降幂公式、辅助角公式应用

-x . xb = (一cos, sin )，且 x22，降幂公式、辅助角公式应用降幂公式(cosa)2=(1+cos2a)/2(sina)2=(1-cos2a)/2(tana)”2=(1-cos(2a)/(1+cos(2。)推导公式如下直接运用二倍角公式就是升幂，将公式Cos2a变形后可得到降幂公式： cos2a=(cosa)2(sina)2=2(cosa)21=1 2(sina)2 cos2a=2(cosa) 2 1,(cosa) 2=(cos2a+1)/2cos2a=12(sina)2,(sina)2=(1-cos2a)/2降幂公式例 10 (2008 三模)已知函数 f 3) = v3sin2 % + sinxcosx 、 、二-兀 (I)求函数f (%)的最小正周期；(II)求函数f (%)在 G 0,亍 的值域.K 一 . ； 1 一cos2% .1 解：f (x) = 、，: 3 sin 2 % + sin x cos x = -、3 x+ sin 2x=-sin2x + 13cos2x = sin(2x + -)二 (I) T =兀222322八 兀兀 兀4兀3兀、一(II). 0 x一 .一 2x + V. 一 sin(2x + ) 1233323一，=2 一后所以f (x)的值域为：一展,一-一点评：本题考查三角恒等变换，三角函数图象的性质，注意掌握在给定围，三角函数值域的 求法。一，33 、例11 (2008六校联考)已知向量a = (cos-x，sin x)22(1) 求 a + b、(2) 设函数f (x) = a + b + a -b，求函数f (x)的最值及相应的x的值。八兀解：(I)由已知条件：0 x -3 x x 3 x x 得：a + b = (cos + cos ,sin-sin -) 得：2222,3x , x3x. x、_=% 2 -2cos 2 = 2sin (cos + cos )2 + (sinsin )222223xx3xx(2) f(x) = 2sinx + cos cos sin sin = 2sinx + cos2x 2222=2sin2 x + 2sinx +1 = -2(sinx- )2 +,因为：0 x ，所以：0 sinx 1 22213所以，只有当：x=时，/ (x)=2，x =0，或x=1 时，fmnx)=1点评：本题是三角函数与向量结合的综合题，考查向量的知识，三角恒等变换、函数图象等 知识。例12 (2008文、理)已知函数f (x) = sin2x +(3sinx sin( x + ?)S 0)的最小正周期为n .(I)求3的值;2兀(II)求函数f(x)在区间，三-上的取值围.,、1 cos 2sx ,所以西=兀解得3 = 1.兀、1(I)由(I)得 f (x) = sin(2 x 丁) + .622兀因为 WxW，一，1兀7k所以兀W 2x W .266“ 1k所以g W (2 x ) W1.26K、13 II ,、，3因此W sin(2x ) + W二，即f (x)的取值围为，二6222点评：熟练掌握三角函数的降幂，由2倍角的余弦公式的三种形式可实现降幂或升幂，在训练时，要注意公式的推导过程。辅助角公式与三角函数的图像变换例 9(2008 福田等)已知向量a =(侦3 sin 工,cos x), b = (cos工,cos x)，函数 f (x) = 2a -b -1求f (x)的最小正周期；(2)当xe仁，时，若f (x) = 1,求x的值.6 2, A解：(1) f (x) = 23 sin x cos x + 2cos 2 x -1 =、3 sin 2x + cos 2x = 2sin(2 x + )6所以，T =丸.一 n 丸、1(2)由 f (x) = L 得 sin 2x + =I 6 ； 2k k 厂 兀 兀 7k厂 兀 5兀, x e ,，二 2x + e ,2x + =6 2，62 666点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.例10 (2007文)在A8C中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,tanC = 37.(1) 求 cos C ；(2) 若 CB CA = 5，且 a + b = 9，求 c .2解：(1) tan C = 3、. C = 3-(7cos C又 sin2 C + cos2 C = 1 解得cosC = -.8tan C 0，.C 是锐角. .cos C = 1.8(2)由 CB CA = 5， abcosC = 5，/. ab = 20 .22又 a + b = 9. a2 + 2ab + b2 = 81. a2 + b2 = 41.c2 = a2 + b2 - 2ab cos C = 36 ./. c = 6 . 点评：本题向量与解三角形的容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等容。x 冗、n例11、(2007)将y = 2cos x + -的图象按向量a = - -，-2平移，则平移后所得图象的解3 6) 4)析式为()A. j = 2cosC. j = 2cosf x + n 13 4)住-13 12 )-2解：由向量平移的定义B. j = 2cosD. j = 2cos住- 13 4 )住+ -13 12 )+2在平移前、后的图像上任意取一对对应点p，(t,y)，P(x,j)，则(2)设函数f (x)=解：(I)由已知条件:。