数理经济学03-微分方程与差分方程

微 分 方 程 与 差 分 方 程微分方程与差分方程简介本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。2.1 微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。为此，给出下列描述性的定义：定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。本章仅介绍常微分方程。在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。微分方程的一般形式是其中，是自变量，是的函数，是对的各阶导数。微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）满足该微分方程，即将，代入到微分方程，能使等式成为恒等式，则称这个函数是这个微分方程的解。例 假设曲线在点处的切线斜率是。求满足这一条件的所有曲线。解：根据导数的几何意义，有这是一个一阶微分方程。两边同时积分，有所以，该微分方程的解是由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程的解是该微分方程的积分曲线。上例的积分曲线如图2.1所示。从图中可以看到，该微分方程有无穷多条积分曲线，并且，所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。一般来说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。从上例可以看出微分方程有无穷多个解的原因。从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；阶微分方程就要进行次积分（当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算）。积分一次就会出现一个常数。因此，阶微分方程的一般解应含有个任意常数，故而微分方程有无穷多解。为此，我们给出下列定义：定义 若一个阶微分方程的解含有个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。这样，阶微分方程通解的一般形式是在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。例如，函数含有两个独立的任意常数。在函数中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为。因此，该函数只含有一个独立的任意常数。又如，等价于，所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。类似的，函数也只含有一个独立的任意常数。一般来说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。在微分方程的通解中，若指定其中的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。例如，就是在上例中，令的特解。在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。对于不同的条件，求对应特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。对于一个阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在处，未知函数在该点的函数值以及直到阶的导数值。这种条件称为微分方程的初始条件，记为其中，是已知常数。给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。求解初值问题的常见方法是：1) 求出微分方程的通解；2) 求出通解的直到阶的导数；3) 代入初始条件，得到含有个常数的个方程；解这组方程，得到的一组指定值；4) 代入通解，得到满足初始条件的特解。