，若存在，使得成立，求实数的取值范围【例28】已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析：已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点， 所以或且 解得: 且【例29】已知函数，其中若在x=1处取得极值，求的值； 求的单调区间；（）若的最小值为1，求的取值范围。 解（）在x=1处取得极值，解得（） 当时，在区间的单调增区间为当时，由（）当时，由（）知，当时，由（）知，在处取得最小值综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是