概率论与数理统计(浙江大学)

概率论与数理统计 （54学时）,开课系：信管系 教师：张艳娥 Email:,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一个数学分支。,在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。,随机现象：,在一定条件下必然发生的现象。,在个别实验中其结果呈现出不确定性；,概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。,课程简介,概率论与数理统计 已成为高等理、工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。 通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。,退 出,目 录,前一页,后一页,课程简介,课程主要内容：,概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理 样本及抽样分布 参数估计 假设检验,1 随机试验 2 样本空间，随机事件 3 频率与概率 4 等可能概型（古典概率） 5 条件概率 6 独立性,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。,第一章 概率论的基本概念,1 、 随 机 试 验（Experiment ）,1 随机试验,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,E1：抛一枚硬币两次，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。,E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。,E4：观察某一电子元件（如灯泡的寿命。,其典型的例子有,E5：观察某城市居民（以户为单位烟酒年支出。,这些试验具有以下特点：,第一章 概率论的基本概念,3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果；,1. 可以在相同的条件下重复进行；,我们把满足上述三个条件的试验称为随机试验。记为E,退 出,前一页,后一页,目 录,一 样本空间 二 随机事件 三 事件间的关系与运算,2 样本空间，随机事件,第一章 概率论的基本概念,退 出,目 录,前一页,后一页,2 样本空间随机事件,一 样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 （ 也叫基本事件,E1： S1 H H, HT，TH，TT E2 ：S2 1, 2, 3, 4, 5, 6 E3： S3 0,1,2,3 E4： S4 t | t 0 E5： S5 ( x , y ) | M0 x , y M1 ,第一章 概率论的基本概念,要求：会写出随机试验的 样本空间。,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E4：如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,S 4： = t ：t 0,故样本空间,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,E5： 调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数.,也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档. 这时，样本点有（高,高）,（高,中），(低,低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成 .,这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成 .,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,二 随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,两个特殊的事件：,必,件,然,事,例如，在掷骰子试验中， “ 掷出点数小于7”是必然事件;,即在试验中必定发生的事件，即样本空间 常用S或表示;,不,件,可,事,能,即在一次试验中不可能发生的事件， 常用表示 .,而“ 掷出点数8”则是不可能事件.,退 出,前一页,后一页,目 录,事件,基本事件,复合事件,（相对于观察目的 不 可再分解的事件）,（两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件 Ai =掷出i点 i =1,2,3,4,5,6,例如：S2 中,第一章 概率论的基本概念,事件 A=2,4,6 表示 “ 出现偶数点”;,事件 B=1,2,3,4 表示 “ 出现的点数不超过4”. 显然它们都是样本空间的子集,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,1) 包含关系,三 、 事件间的关系与运算,第一章 概率论的基本概念,如果A发生必导致B发生，则,2）相等关系,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3) 和（并）事件,第一章 概率论的基本概念,事件 发生当且仅当 A, B 至少发生一个 .,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,4) 积（交）事件,事件 发生当且仅当 A , B 同时发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,考察下列事件间的包含关系：,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,5) 差事件,第一章 概率论的基本概念,发生当且仅当 A 发生 B 不发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,6) 互不相容（互斥）,7) 对立事件 （逆事件）,第一章 概率论的基本概念,请注意互不相容与对立事件的区别！,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,退 出,前一页,后一页,目 录,互斥与互逆的区别：,两事件A、B互斥：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求A、B互斥( )外，还要求,A+B=S,退 出,前一页,后一页,目 录,n个事件互斥与 两两互斥：,若n个事件A1，A2， ，An中任意两个事件都互斥,则称这n个事件互斥.,所以，若n个事件互斥，则其中任意两个事件都互斥.,退 出,前一页,后一页,目 录,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.,也就是说，要正确无误地“互译”出来.,退 出,前一页,后一页,目 录,例1：从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记 A=两件产品都是合格品，,若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2,=两件产品中至少有一个是不合格品,A=B1B2,问如何用 Bi 表示A和 ？