2.2 几类常见微分方程的解法可分离变量的微分方程下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程也就是说，若一阶微分方程可以按合并为两项，两个微分的系数都可以分解为两个因子的乘积，并且，每个因子要么只包含变量，要么只包含变量，则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。在该微分方程的两边同时除以，可将它转化为下列形式：这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。其特点是变量的微分的系数只与有关，变量的微分的系数只与有关。这类微分方程可以通过直接积分得到其通解。事实上，在变量已分离的微分方程的两边同时积分，有不难验证，由这个方程确定的隐函数是原微分方程的通解。例： 求微分方程的通解。解：该微分方程可以变形为所以，原微分方程是一个可分离变量的微分方程。两边同时积分，得其中，。于是，该微分方程的通解为一阶线性微分方程下列形式的微分方程称为一阶非齐次线性微分方程：称微分方程为对应的齐次线性微分方程。下面分两步求出一阶非齐次线性微分方程的通解公式。1) 求对应齐次线性微分方程的通解；2) 在对应齐次线性微分方程的通解的基础上，用所谓的“常数变易法求出非齐次微分方程的通解。齐次线性微分方程是可分离变量微分方程。分离变量，有两边同时积分，所以，齐次线性微分方程的通解为 “常数变易法”是通过对应齐次方程的通解，求非齐次方程解的一种常用方法。它不仅用于一阶线性微分方程的求解，还可以用于高阶线性微分方程的求解。其方法是假设非齐次微分方程的通解也具有上述的形式，只是视其中的常数是自变量的函数。即假设是一阶非齐次线性微分方程的通解。然后将其代入原微分方程，确定函数，从而求出它的通解。根据假设，有代入方程，得整理得于是，这样，原微分方程的通解公式为由此可以看出，一阶线性非齐次微分方程的通解由两项组成。一项是，它是对应齐次微分方程的通解；另一项是。不难验证，它是非齐次线性微分方程的一个特解。在解一阶非齐次线性微分方程时，可以直接套用公式（2.2.8），也可以利用公式的推导过程来求解。例： 求微分方程的通解。解：显然，该微分方程不是关于的线性微分方程。然而，若将看成因变量，看成自变量。则该微分方程变形为整理后得到这是一个关于的线性微分方程。运用公式（2.2.8）解之。， ， 代入公式通解，有 所以，该微分方程的通解为2.3 二阶常系数线性微分方程下列形式的微分方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程：而称微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程。下面首先介绍齐次方程解的性质，然后再借助这些性质去构造它的通解的结构。然后利用齐次方程的通解去构造非齐次方程的解。容易证明，定理 设是二阶常系数齐次微分方程的解，是任意常数。则也是它的解；该定理常常表述为常系数齐次线性微分方程解的线性组合仍然是它的解。根据该定理及微分方程通解的定义，容易得到定理 设，是常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，则它们的线性组合它的通解。其中，是任意常数。本定理常称为常系数齐次线性微分方程解的结构定理。因此，求常系数线性齐次微分方程的通解的关键是求它的两个线性无关的特解。通过观察，不难看出这种微分方程解应具有的函数类型。事实上，从常系数齐次线性微分方程左边的表达式可知，若函数是该微分方程的解，则与它的一、二阶导数的某个线性组合应等于零。因此，与它的一、二阶导数应该是同类型的函数。由导数基本公式可知，指数型函数具有这种性质。因此，可以按下列方法寻找它的特解：假设它具有指数型函数的解，代回原微分方程，用待定系数法确定的值。确定了的值，就求出了原方程的特解。设是常系数齐次线性微分方程的解。将其代入，有 注意，对任意的，。所以，欲使是方程的解，则必须是一元二次方程的根。由于上述步骤步步可逆。因此，我们得到了定理 是常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件是是一元二次方程的根。