x ，得:一，7/. 3x x、a + b = (cos + cos , sin - sin)=22223x22，/3x . x、_ . . 3x. x、_.(cos+ cos)2 + (sin - sin )2 2222=PP = (x-x, j- y)n x = x + ：, y = j + 2，代入到已知解析式中可得选A4点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。兀注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移工个单位，再向下平移2个4单位，误选C一,33 、厂， x. x、一例 12、(2008 六校联考)已知向量a = (cos x，sin x)，b =(-cos，sin)，且 xE2222r 兀0,.2(1)求 a + b_+ a -b，求函数f (x)的最值及相应的x的值。= 2 2 cos 2 x = 2 sin x3xx . 3x . x(2) f(x) = 2sinx + cos cos -sin sin = 2sinx + cos2x 2222=-2sin2 x + 2sin x +1 = -2(sin x 一)2 + 22因为：0 x y，所以：0 sinx 1所以，只有当：x = 时，f (x)=2max 2x = 0，或 x = 1 时，fmin(x) = 1点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值围，否则容易搞错。.word 版.降幂公式、辅助角公式题库1. (2010 理)(11)函数 f (x) = sin(2x 勺-2j2sin2 x 的最小正周期是.4J 2 .(一兀、 解析：f vx)=-sin 2x + -1,所以函S/()的最小正周期为。号e(ID由(I)知,当号= 号，即m知+奇卜2时./尊)取策大值 厄-】.因此函数取埴大值时*的集合为小=如十齐*普.5. (2010文)(15)(本小题共13分).word 版.c兀(i)求f(a)的值；(II)求f (x)的最大值和最小值兀2兀.兀 一 31解:(I) f(一)= 2cos+ sin2 = -1 + = 一一33344(II) f (x) = 2(2cos 2 x -1) + (1-cos2 x)=3cos2 x -1,x g R因为cosxg1,1，所以，当cosx = 1时f (x)取最大值2；当cosx = 0时，f (x)去最小值-1。6. (2010理)(15)(本小题共13分)已知函数 f (x) = 2cos 2x + sin2 x一4cos x。c兀(I) 求f = (y)的值；(II) 求f (x)的最大值和最小值。兀2兀，.、兀/ 兀 _39解:(I) f (一) = 2cos + sin2 一4cos = -1 + = 一一333344(II) f (x) = 2(2cos 2 x-1) + (1-cos2 x)-4cos x=3cos2 x一4cos x一 1=3(cosx- )2 -Z x g R33，因为 cos x g -1,1,27所以，当cosx = -1时，f (x)取最大值6；当cosx = 3时，f (x)取最小值39. (2010文)16.(本小题满分12分), 、 cos2 x 一 sin2 x / 、1 . -1已经函数 f (x) =, g (x) = -sin 2 x .I(I)函数f (x)的图象可由函数g (x)的图象经过怎样变化得出？(II)求函数h(x) = f (x)- g(x)的最小值，并求使用h(x)取得最小值的x的集合。的恒号壁挨-囹彖皮接以及魅笛等薨隅为识相垃辄施力.3 分”分)解,】/uIcwlx J+-) P2224淅以要溶到屋)的圈象就需更把用碎的旭象向先平移买个单似长腐冲将所有的 昭整商上平臃Z个壬性笠度即町. 11= ixt51x- sinix+ - =costZr+J+X . 24 24 4-台7工*买=冶*养肘,AGO取RI址小的一垂=上匝 4244尬)取程胶小酬牝 对应m的集合为七勾.10. (2010理)16.(本小题满分12分)已知函数 f (x) = 0)，y = f (x)的图像与直线y = 2的两个相邻交点的距离等于兀，则f (x)的单调递增区间是A. k兀一，k兀 + -, k e Z1212B5k11kB. kK +,kK +,k e Z1212CkK - , k兀 + 甘,k e ZD. kK + 6, kK + 号,k e Z答案C解析f (x) = 2sin(x + ：)，由题设f (x)的周期为T =兀，.=2 , 6由2k兀一一V 2x +V 2k兀+得，k兀一一V x V k兀+ , k e z，故选C 262369. (2009卷文)设函数，其中，则导数的取值围是A. B.C.D.答案D 兀 解析 f =sin0 - x2 + t3cos x = sin + %：3cos0 = 2sin(0+) x=13-5 n 冗、/! 0e 0，仍兀-sin(0+ 3) e 亍1 广e*2，选di-0. (2009卷文)函数f (x) = (1+p；3tanx)cosx的最小正周期为A. 2兀C.兀3兀& W答案：A解析由 f (x) = (1+ 3 tan x)cos x = cos x + J3 sin x = 2sin(x + ：)可得最小正周期为 2兀，故选6A.ii. (2009 卷理)若函数 f (x) = (1+t3tan x)cos x，0 V x v；，则 f (x)的最大值为A. iB. 2 C. t3 +1 D. * + 2答案：B解析因为 f =(1+拓即 x)cosx = gfM x = 2cos(x-勺兀当x =-是，函数取得最大值为2.