《现代控制理论》复习卷

现代控制理论复习卷如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ,摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质 量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，0与0分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当 120 =0时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力f（t）作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没12有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin0 =0， cos0 = 1。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。或写成x = x12(k g )x = x34kx 一1k x+丄32 MLx1x2x3x一 *4 -已知某系统的方块图如下,0_i-0 -x011x2+2 ML1x30x0L 4J_ 0 _g)【解】(1)对左边的质量块，有ML20 = f 丄cos0 一k 丄(sin0 一sin0 )Lcos0 一MgLsin0 12121221对右边的质量块，有22在位移足够小的条件下，近似写成：ML0 = k -L (sin0 - sin0 )L cos0 一 MgLsin02）定义状态变量ML01f -当 9-02)-嘶124M辽=牛(01-0-)-Mg00 = 一1 v 0 = k2回答下列问题：（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为+ 04 M L 丿 1 4 M 2 2 ML 丄 + g014 M L 丿x =0 ，11x =0 ， x = 0 ， x = 0213242x1-2kx1+Tx10_x1V 2 2uy = 11x12）使系统状态完全能控且完全能观时，0设一个线性定常系统的状态方程为x = Ax，其中A E R 2x2若 x (0)=-1试求当x (0)=时，状态响应为x (t)-时的状态响应 x(t)e-2t-e -2 t；x (0)=时，状态响应为x(t)-2e -1-e -t【解答】系统的状态转移矩阵为(t) = ea/，根据题意有e -21= e At1-e -2t-12e -1= e At-2 一-e -1_-1_x (t)=x (t)=-4 12 -3 存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。(2)由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x=0 , 即N的最小值为1。根据状态方程x (k +1) = Gx (k) + hu (k)进行递推如下：x (1)=Gx (0) + hu (0)x=Gx(1)+ hu(1) = G Gx(0)+hu(0)+hu(1) = G2x(0) + Ghu(0) + hu=0， 由上面最后一步可得合并得I e-2t2e -1I12 一= e A t-e -2t-e-tI_-1-1II-1e-2t求得状态转移矩阵为当 x (0)=e-2t-e-2t2e-1 II 12-e-t II -1 -1-e-2t-21-e -2t + 2e -1-2e -2t + 2e -1e-2t - e-t2e-2t - e-t时的状态响应为四离散系统的状态方程为， Q = h Gh = cIIu(1)Iu(0)即 u(0) = -18x (0) + 7 x (0)12011 -3， rankQ = 2 ，由系统能控性的定义可知： cGhu (0) + hu (1) =-G 2 x (0)h GhQc c=-G 2 x (0)I-4010x(0) =I-4010_-x (0)1_-187 II_-187 IIx (0)2=-G 2 x(0)u(1)u(0) u(1) u(0)= -Q-1G2 x(0) = cu(1)= -40x (0) +10x (0) 。2-e-2t + 2e-t-2e -2t + 2e -11-01 一-0_e -2t e -12e-2t - e-tI_3_x=-6-5IIx+1x(t) = e At闭环系统的阻尼系数匚试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：13-7e -2t + 8e -17e-2t - 4e-t五对下列系统时间等于 3.14秒。【解答】=0.707 ；阶跃响应的峰值x (k +1)1x (k +1)2-42(1) 是否存在一个有限控制序列u(0) u(1)x (0)转移到x (N +1) = 0，x (N +1) = 0 ?试给出判断依据和判断过程。2 1 2(2) 若存在，求N的最小值及控制序列u(0) u(1)u(N)。 x (k)1解答】1)由题意，1-3 x (k)(N),使得系统由已知的初始状态x (0),1u2u(k)假设状态反馈控制律为u = k1 k2 ，代入状态方程得闭环系统-01 一_ 0_x=x+-6-5I112kk12-6 + k1-5 + k闭环特征多项式为现代控制理论复习卷f (X) = det(%I A)=九2 +(5 一 k )九 + 6 一 kx = 5 x + 100u 2 2w = y = xi2根据题意的要求， = 0,707 =2，w n = Q 期望特征多项式f *(k)二九 2 + 23 X + w 2 二九 2 + 2X + 2根据多项式恒等的条件可得：5 k = 226k = 21解得k = 41k = 32设降维观测器方程为x =(5 l) x + 100u + lw22x = (5 l) x + 100u + ly22引入中间变量z = x2 一ly，两边求导数得z = x ly = (一5 二 l) x + 100u + ly ly = (5 l) x + 100u2 2 2*z = (5 l )(z + ly )+ 100uz =(5 -1) z l (5 +1) y + 100u状态反馈控制律为u = b k2 x1x2= 4x + 3x1六设系统的状态空间表达式为根据题意，降维观测器的极点为-10，即5 一l = 10，解得l = 5。最终得到降维观测器的动态方程为z = 10z 50y +100u状态估计的表达式为x2 = z + 5y。-01 0一x=05x+100uy = 110 x若该系统的状态 x 2不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为一10，要求写七.证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。【证明】设原线性系统为x = Ax + BuV、y = Cx + Du出降维观测器动态方程，并写出状态 x 2的估计方程【解答】将状态空间表达式写成：其传递函数矩阵为W（s) =C(sI A)1B+ D设线性变换为x = T，变换后的线性系统为进一步写成-x = x1 2 x = 5 x + 100u2 2y = xi iz = T-1 ATz+T -BuVy = CTz + Du该系统的传递函数矩阵为W (s) = CT T-1AT T-1B + D=CTo，y23， -3-y-。则有-3-1 -i+y3-1，所以表达式2x-1 + 卡恒小于零，因此，V(兀)为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。x 2 + 3 i