为此，引入下列定义:定义 称上述代数方程是常系数齐次线性微分方程的特征方程，其根称为常系数齐次线性微分方程的特征根或特征值。这样，求常系数线性微分方程的特解以转化为求它的特征方程的根。由于一元二次方程的根可能会是有两个不等的实根、有两个相等的实重根、有一对互为共轭复根。因此，常系数齐次线性微分方程的通解也有下列三种形式：1) 有两个不等的实特征根：此时，是其通解；2) 有两个相等的实重特征：由于两个重特征根给出的对应指数函数是同一个函数。因此，需要去再找一个与线性无关的特解。此时容易验证，也是它的的一个特解。因此，该微分方程的通解是；3) 有两个共轭复特征根：设。虽然，是它的解，且它们线性无关，但是，这两个函数中含有复数，而在高等数学中，一般都仅在实数范围内讨论。因此，希望将这两个函数转化为仅含实数的函数。为此，根据欧拉公式，令则是常系数齐次线性微分方程的两个解的线性组合，由解的结构定理，它们也是原微分方程的特解。显然，线性无关。所以当常系数齐次线性微分方程有一对共轭复特征根时，它的通解为总结上述讨论，得到下列定理：定理 设常系数齐次线性微分方程的特征根是；为任意常数。1) 若且，则该方程的通解是；2) 若且，则该方程的通解是；3) 若，则该方程的通解是。例： 求微分方程满足初始条件，的特解。解：该微分方程的特征方程是它的特征根是它们是重特征根。所以，该微分方程的通解是 将初始条件代入通解表达式，有得。所以，所求特解为例： 求微分方程的通解。解：该微分方程的特征方程是它的特征根是所以，它的通解为上面对二阶常系数齐次线性微分方程求解过程的讨论可以推广到阶常系数齐次线性微分方程的求解。为此，首先推广函数线性相关和线性无关的概念。定义 设是一组函数，若存在不全为零的常数，使得它们的线性组合称这组函数线性相关；若对任意，除外，都不恒等于零，称这组函数线性无关。一组函数线性无关意味着该组函数的线性组合中的任意常数都是独立的。定义 下列形式的微分方程称为阶常系数齐次线性微分方程：称代数方程为微分方程的特征方程，其根为该微分方程的特征根。容易证明，解的结构定理对阶常系数齐次线性微分方程依然成立，并可扩充为下列定理：定理 设是常系数齐次线性微分方程的个线性无关的特解，则它们的线性组合是该方程的通解。其中，是任意常数。同样，不难证明：定理 形如的函数是阶常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件为是它的特征根。根据阶常系数齐次线性微分方程的特征根的实根与复根、单根与重根的不同，它的个线性无关的特解与特征根的对应关系如下：1) 单实根 对应一个特解 ；2) 重实根 对应个特解 3) 一对单复根 对应一对特解 和4) 重复根 对应对特解 和其中，。这样，可以用上面介绍的步骤求出阶常系数齐次线性微分方程的通解。例 求微分方程的通解。解：该微分方程的特征方程是 它的五个特征根是于是，该微分方程的五个线性无关的特解为； ； ；所以，该5阶常系数齐次线性微分方程的通解为 二阶常系数线性非齐次微分方程通解结构二阶常系数线性非齐次微分方程的通解和与它对应的齐次方程的通解的联系非常密切。下面介绍此类微分方程解的性质。这些性质可以用来构造它的通解。定理 设是常系数线性非齐次微分方程的解，是二阶常系数线性齐次微分方程的解。则1) 是常系数线性非齐次微分方程的解；2) 是常系数线性齐次微分方程。根据上述定理，可以很容易得到常系数线性非齐次微分方程的通解表达式。定理 设是常系数线性非齐次微分方程的一个特解，是对应齐次方程的通解。则是常系数线性非齐次微分方程的通解。本定理常称为常系数线性非齐次微分方程解的结构定理。本定理给出了求常系数线性非齐次微分方程的通解的基本步骤：1) 求常系数线性非齐次微分方程所对应的齐次微分方程的通解；2) 求出常系数线性非齐次微分方程的一个特解；3) 将它们加起来即得常系数线性非齐次微分方程的通解。常系数线性齐次微分方程的通解求法上一节已经介绍。因此，现在求常系数线性非齐次微分方程的解的关键是求它的一个特解。求常系数线性非齐次微分方程的特解时，下列定理很有用。定理 设分别是下列非齐次方程的通解：则是下列常系数线性非齐次微分方程通解：求常系数线性非齐次微分方程的特解没有一般方法，通常需要根据非齐次项的不同类型，采用不同的方法。