,A3 A4 A3 A4 如图(1)、(2)两个系统中令Ai表示第i个元件 工作正常”, Bi表示“第i个系统工作正常”. 试用A1, A2 , A3 , A4表示B1, B2. 解: (1) B1 = A1A2A3 A4 (2) B2 = (A1A3)( A2A4),EX2 (1) A1 A2 (2) A1 A2,第一章 概率论的基本概念,例2，在S4 中,事件 A=t|t1000,表示 “产品是次品”,事件 B=t|t 1000,表示 “产品是合格品”,事件 C=t|t1500,表示“产品是一级品”,则,表示 “产品是合格品但不是一级品”;,表示 “产品是是一级品” ;,表示 “产品是合格品”.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,8) 随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,结合律:,分配律:,De Morgan（德摩根）定律:,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,目 录,补充常用的关系及习题 1.甲，乙两人同时向一目标射击一次观察中靶情况。设A甲中，B乙中，问 各表示什么事件? 是否是相等事件？ 2.一射手向目标射击3发子弹，Ai表示第次射击打中目标（i1，2，3。试用A1，A2，A3及其运算表示下列事件 （1 三发子弹都打中目标B （2第一发子弹打中目标而第二，第三发 子弹都未打中C （3三发子弹恰有一发打中目标D （4三发子弹至少一发打中目标E （5三发子弹至多一发打中目标F,解: BA1A2A3 C= A1A2A3A1(A2A3) A123 DA1A2A3 = S-123 = =A11A212A3 E = A1231A2312A3 G= A1A2A31A2A3A12A3A1A23 = A1A2A2A3A1A3,F=1 21 32 3,=A1 2 31A2 31 2 A31 2 3,第一章 概率论的基本概念,练习P29：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件.,（1）A 发生.,(2) A 发生，B 与 C 都不发生.,(3) A ,B , C 都发生.,(4) A ，B , C 至少有一个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,第一章 概率论的基本概念,(5) A ，B , C 都不发生.,(6) A ，B , C 不多于一个发生.,(7) A ，B , C 不多于两个发生.,(8) A ，B , C 至少有两个发生.,退 出,前一页,后一页,目 录,2 样本空间随机事件,3 频 率 与 概 率,一 频率的定义和性质,定义: 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,请看下面的试验,（二 ） 频率的稳定性,3 频 率 与 概 率,实 验 者 德摩根 蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.,因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率,概率,3 频 率 与 概 率,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,3 频 率 与 概 率,（三）概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件 A 的概率，要求集合函数 P( . ) 满足下列条件：,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.,3 频 率 与 概 率,4 ） 概率的性质与推广,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,目 录,移项得(6),便得(7) .,再由,由可加性,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,因为,1=P(S)=P(A)+P( ),3 频 率 与 概 率,性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A).,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,3 频 率 与 概 率,退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,目 录,又因 再由性质 3便得 (8) .,3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,性质 9,第一章 概率论的基本概念,要求：熟练掌握概率的性质。,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,退 出,前一页,后一页,目 录,例1：设P(A)=1/3,P(B)=1/21)若事件A与B互不相容，求P( )2)若 , 求P( )3若P(AB)=1/8,求P( ),例2：A，B是E中两个事件，已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6, 求 P( ),3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。,3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取 r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 。,四、排列组合公式,2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm种方法。,退 出,前一页,后一页,目 录,3 频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,4）组合：（1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考虑其顺序，称为组合，其总数为,（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为,说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,（2）多组组合：把n个不同元素分成k组 , 使第 组有 个元素， ，若组内元素不考 虑顺序，那么不同分法有 种。,（3）常用组合公式：,说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的,退 出,前一页,后一页,目 录,4 等可能概型,等可能概型（古典概型）,第一章 概率论的基本概念,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。 即“ 有限等可能”。