故选B24. (2009年卷理)函数y = 2cos2x + sin2x的最小值是答案1-技解析 f (x) = cos2x + sin 2x + 1=%，2sin(2x + ；) +1，所以最小值为：1一*227. (2009卷文)函数f 3) = 2cos2x + sin2x的最小值是。答案1-巨解析 f (x) = cos2 x + sin 2 x + 1=v2sin(2x + ：) +1,所以最小值为：1 一寸230. (2009文)(本小题共12分)已知函数f (x) = 2sin(兀一x)cos x.(I)求f (x)的最小正周期；(11)求f在区间-。|上的最大值和最小值.解析本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等 基础知识，主要考查基本运算能力.解(1)，f (x)=2sin (兀-x)cos x = 2sin x cos x = sin 2x，函数f (x)的最小正周期为兀.(II)由一生 V x - 2x V 兀， - sin 2x 1,623，2，f在区间-6 2上的最大值为】，最小值为兀33.(2009 卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2 x.(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.,、 、一一 ， _1*、1设A,B,C为A ABC的三个角，若c osB?，f G) = -了，且C为锐角，求sinA.324解：兀(1) f(x)=cos(2x+ )+sin2 x.兀兀，1-cos2x 13 .=cos 2 x cos - sin 2 x sin +=-sin 2 x332221 + 气：3所以函数f(x)的最大值为壬一，最小正周期.一 c 13 . 一 13一兀(2) f (5) = -rsinC =, 所以sinC =-, 因为 C 为锐角， 所以C =,又因为在 ABC中，cosB= 3 ,所以sinB = ： a，所以B = 或B = 7-. 44c 兀- 兀 兀 7兀-3兀-当B =-时，c=兀一-一彳=正；当B =时，c =44. (2009卷文)(本小题满分13分，(I)小问7分，(II)小问6分.) 2兀 设函数f (x) = (sinx + cosx)2 + 2cos2x(o 0)的最小正周期为与(I)求的最小正周期.兀(II)若函数y = g(x)的图像是由y = f (x)的图像向右平移5个单位长度得到，求y = g(x)的单调增区间.解：(I)=sin 2x + cos 2x + 2 = 2 sin(2x + 生)+ 24依题意得一=二厂，故的最小正周期为；.232(II)依题意得：g(x)= 屈n| 3(x勺 + ：卜2 =扁(*- + 2由 2k兀-W 3x 一竺 W 2k兀 +生(k e Z)2422 兀/ 3.7兀解得 3 *兀 +w x w 3 k +12 (k e Z) , , 2 7 兀 2 7 7兀 r故y = g (x)的单倜增区间为：【3 k +3 k +12(k e Z)则f (x)是()A、最小正周期为兀的奇函数C、最小正周期为兀的偶函数兀B、最小正周期为3的奇函数兀D、最小正周期为3的偶函数答案：D解析f (x) = (1+ cos 2x)sin 2 x = 2cos 2 x sin2 x = sin2 2x =21 一 cos 4 x44. (2008、文科卷)函数f (x) = cos2x + 2sin x的最小值和最大值分别为()A. 3, 1B. -2, 23C. -3, 2D. 2,解析,f (x) = 1- 2sin2 x + 2sin x =J .1 )22 sin x 一 3、(2008)已知函数 f (x) = (1+ cos 2x)sin2 x,x e R ,13.当 sin x = 2 时,fmax (x)= 2，当 sin x = -1 时，fmin(x)=-3 ；故选C； 答案：C6. (2007)若函数 f (x) = sin2 x 2(x e R )，则 f (x)是()a.最小正周期为n的奇函数b.最小正周期为兀的奇函数C. 最小正周期为2兀的偶函数D.最小正周期为兀的偶函数答案D兀9. （2006年）已知函数f （x） = a sin x - b cos x （ a、b为常数，a丰0 , x e R ）在x =处取得“，3兀、最小值，则函数y = f -4 一x）是（）, 八、，3兀八、A.偶函数且它的图象关于点（兀,0）对称B.偶函数且它的图象关于点（藤-，0）对称,3兀八、，C.奇函数且它的图象关于点（,0）对称D.奇函数且它的图象关于点（兀,0）对称答案D兀1 + cos2x + 8sin2x ,11. （2005全国卷I ）（6）当0 x =时，函数f （x）=的最小值为2sin 2 xA.2B. 2 容C.4D. 4 3答案 C13.（理科卷）已知函数f （x） = （sinx-cosx）sin x , x e R，则f （x）的最小正周期是.答案：兀.1 - cos 2x 1 . _ 2兀解析 f (x) = sin2 x - sin x cos x = - sin 2 x，所以函数的最小正周期T = -=n。