下面针对几类常见类型的非齐次项，介绍对应特解的求法。其中，始终表示次多项式。型注意到常系数线性非齐次微分方程的左边是未知函数及它的导数的线性组合；以及指数函数与多项式之积的各阶导数仍然是指数函数与多项式之积。因此，可以认为它有指数函数与多项式之积这种函数类型的特解。为此，用待定系数法的方法，假设它有一个形如的特解，代入原微分方程，确定的各项系数，从而求出它的一个特解，具体作法是：设是常系数线性非齐次微分方程的一个特解，其中，是待定多项式。求导数得代入原方程，有 消去，并加以整理，得到注意到是以知多项式，故可利用该恒等式来决定的系数。用待定系数法确定的关键是确定的次数。因为是次多项式，故（2.3.6）左边的代数和应是次多项式。注意到多项式求一次导数，其次数要降低一次，即，的次数依次减一。因此，根据该恒等式中、和的系数，依的不同取值，的次数有下列三种可能：1) 不是对应齐次方程的特征根。此时，故可设，一个次多项式；2) 是对应齐次方程的单特征根，此时，但是，。此时，的最高次项含于中，即应是次多项式。为了方便，设；3) 是对应齐次方程的重特征根，此时，并且。此时，的最高次项含于中，即应是次多项式。为了方便，设。综上所述，可以设常系数线性非齐次微分方程有一个形如的特解。其中，根据不是特征方程的特征根、是特征方程的单特征根、是特征方程的重特征根，依次取0，1，2。最后，设代入原方程，用待定系数法确定的值。即可求出常系数线性非齐次微分方程的一个特解。例： 求微分方程的一个特解。解：该方程是非齐次项为的二阶常系数线性非齐次微分方程。其中，是零次多项式。对应齐次方程是它的特征方程是特征根是，。是该方程的单特征根。因此，设设待解方程有一个下列形式的特解：对求导数，得代入待解方程，有 消去并加以整理，得， 所以，求出原方程的一个特解例： 求微分方程的通解。解：该方程是非齐次项为的二阶常系数线性非齐次微分方程。其中，。对应的齐次方程是它的特征方程是特征根是，。所以，它的齐次方程的通解为 因为不是该方程的特征根。因此，设原方程有一个下列形式的特解： 对求导数，得 代入原微分方程，有 比较对应项的系数，有 所以，原微分方程有一个特解这样，原微分方程的通解为2.4 常系数齐次线性微分方程组一阶常系数齐次线性微分方程组及其矩阵表示前面讨论的是由一个微分方程去求解一个未知函数。本节介绍由几个微分方程联立起来共同求解几个具有同一个自变量的未知函数的问题。联立的微分方程称为微分方程组。在微分方程组内所含的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程组的阶数。其一般形式为从理论上说，通过变量变换，可以把高阶微分方程组转化为一阶微分方程组，将一阶导数解出来，则得到一阶微分方程组的一般形式：为了书写简单起见，引入向量记号：，则上述微分方程可以写成特别地，如果上式中的函数都是一次函数，且不包含自变量，则称该微分方程组为常系数线性微分方程组。个未知函数的一阶常系数齐次线性微分方程组的标准形式如下：其中，都是的未知函数。为了书写和求解的方便，利用线性代数的知识，引入一阶常系数线性微分方程组的矩阵表示。令； ； 称为未知函数向量，简称为函数向量；称为导数向量；称为系数矩阵。据此，一阶常系数线性微分方程组可以用矩阵表示为例： 写出下列微分方程组的矩阵表示。解：令， ， 则于是，原微分方程组的矩阵形式是即例： 求微分方程组的矩阵形式。解：令， ， 则 则原微分方程组的矩阵形式是请注意，该微分方程组的系数矩阵是一个对角矩阵。根据导数向量的定义和导数的运算性质，不难证明导数向量的下列运算性质：事实上，令则因此，该矩阵等式等价于下列线性方程组分别在这个方程的两边对求导数，有于是，根据导数向量的定义和矩阵乘法的定义，等式成立。高阶常系数齐次线性微分方程（组）与一阶常系数齐次线性微分方程组的关系常系数齐次线性微分方程组所含的最高阶数如果大于一，则称它是高阶常系数齐次线性微分方程组。例如，微分方程组就是一个三阶常系数齐次线性微分方程组。高阶常系数齐次线性微分方程组可以通过引入新的未知函数将其转化为一阶常系数齐次线性微分方程组。现在以上面的例子说明转化方法。在上述方程中，令， ， 于是， 代入方程，有这是一个一阶常系数齐次线性微分方程。