,一、 等可能概型（古典概型）,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 1 把一套4卷本的书随机地摆放在书架上，问： 恰好排成序（从左至右或从右至左）的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,将书随机地摆放在书架上，每一种放法就是一 个基本事件，共有放法4！种。,把书恰好排成序有两种放法。 所以，所求概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,例 2 （分球入盒） 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,思考：某指定的n 个盒子中各有一球的概率。,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,例3 （生日问题） 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,r,r,P,A,P,),365,(,),(,365,=,r,r,P,A,P,A,P,),365,(,1,),(,1,),(,365,-,=,-,=,为求P(A), 先求P( ),退 出,前一页,后一页,第一章 概率论的基本概念,2等可能概型,目 录,用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,表 3.1 人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,（分组问题） 例4：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A为“每组有一名运动员”这一事件;B为 “3名运动员集中在一组”这一事件。,例*同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率： A = 5 颗骰子不同点 ； B = 5 颗骰子恰有 2 颗同点 ； C = 5 颗骰子中有 2 颗同点，另外 3 颗 同是另一个点数,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,解：,退 出,前一页,后一页,目 录,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,古典概率的常用的几种类型：1 抽球问题2 分球入盒问题3 分组问题4 随机取数问题等,退 出,前一页,后一页,目 录,例 5（抽球问题）设有10件产品，其中有4件次品，从中任取3件，每次取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：A: 所取3件均为正品； B: 3件均为次品；C :3件中恰有一件为次品；D: 直到第3次才取到正品。,解:.不考虑所取3件的次序，可能结果为组合问题得样本空间样本点数: n=C103 所取3均为正品的样本点数：m A=C63 所取3件均为次品的样本点数: m B=C43 m C= C31C62C41 m D=436 =72 则P(A)=1/6 ,P(B)=1/30 ，P(C)=3/5 ，P(D)=1/10,例6 设有 N 件产品，其中有 M 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 M 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-M 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,2） 有放回抽样,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,于是所求的概率为：,从 N 件产品中有放回地抽取n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,此式即为二项分布的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 7 某厂家称一批数量为1000件的产品的次品率 为5%。现从该批产品中有放回地抽取了30件，经 检验发现有次品5件，问该厂家是否谎报了次品率？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,假设这批产品的次品率为5%，那么1000件产品 中有次品为50件。这时有放回地抽取30件，次品有5 件的概率为,退 出,前一页,后一页,目 录,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件 在一次实验中几乎是不发生的”（称之为实际推 断原理）。现在概率很小的事件在一次实验中竟 然发生了，从而推断该厂家谎报了次品率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 将 n个男生和m个女生(mn) 随机地排成一列,问：任意两个女生都不相邻的概率是多少？,解：,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,任意两个女生都不相邻时，,首先n个男生的排法有n!种，,每两个相邻男生之间有一个位置可以站女生，还有队列两侧各有一个位置可以站女生，这样m个女生共有n+1个位置可以站，,所以，任意两个女生都不相邻这一事件的概率为,n+m个学生随机地排成一列共有排法(n+m)!种,总共排法有 种。,退 出,前一页,后一页,目 录,思考题：如果这n+m个学生不是排成一列，而是排成一个圆状，首尾相接，这时，任意两个女生都不相邻的概率是多少？,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,例 8 袋中有 a只白球，b 只黑球从中将球取出 依次排成一列，问第 k 次取出的球是黑球的 概率,解： 设 A=“第 k 次取出的球是黑球”,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,退 出,前一页,后一页,4等可能概型,目 录,例9 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“ 6”点的概率是多少？,令 事件A=至少出一次“ 6”点,A发生,出1次 6点,出2次“6”点,出3次“6”点,出4次“6”点,直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件,=4次抛掷中都未出“ 6”点,的概率.,退 出,前一页,后一页,目 录,于是 =0.518,因此 = =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果,而导致事件 =4次抛掷中都未出“6”点 的结果数有 =625种,例 10 从 19 这 9 个数中有放回地取出 n 个. 试求取出的 n 个数的乘积能被 10 整除的概率 解：A =取出的 n 个数的乘积能被 10 整除； B = 取出的 n 个数至少有一个偶数 ； C =取出的 n 个数至少有一个 5 则 A = B C.,第一章 概率论的基本概念,4等可能概型,退 出,前一页,后一页,目 录,