它的标准形式是特别的，阶常系数齐次线性微分方程可以转化为元一阶常系数齐次线性微分方程组。事实上，令， ，这里令是为了记号统一。将这些定义式代入原方程，就得到一个元一阶常系数齐次线性微分方程组：该微分方程组的系数矩阵是这是在线性代数中着重讨论的一个矩阵。反之，也可以在常系数齐次线性微分方程组中消去其它未知函数及其导数（这通常要提高微分方程的阶数），使常系数齐次线性微分方程组转化为高阶常系数齐次线性微分方程。事实上，从上例中的微分方程组的第二个方程中，解出的导数，有于是，再对它的第一个方程两边求导数，有将和的表达式代入上式并整理，有这是一个关于的阶常系数齐次线性微分方程。求出的通解后，根据的表达式可以求出通解。高阶常系数齐次线性微分方程组和一阶常系数齐次线性微分方程组可以互相转化给讨论常系数齐次线性微分方程（组）带来很大的好处，只需要讨论一种形式的微分方程（组）的解法，就可以得到另一种形式的微分方程（组）的解法。通常是将高阶常系数齐次线性微分方程（组）转化为一阶常系数齐次线性微分方程组。这主要是因为一阶常系数齐次线性微分方程组可以利用线性代数的知识进行讨论。有关的线性代数预备知识在给出一阶常系数齐次线性微分方程组的求解方法之前，先简单概述一下所需的线性代数的知识。所介绍的有关定理的证明请参考有关线性代数教科书。定义 设是阶方阵。若存在常数和非零向量，使得则称是方阵的特征根或特征值，称非零向量是对应于的，方阵的特征向量。定理 阶方阵的特征根是次代数方程的根。代数方程（2.4.8）称为阶方阵的特征方程。它是一个关于的次多项式方程。在复数范围内，计算重根，它共有个根。因此，阶方阵有个特征根。定理 设是方阵的特征根，则对应于的特征向量是齐次线性方程组的解。定义 设，都是阶方阵。若存在可逆方阵，使得则称，相似。从求解一阶常系数齐次线性微分方程组的角度来说，最关心的是方阵能否与一个对角方阵相似。下面介绍的几个定理描述了特征根、特征向量与方阵和对角阵相似的关系；方阵与对角阵相似的条件。定理 若方阵与对角方阵相似，则的主对角线上的元素是方阵的特征根，可逆方阵的列向量是与相应特征根对应的，的特征向量。定理 阶方阵的不同特征根所对应的特征向量是线性无关的。下面的定理给出了方阵能与对角方阵相似的条件。定理 阶方阵与对角方阵相似的必要充分条件是有个线性无关的特征向量。推论 若阶方阵有个单特征根，则方阵一定与对角方阵相似。一阶常系数线性微分方程组的求解首先解前面给出的最简一阶常系数齐次线性微分方程组。注意，最简一阶常系数齐次线性微分方程组的系数矩阵是一个对角矩阵。因此，该微分方程组中的每个方程都只含有一个未知函数。对每个方程单独求解就可以得到整个方程组的解。注意到它的每个方程都是可分离变量方程容易求得该方程的通解是所以，原微分方程组的通解为 注意，如果有某些是复数，可以利用欧拉公式将这些解转化为只含实数和实变量的函数。对于一般的一阶常系数齐次线性微分方程组，可以通过变量代换，将其转化为最简一阶常系数齐次线性微分方程组的形式，从而求出其解。设有一阶常系数齐次线性微分方程组设它的系数矩阵能与对角方阵相似。于是，存在可逆方阵，使得令。有。将其代入原微分方程组，得到这是一个关于向量的最简一阶常系数齐次线性微分方程组。设该方程组的通解是 记则一阶常系数齐次线性微分方程组的通解是将的通解表达式代入上式，得到原方程组的通解是 其中，是任意常数；，是原微分方程组的特征根；是对应于的特征向量。2.5 差分及差分方程时间序列假设有时间的函数，在一系列离散时刻点上，观察到它的相应函数值，则称这些观察值为一个时间序列。不失一般，我们对时间序列按观察时间的先后顺序重新编号，可以将时间序列简记为，。因此，时间序列也可以看成是定义在自然数集上的函数。若时间序列除了受的影响外，还受到某个随机因素的影响，则称该时间序列为随机型时间序列；否则，就称为确定型时间序列。习惯上，随机型时间序列简称为时间序列；而确定型时间序列简称为序列、数列等。差分的概念定义 设有时间序列，称为该时间序列的一阶差分。定理 设有时间序列,，为常数，则1)2) ；3) ；4) 。注意到时间序列的一阶差分仍然是时间序列，它的差分仍然是一个时间序列。可以对这个差分再进行差分运算，即有称这个差分为原时间序列的二阶差分，记为。类似的，可以定义时间序列的三阶差分、四阶差分等等：，二阶以上的差分都称为高阶差分。高阶差分可以用原时间序列表示。例如， 一般来说，有定理 设有时间序列,则其中，是在个元素中取个元素的组合数。证明：用归纳法证明。当时，如上所述，上式成立。假设对自然数，上式成立。则对，有 根据组合数公式，及， 有 从上式可以看出，时间序列的一阶差分可以用的两个相邻的值表示；二阶差分可以用的三个相邻的值表示；阶差分可以用的个相邻的值表示。差分方程的一般概念因为差分对于离散变量相当于导数对于连续变量。那么，与微分方程相对应的概念就是所谓的差分方程。因此，此处的许多概念与微分方程中相应概念类似。定义 含有未知时间序列差分的等式称为差分方程。它的一般形式是由于的高阶差分可以用的的相邻值表示，这样，可以得到差分方程的另一种形式的定义：定义 含有未知时间序列的相邻值的等式称为差分方程。它的一般形式是在实际应用中，这种定义形式的差分方程更为常见。定义 差分方程所含的未知时间序列的差分的最高阶数，或者方程所含的的相邻值的最大个数称为该差分方程的阶数。例： （菲波拉契（Fibonacci）问题）设幼兔一个月后成长为成兔。成兔一个月后开始生幼兔，每月生一对幼兔。假设兔子不死，问开始有一对兔子时，过个月后，共有多少兔子。解：设第月的兔子数是。其中，成兔数是，幼兔数是，即到第月，成兔生了对幼兔，原有幼兔成长为成兔。所以， ， 于是， 这样，每个月的兔子数满足方程这是一个二阶差分方程。若有一个时间序列代入到差分方程，使之成为恒等式，则称该时间序列是这个差分方程的解。与微分方程类似，差分方程的解通常不止一个。因此，有如下定义：定义 设有阶差分方程若有时间序列，使得则称是这个差分方程的解；若这个解含有个独立的任意常数，则称它是该差分方程的通解；否则称为特解。与微分方程类似，为了确定通解中任意常数的具体值，需要知道一些附加条件。对于阶差分方程，常见确定任意常数的条件是其中，是已知常数。这种形式的确定常数的条件称为初始条件。求满足给定初始条件的差分方程解的问题称为差分方程的初值问题。在理论经济学研究中，通常假设所研究的经济变量是连续变量，以便于利用微积分和微分方程等数学工具来进行研究。然而，在实际经济活动中，不可能对经济变量进行连续观察，各种经济变量的观察值只能是该经济变量在一定时期（周、月、年）的取值。也就是说，大多数实际可观察的经济变量都可以认为是离散变量。因此，对一个实际经济系统进行实证研究时，经常用差分近似微分，用差分方程代替微分方程来建立该经济系统的数学模型。此时，变量的下标表示时间，带下标的变量表示这些变量在时刻的取值。对于一般的差分方程，求其通解非常困难，没有一般方法。下面几节仅介绍在经济和管理科学研究中最常见的几类差分方程。常系数线性齐次差分方程的解阶常系数系数线性齐次差分方程的一般形式如下：本节首先介绍此类差分方程解的基本性质，然后，根据这些性质，给出求此类差分方程通解的方法，最后，用例题说明这些方法。定理 设是方程的解，是任意常数，则也是它的解。证明：由条件知，有将代入方程，有 与常系数线性齐次微分方程类似，由此可以立即得到常系数线性齐次差分方程通解结构：定理 设是的个线性无关的解，则它的通解可以表示为其中，是任意常数。从本定理可以看到，求阶常系数线性齐次差分方程通解的关键是求它的个独立特解。下面先看一个一阶常系数线性齐次差分方程求解的例子，从中可以得到求一般阶常系数线性齐次差分方程特解的启发。例： 求下列一阶常系数线性齐次差分方程满足初始条件的特解。解：将方程变形为由于，于是，从这些式子可以看出的一些变化规律，进而猜测该方程可能有下列型式的解：现在用数学归纳法来证明这个时间序列确实是该方程所求的特解。当时，如上所述，满足该方程。设在时，满足该方程。则当时，有并且，满足初始条件。所以，是该方程所求的特解。本例题的求解过程给出了求解一般差分方程的一个方法。即先将差分方程变型为这种形式的差分方程也称为递推公式。依次计算前几个的值。根据这前几个的取值规律，猜测差分方程解的形式。最后，用数学归纳法去证明猜测的正确性。该例题的结果实际上也给出了所求差分方程的通解。事实上，在初始条件中，若将其认为是任意常数，而不是指定常数，则解中含有一个任意常数。故而它是通解。另外，用本例题中的方法不难得到，一般的一阶常系数线性齐次差分方程的通解是其满足初始条件的特解是受本例题的启发，可以得到求阶常系数线性齐次差分方程特解的方法：即假设方程有形如的特解。然后,将上式代入差分方程，利用待定系数法确定常数，即可求出其解。现在，将时间序列代入原差分方程，有因为不恒等于0。于是，是原方程解当且仅当是下列方程的根：因此，求阶常系数线性齐次差分方程通解的关键是设法根据上述代数方程的根，去构造它的个独立的解。在具体讨论阶常系数线性齐次差分方程的通解之前，为了叙述方便，先引入下列与微分方程类似的定义：定义 称上述代数方程是阶常系数线性齐次差分方程的特征方程。它的根称为阶常系数线性齐次差分方程的特征根。阶常系数线性齐次差分方程的特征方程是次代数方程，在复数范围内有个根。下面不加证明的给出如何根据这些根的不同情况，来构造阶常系数线性齐次差分方程的个独立特解。1) 设是阶常系数线性齐次差分方程的单特征根。则该差分方程有一个特解是2) 设是阶常系数线性齐次差分方程的重实特征根。容易验证， 是该差分方程的个独立的特解；3) 设是特征方程的单复特征根。此时，的共轭复数也是特征方程的单复特征根。当然，和是阶常系数线性齐次差分方程独立的特解。然而，它们包含有复数。为此，可以利用欧拉公式，求出只含实数的解。令 ， 则根据欧拉公式，复特征根和可以改写为指数式， 于是，阶常系数线性齐次差分方程的解和可以改写为令根据解的结构定理，也是其解，且它们不含复数；4) 设是特征方程的重复特征根。同样，的共轭复数是特征方程的重复特征根。容易验证， 是阶常系数线性齐次差分方程不含复数的个独立特解。最后，不难看出，互异特征根对应的特解一定是独立的。这样，可以得到求阶常系数线性齐次差分方程通解的方法：1) 求阶常系数线性齐次差分方程的特征根；2) 针对它的每个互异特征根，依照这些根是单实根、重实根、单复根和重复根，按上述讨论，构造对应的特解，共可构造个独立的解；3) 构造这些特解的任意线性组合，得到阶常系数线性齐次差分方程的通解：其中，是任意常数。例 求差分方程的通解。解：该差分方程的特征方程是因此，特征根是该差分方程对应于的解是对于和，注意到，于是，该差分方程对应于和的解是， 这样，该差分方程的通解是例 求差分方程的通解。解：该差分方程的特征方程是特征根是是三重根。因此，该差分方程的通解是非齐次方程解的结构下列形式的差分方程称为阶常系数线性非齐次差分方程：其中，是已知的时间序列。称阶常系数线性齐次差分方程是非齐次差分方程对应的齐次差分方程。通常，对应齐次差分方程的特征方程和特征根也称为非齐次差分方程的特征方程和特征根。下面讨论非齐次差分方程与对应齐次差分方程的解之间的关系，从中可以得到求非齐次差分方程通解的方法。定理 设是非齐次差分方程的解，是对应齐次差分方程的解。则是非齐次差分方程的解。证明：根据条件，有将代入非齐次差分方程，有 定理 设，是非齐次差分方程的解，则是对应齐次差分方程的解。证明：根据条件，有将代入对应齐次差分方程，有 根据上述两个定理，读者可以自己证明：定理 设是非齐次差分方程的一个特解，是对应差分齐次方程的解。则是非齐次差分方程的通解。定理常称为常系数线性非齐次差分方程解的结构定理。根据上述定理，常系数线性非齐次差分方程的通解由它的一个特解加上对应齐次方程的通解组成。因此，解常系数线性非齐次差分方程的通解通常分两部分。一部分是求对应齐次差分方程的通解；另一部分是求它自己的一个特解。上节已介绍了常系数线性齐次差分方程通解的解法。非齐次差分方程特解的求法与常系数线性非齐次微分方程的特解的求法类似。2.6 微分方程的稳定性理论简介微分方程一般都是反映了实际系统的运动规律，它的每个（特）解都反映了实际系统的一种运动轨迹。然而，没有求解微分方程的一般方法。因此，我们退而求次，希望直接利用，来研究其解的某些性质。我们通常最关心下列三个问题：1、 微分方程是否有平衡解，即是否存在常数向量，使是该微分方程的解；2、 设是的一个特解，当初始条件发生了微小变化时，是否也只发生微小的变化。此即微分方程稳定性问题；3、 当时，的性状？是否所有的解是否都趋于平衡解？如果不趋于平衡解，是否能趋于周期解？这三个问题构成了所谓的微分方程的定性理论。平衡解问题很容易解决。事实上，若，则。因此，当且仅当时，是该方程的平衡解。 下面介绍微分方程稳定性理论初步。主要是介绍稳定性定义与判据。定义：设微分方程有初始条件为的特解。若对任意的，存在，使得对所有其初始条件满足不等式的解及对所有的，有，则称是稳定的。若是稳定的，且有则称是渐进稳定的。令，并带入原方程，则新方程显然有平凡解。因此原方程的特解的稳定性等价于新方程在平衡解的稳定性。显然，稳定解是平衡解，但是，平衡解不一定是稳定解。定义：设函数满足下列条件：i. ，有（）ii.则称是正定（负定）函数。对于正（负）定函数，若，使得，则称是半正（负）定。上面定义的函数类也称为李雅普诺夫函数。定义：设有函数，若存在正定函数，使得对任意的，有（），则称是正（负）定的。类似的，可以定义半正（负）定函数。定义：设是正定函数，若存在正定函数，使得，则称是无穷小上界正定函数。微分方程稳定性基本判据（李雅普诺夫第一定理）设有微分方程，且f连续，则该方程的平凡解是稳定的必要充分条件是存在正（负）定函数，使得下列表达式是负（正）定的。渐进稳定性基本判据（李雅普诺夫第二定理）若存在无穷小上界函数，使得是负定的，则微分方程的平凡解是稳定的。根据这两个定理，判断微分方程稳定性的关键是能否构造正（负）定函数。线性常系数齐次微分方程组的稳定性判别定理设有微分方程。若A的所有特征值的实部都小于零，则该微分方程是渐进稳定的。若A的所有特征值的实部都小于等于零，且实部等于零的特征值仅是A的单特征值，则该微分方程是稳定的。对于一般的一阶微分方程，可否利用它的一次近似式来研究它的稳定性？定理：设若对任意，存在，使得， （ i =1，2，n ）且A的特征值的实部小于零，则是稳定的。2.7 差分方程的稳定性理论简介在概念上，差分方程的稳定性与微分方程的稳定性基本相同，仅记号有所不同。引进一些记号。给定差分方程向量， 表示两个初始条件。它们的差称为初始条件的扰动。此时，初始条件可以表示为定义向量的模为差分方程对应于初始条件的特解记为。定义 差分方程对应于初始条件的特解称为是稳定的,如果对于任意给定的，当时，有则称特解是稳定的。为了研究方便，对上述差分方程稳定性定义作几点修改。1) 令，则上式等价于；2) 对于许多差分方程，它的解连续地依赖于通解中的任意常数。故初始条件有微小变化与有微小变化等价，反之亦然。因此，通常仅考虑有微小变化。定义 对差分方程（16.1.3），若当它的通解中的任意常数在一组特定值处有微小变化时，它的解满足条件则称该差分方程是稳定的。一般差分方程的稳定性的研究相当困难，目前仍然一个活跃的研究领域。下面仅介绍常系数线性差分方程稳定性理论。由于常系数线性差分方程具有某些特有的性质，给稳定性研究带来一定的方便。因此，可以对常系数线性差分方程给出一个更为方便的稳定性定义。对于稳定性研究而言，常系数线性差分方程具有以下三个特性：第一、 由于是线性齐次差分方程的解。因此，在进行稳定性研究时，可以仅考虑齐次方程；第二、第二、 ，（）等价于，（）。因此，在进行稳定性研究时，可以仅考虑，（）；第三、 第三、另外，设是常系数线性齐次差分方程个独立的特解，则它的通解是因此，对于常系数线性齐次差分方程来说，初始条件的微小变化与的微小变化是等价的。再注意到稳定性定义中的任意性，故在研究此类差分方程稳定性时，可以让取任意值。这样，常系数线性齐次差分方程稳定性的定义可以进一步简化为：定义 设有常系数线性齐次差分方程设是它的个独立的特解。若不论取何值，都有则称该差分方程是稳定的。根据常系数线性齐次差分方程独立特解的构造，容易得到判断常系数线性齐次差分方程稳定性的基本定理：定理 常系数线性齐次差分方程是稳定的必要充分条件是它的个特征根的模小于1，即 证明：当是实数时，它所对应的特解是或。显然，当且仅当时，有 或 当是复数时，该方程对应的特解是与，或者是与。其中， ， 同样，当且仅当时，有根据稳定性定义，只有当这些式子都成立时，该差分方程才是稳定的。 例： 判断下列差分方程的稳定性。解：差分方程的特征方程是所以，它的特征根是，。由于，所以，该差分方程是稳定的。一般来说，特征根的计算非常困难，所以，下面不加证明地介绍一个不需要计算特征根的常系数线性差分方程稳定性判别定理。定理 设常系数线性差分方程的特征方程是构造系列行列式，则差分方程是稳定的必要充分条件是 例： 用上述定理判断上例中的差分方程的稳定性。解：所以，该差分方程是稳定的。47